Configurations, Tessellations and Tone Networks

技術的サマリー：構成、テッセレーション、トーンネットワーク

問題提起
本論文は、トーンネット（tonnetz）の数学的表現を扱う。トーンネットとは、十二音のクロマチック音階間の関係のネットワークであり、伝統的には正三角形または正六角形によるユークリッド平面のテッセレーションとして視覚化される。トーンネットは、和音（特に P、R、L 変換を介した長三和音と短三和音の関係）を表すグラフとして音楽理論において確立されているが、著者らはその数学的基盤を深めることを目指す。中心的な問題は、トーンネットを単なるグラフやテッセレーションとしてではなく、$\mathbb{R}^2$ における点と線の特定の幾何学的構成（configuration）として厳密に実現できるかどうかを決定することである。さらに、著者らは、この幾何学的枠組みをテトラコード（特に「トリスタン属」の属七和音と短六和音）に拡張し、ワーグナー、ショパン、チャイコフスキーの作品における複雑な和声進行を分析するための統一的基盤を提供できるかどうかを調査する。

方法論
著者らは、グラフ理論、組合せ幾何学、音楽理論の合成を用いる。

1. グラフ理論的モデリング: 彼らはまず、トーンネットを次数 3、周長 6 の有限な正則二部グラフとしてモデル化する。このモデルにおいて、白の頂点は長三和音を、黒の頂点は短三和音を表す。このグラフは、組合せ的構成のレビグラフ（Levi graph）として同定される。
2. 幾何学的実現: 著者らは、このレビグラフを $\mathbb{R}^2$ 内の 12 点と 12 線からなる結合幾何学に写像する。彼らは、Daublebsky von Sterneck によって確立された $\{12_3\}$ 型（12 点、12 線、線あたり 3 点、点あたり 3 線）の組合せ的構成の分類を利用する。
3. 構成の同定: トーンネットのレビグラフのサイクル構造（特に六角サイクル、八角サイクルなどの数と種類）を分析することにより、トーンネットに対応する特定の幾何学的構成を同定する。
4. テトラコードへの拡張: 方法論は、短六和音と属七和音間の転換規則を制約することによってテトラコードに拡張される。具体的には、「不協和音」の音を保ちながら、正確に 2 つの音のみが変化する転換にのみ遷移を制限する。この制約は、四角サイクル（長さ 4 のサイクル）を排除し、結果として得られるグラフが少なくとも周長 6 を持ち、レビグラフとなり得るように設計されている。
5. 音楽的分析: 得られた幾何学的モデルは、ワーグナーの『トリスタンとイゾルデ』、『ニーベルングの指環（神々の黄昏）』、『パルジファル』、ならびにショパンとチャイコフスキーの作品からの特定の音楽的断片に適用され、和音の解決と声部進行の経路を分析する。

主要な貢献と結果

1. オイラー的トーンネットの幾何学的同定: 本論文は、標準的なオイラー的トーンネット（三和音に基づく）が、Daublebsky von Sterneck 型の自己双対構成 $\{12_3\}$ である$D_{222}$のレビグラフと同型であることを示す。この実現において、長三和音は $\mathbb{R}^2$ 内の点に対応し、短三和音は線に対応し、結合関係が和音の隣接性を定義する。
2. トリスタン属トーンネットの発見: 「不協和音保存」制約をテトラコードに適用することにより、著者らは 12 の属七和音と 12 の短六和音のための新しいレビグラフを構築する。彼らはこのグラフを、異なる自己双対構成 $\{12_3\}$、具体的には$D_{228}$型のレビグラフとして同定する。この構成は、六角サイクルの数（トリスタン属では 24、オイラー的では 16）が異なることで、オイラー的トーンネットとは区別される。
3. アルキメデス的テッセレーション: 本論文は、三和音間で 2 つの音が変化する二部グラフから導出される「アルキメデス的トーンネット」を導入する。これらのグラフは四角サイクルを含むためレビグラフではないが、展開されて平面の半正則テッセレーション（十二角形、六角形、正方形を含む、タイプ $\{4, 6, 12\}$）を生成する。
4. 分析的応用:
   • トリスタン和音の解決: 幾何学的モデルは、トリスタン和音の解決を明確にする。例えば、ショパンによるこの和音の $B\flat_7$ への解決は、オイラー的トーンネットにおける極位への「ふらつく蝶結び（floppy bow tie）」経路（2p-十角サイクル）に従うことが示されるのに対し、ワーグナーによる $E_7$ への解決は 3p-六角サイクル経路に従う。
   • ワーグナー的八角サイクル: $D_{228}$ 構成は、幾何学的図形内の 3 つの相互に内接する正方形が、レビグラフ内の 3 つの 4p-八角サイクルに対応することを明らかにする。これらの八角サイクルは、『トリスタンとイゾルデ』（例えば愛の夜の二重唱）や『神々の黄昏』（火葬の場）における特定の進行の基盤となっており、これらの和音の「極的」関係と解決経路に対する幾何学的説明を提供する。
   • ハミルトン閉路: 本論文は、レビグラフの周縁がすべての 24 の三和音を含むハミルトン閉路を形成することに言及し、12 音列の概念およびベートーヴェンの交響曲第 9 番に見られる特定の進行の幾何学的予示を提供する。

意義と主張
著者らは、自らの研究が「音楽理論におけるレビグラフと構成の統合的役割」を確立すると主張する。彼らは、トーンネットが単なるヒューリスティックな道具ではなく、3 つの同時的表現を許容する特定の数学的対象、すなわち組合せ的構成であることを論じる。

1. 組合せ的構成（結合構造）として。
2. 幾何学的構成（ユークリッド空間内の点と線）として。
3. 「音楽的」構成（聴覚可能な関係のネットワーク）として。

その意義は、これらの幾何学的モデルが和音空間を明確に視覚化し、特に後期ロマン派音楽におけるテトラコードを含む複雑な和声進行を分析するための「道案内」として機能する点にある。本論文は、ワーグナーのような作曲家が、複数の和声システム（古典的三和音的、全三和音的、四和音的）を同時に操作していた可能性を提示し、これらのシステムを分析するための厳密な枠組みとして幾何学的構成が機能するとする。著者らは、そのような構成が音楽の分析と作曲の両方の基盤となり得ると結論付け、デサールグ構成やクレモナ - リッチモンド構成に基づく他の構成を用いた五音音階および12 音トーンネットに関する将来の研究を提案する。