Configurations, Tessellations and Tone Networks

Resumo Técnico: Configurações, Tesselações e Redes Tonais

Declaração do Problema
O artigo aborda a representação matemática do tonnetz, uma rede de relações entre as doze notas da escala cromática tradicionalmente visualizada como uma tesselação do plano euclidiano por triângulos equiláteros ou hexágonos regulares. Embora o tonnetz seja bem estabelecido na teoria musical como um grafo que representa a harmonia tríadica (especificamente as relações entre tríades maiores e menores por meio das transformações P, R e L), os autores buscam aprofundar sua fundamentação matemática. O problema central é determinar se o tonnetz pode ser rigorosamente realizado não meramente como um grafo ou uma tesselação, mas como uma configuração geométrica específica de pontos e linhas em $\mathbb{R}^2$. Além disso, os autores investigam se essa estrutura geométrica pode ser estendida aos tetracordes (especificamente o "gênero Tristan" de sétimas de dominante e sextas menores) para fornecer uma base unificada para analisar progressões harmônicas complexas nas obras de Wagner, Chopin e Tchaikovsky.

Metodologia
Os autores empregam uma síntese de teoria dos grafos, geometria combinatória e teoria musical.

1. Modelagem por Teoria dos Grafos: Eles primeiro modelam o tonnetz como um grafo bipartido finito, regular, de grau três e circunferência seis. Neste modelo, vértices brancos representam tríades maiores e vértices pretos representam tríades menores. Este grafo é identificado como o grafo de Levi de uma configuração combinatória.
2. Realização Geométrica: Os autores mapeiam este grafo de Levi para uma geometria de incidência consistindo em 12 pontos e 12 linhas em $\mathbb{R}^2$. Eles utilizam a classificação de configurações combinatórias do tipo $\{12_3\}$ (12 pontos, 12 linhas, 3 pontos por linha, 3 linhas por ponto) estabelecida por Daublebsky von Sterneck.
3. Identificação da Configuração: Ao analisar a estrutura de ciclos (especificamente o número e o tipo de hexaciclos, octaciclos, etc.) do grafo de Levi do tonnetz, eles identificam a configuração geométrica específica que corresponde ao tonnetz.
4. Extensão para Tetracordes: A metodologia é estendida aos tetracordes ao restringir as regras de transformação entre acordes de sexta menor e sétimas de dominante. Especificamente, eles restringem as transições àquelas onde exatamente dois tons mudam enquanto o tom "dissonante" é preservado. Esta restrição é projetada para eliminar tetraciclos (ciclos de comprimento quatro) e garantir que o grafo resultante tenha uma circunferência de pelo menos seis, permitindo que seja um grafo de Levi.
5. Análise Musical: Os modelos geométricos resultantes são aplicados a excertos musicais específicos de Tristan und Isolde, Götterdämmerung e Parsifal, de Wagner, bem como obras de Chopin e Tchaikovsky, para analisar resoluções de acordes e caminhos de condução de vozes.

Principais Contribuições e Resultados

1. Identificação Geométrica do Tonnetz Euleriano: O artigo demonstra que o tonnetz euleriano padrão (baseado em tríades) é isomorfo ao grafo de Levi da configuração autodual $\{12_3\}$ do tipo $D_{222}$ de Daublebsky von Sterneck. Nesta realização, as tríades maiores correspondem a pontos e as tríades menores a linhas em $\mathbb{R}^2$, com relações de incidência definindo a adjacência dos acordes.
2. Descoberta do Tonnetz do Gênero Tristan: Ao aplicar a restrição de "preservação da dissonância" aos tetracordes, os autores constroem um novo grafo de Levi para as 12 sétimas de dominante e 12 sextas menores. Eles identificam este grafo como o grafo de Levi de uma configuração autodual diferente $\{12_3\}$, especificamente do tipo $D_{228}$. Esta configuração é distinta do tonnetz euleriano, evidenciada por uma contagem diferente de hexaciclos (24 no gênero Tristan versus 16 no euleriano).
3. Tesselações Arquimedianas: O artigo introduz "tonnetzes arquimedianos" derivados de grafos bipartidos onde dois tons mudam entre tríades. Estes grafos, embora não sejam grafos de Levi devido à presença de tetraciclos, desdobram-se para gerar tesselações semirregulares do plano envolvendo dodecágonos, hexágonos e quadrados (tipo $\{4, 6, 12\}$).
4. Aplicações Analíticas:
   • Resoluções do Acorde Tristan: Os modelos geométricos esclarecem a resolução do acorde Tristan. Por exemplo, a resolução do acorde por Chopin para $B\flat_7$ é mostrada como seguindo uma trajetória de "gravata borboleta frouxa" (um decaciclo 2p) para uma posição polar no tonnetz euleriano, enquanto a resolução por Wagner para $E_7$ segue um caminho de hexaciclo 3p.
   • Octaciclos Wagnerianos: A configuração $D_{228}$ revela que os três quadrados mutuamente inscritos na figura geométrica correspondem a três octaciclos 4p no grafo de Levi. Estes octaciclos são mostrados como a base de progressões específicas em Tristan und Isolde (por exemplo, o dueto Liebesnacht) e Götterdämmerung (a cena da pira funerária), fornecendo uma explicação geométrica para as relações "polares" e caminhos de resolução destes acordes.
   • Ciclos Hamiltonianos: O artigo observa que o perímetro do grafo de Levi forma um ciclo Hamiltoniano abrangendo todas as 24 tríades, oferecendo uma prefiguração geométrica do conceito de série de doze tons e de progressões específicas encontradas na Nona Sinfonia de Beethoven.

Significado e Alegações
Os autores afirmam que seu trabalho estabelece um "papel unificador dos grafos de Levi e configurações na teoria da música". Eles argumentam que o tonnetz não é meramente uma ferramenta heurística, mas um objeto matemático específico — uma configuração combinatória que admite três representações simultâneas:

1. Como uma configuração combinatória (estrutura de incidência).
2. Como uma configuração geométrica (pontos e linhas no espaço euclidiano).
3. Como uma configuração "musical" (a rede de relações audíveis).

O significado reside na capacidade destes modelos geométricos de visualizar o espaço de acordes de forma inequívoca e de servir como um "mapa de estradas" para analisar progressões harmônicas complexas, particularmente aquelas envolvendo tetracordes na música romântica tardia. O artigo postula que compositores como Wagner podem ter operado dentro de múltiplos sistemas harmônicos simultaneamente (tríadico clássico, pan-triádico e tetrádico), e que as configurações geométricas fornecem uma estrutura rigorosa para analisar esses sistemas. Os autores concluem que tais configurações podem servir como base tanto para a análise quanto para a composição de música, sugerindo trabalhos futuros sobre tonnetzes pentatônicos e de doze tons baseados em outras configurações (Desargues e Cremona-Richmond).