Configurations, Tessellations and Tone Networks

Technische Samenvatting: Configuraties, Tessellaties en Toonnetwerken

Probleemstelling
Het artikel behandelt de wiskundige representatie van het tonnetz, een netwerk van relaties tussen de twaalf tonen van de chromatische toonladder, traditioneel gevisualiseerd als een tessellatie van het Euclidische vlak door gelijkzijdige driehoeken of regelmatige zeshoeken. Hoewel het tonnetz in de muziektheorie goed gevestigd is als een graaf die akkoordharmonie voorstelt (specifiek de relaties tussen majeur- en mineurakkoorden via P-, R- en L-transformaties), streven de auteurs ernaar de wiskundige onderbouwing ervan te verdiepen. Het centrale probleem is om te bepalen of het tonnetz strikt gerealiseerd kan worden, niet slechts als een graaf of een tessellatie, maar als een specifieke geometrische configuratie van punten en lijnen in $\mathbb{R}^2$. Verder onderzoeken de auteurs of dit geometrische raamwerk kan worden uitgebreid tot tetrakorden (specifiek het "Tristan-genus" van dominantseptiemakkoorden en mineursextakkoorden) om een verenigde basis te bieden voor het analyseren van complexe harmonische progressies in de werken van Wagner, Chopin en Tsjaikovski.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een synthese van grafentheorie, combinatorische meetkunde en muziektheorie.

1. Grafentheoretische Modellering: Zij modelleren het tonnetz eerst als een eindige, regelmatige bipartiete graaf met graad drie en omvang zes. In dit model vertegenwoordigen witte hoekpunten majeurakkoorden en zwarte hoekpunten mineurakkoorden. Deze graaf wordt geïdentificeerd als het Levi-geheel van een combinatorische configuratie.
2. Geometrische Realisatie: De auteurs mappingen dit Levi-geheel naar een incidentiemeetkunde bestaande uit 12 punten en 12 lijnen in $\mathbb{R}^2$. Zij maken gebruik van de classificatie van combinatorische configuraties van het type $\{12_3\}$ (12 punten, 12 lijnen, 3 punten per lijn, 3 lijnen per punt) zoals vastgesteld door Daublebsky von Sterneck.
3. Configuratie-identificatie: Door de cyclusstructuur (specifiek het aantal en type hexacycli, octacycli, enzovoort) van het Levi-geheel van het tonnetz te analyseren, identificeren zij de specifieke geometrische configuratie die overeenkomt met het tonnetz.
4. Uitbreiding tot Tetrakorden: De methodologie wordt uitgebreid tot tetrakorden door de transformatieregels tussen mineursextakkoorden en dominantseptiemakkoorden te beperken. Specifiek beperken zij overgangen tot die waarbij precies twee tonen veranderen terwijl de "dissonante" toon behouden blijft. Deze beperking is ontworpen om tetracycli (cycli van lengte vier) te elimineren en ervoor te zorgen dat de resulterende graaf een omvang van ten minste zes heeft, waardoor het een Levi-geheel kan zijn.
5. Muzikale Analyse: De resulterende geometrische modellen worden toegepast op specifieke muziekfragmenten uit Wagners Tristan und Isolde, Götterdämmerung en Parsifal, evenals werken van Chopin en Tsjaikovski, om akkoordoplossingen en stemleidingspaden te analyseren.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Geometrische Identificatie van het Euleriaanse Tonnetz: Het artikel toont aan dat het standaard Euleriaanse tonnetz (gebaseerd op akkoorden) isomorf is met het Levi-geheel van de zelfdualle configuratie $\{12_3\}$ van het Daublebsky von Sterneck-type $D_{222}$. In deze realisatie corresponderen majeurakkoorden met punten en mineurakkoorden met lijnen in $\mathbb{R}^2$, waarbij incidentierelaties de adjacentie van akkoorden definiëren.
2. Ontdekking van het Tristan-Genus Tonnetz: Door de "dissonantiebehoudende" beperking toe te passen op tetrakorden, construeren de auteurs een nieuw Levi-geheel voor de 12 dominantseptiemakkoorden en 12 mineursextakkoorden. Zij identificeren deze graaf als het Levi-geheel van een andere zelfdualle configuratie $\{12_3\}, specifiek het type **$D_{228}$**. Deze configuratie verschilt van het Euleriaanse tonnetz, wat blijkt uit een verschillend aantal hexacycli (24 in het Tristan-genus versus 16 in het Euleriaanse).
3. Archimedische Tessellaties: Het artikel introduceert "Archimedische tonnetzen" afgeleid van bipartiete grafen waarbij twee tonen veranderen tussen akkoorden. Deze grafen, hoewel geen Levi-gehele vanwege de aanwezigheid van tetracycli, ontvouwen zich om semi-regular tessellaties van het vlak te genereren die twaalfhoeken, zeshoeken en vierkanten bevatten (type $\{4, 6, 12\}$).
4. Analytische Toepassingen:
   • Tristan-Akoord Oplossingen: De geometrische modellen verduidelijken de oplossing van het Tristan-akkoord. Zo wordt aangetoond dat Chopins oplossing van het akkoord naar $B\flat_7$ een "floppy bow tie"-traject volgt (een 2p-decacyclus) naar een polaire positie in het Euleriaanse tonnetz, terwijl Wagners oplossing naar $E_7$ een 3p-hexacyclus-pad volgt.
   • Wagneriaanse Octacycli: De $D_{228}$-configuratie onthult dat de drie onderling ingeschreven vierkanten in de geometrische figuur corresponderen met drie 4p-octacycli in het Levi-geheel. Deze octacycli blijken ten grondslag te liggen aan specifieke progressies in Tristan und Isolde (bijvoorbeeld het Liebesnacht-duet) en Götterdämmerung (het brandstapel-tafereel), waardoor een geometrische verklaring wordt geboden voor de "polaire" relaties en oplossingspaden van deze akkoorden.
   • Hamiltoniaanse Cycli: Het artikel merkt op dat de omtrek van het Levi-geheel een Hamiltoniaanse cyclus vormt die alle 24 akkoorden omvat, wat een geometrische voorafschaduwing biedt van het concept van de twaalftoonsserie en specifieke progressies die voorkomen in Beethovens Negende Symfonie.

Beteekenis en Aanspraken
De auteurs beweren dat hun werk een "verenigende rol van Levi-gehele en configuraties in de muziektheorie" vestigt. Zij betogen dat het tonnetz niet slechts een heuristisch hulpmiddel is, maar een specifiek wiskundig object—een combinatorische configuratie die drie gelijktijdige representaties toelaat:

1. Als combinatorische configuratie (incidentiestructuur).
2. Als geometrische configuratie (punten en lijnen in de Euclidische ruimte).
3. Als een "muzikale" configuratie (het netwerk van hoorbare relaties).

De betekenis ligt in het vermogen van deze geometrische modellen om akkoordruimte eenduidig te visualiseren en te dienen als een "wegkaart" voor het analyseren van complexe harmonische progressies, met name die welke tetrakorden betreffen in laat-romantische muziek. Het artikel stelt dat componisten zoals Wagner mogelijk gelijktijdig binnen meerdere harmonische systemen opereerden (klassiek triadisch, pan-triadisch en tetradisch), en dat de geometrische configuraties een strikt raamwerk bieden om deze systemen te analyseren. De auteurs concluderen dat dergelijke configuraties als basis kunnen dienen voor zowel de analyse als de compositie van muziek, wat wijst op toekomstig werk aan pentatonische en twaalftoonse tonnetzen gebaseerd op andere configuraties (Desargues en Cremona-Richmond).