Configurations, Tessellations and Tone Networks

Sintesi Tecnica: Configurazioni, Tassellazioni e Reti Tonali

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta la rappresentazione matematica del tonnetz, una rete di relazioni tra le dodici note della scala cromatica tradizionalmente visualizzata come una tassellazione del piano euclideo mediante triangoli equilateri o esagoni regolari. Sebbene il tonnetz sia ben consolidato nella teoria musicale come un grafo che rappresenta l'armonia triadica (in particolare le relazioni tra accordi maggiori e minori tramite le trasformazioni P, R e L), gli autori mirano ad approfondirne le fondamenta matematiche. Il problema centrale è determinare se il tonnetz possa essere rigorosamente realizzato non semplicemente come un grafo o una tassellazione, ma come una specifica configurazione geometrica di punti e rette in $\mathbb{R}^2$. Inoltre, gli autori indagano se questo quadro geometrico possa essere esteso ai tetracordi (in particolare al "genere Tristan" delle settime di dominante e delle seste minori) per fornire una base unificata per l'analisi di progressioni armoniche complesse nelle opere di Wagner, Chopin e Čajkovskij.

Metodologia
Gli autori impiegano una sintesi di teoria dei grafi, geometria combinatoria e teoria musicale.

1. Modellazione Teorico-Graphica: Iniziano modellando il tonnetz come un grafo bipartito regolare finito di grado tre e girth sei. In questo modello, i vertici bianchi rappresentano gli accordi maggiori e i vertici neri rappresentano gli accordi minori. Questo grafo è identificato come il grafo di Levi di una configurazione combinatoria.
2. Realizzazione Geometrica: Gli autori mappano questo grafo di Levi su una geometria d'incidenza composta da 12 punti e 12 rette in $\mathbb{R}^2$. Utilizzano la classificazione delle configurazioni combinatorie di tipo $\{12_3\}$ (12 punti, 12 rette, 3 punti per retta, 3 rette per punto) stabilita da Daublebsky von Sterneck.
3. Identificazione della Configurazione: Analizzando la struttura ciclica (in particolare il numero e il tipo di esacicli, ottacicli, ecc.) del grafo di Levi del tonnetz, identificano la specifica configurazione geometrica che corrisponde al tonnetz.
4. Estensione ai Tetracordi: La metodologia viene estesa ai tetracordi vincolando le regole di trasformazione tra accordi di sesta minore e accordi di settima di dominante. Nello specifico, limitano le transizioni a quelle in cui esattamente due suoni cambiano mentre il suono "dissonante" viene preservato. Questo vincolo è progettato per eliminare i tetracicli (cicli di lunghezza quattro) e garantire che il grafo risultante abbia un girth di almeno sei, permettendogli di essere un grafo di Levi.
5. Analisi Musicale: I modelli geometrici risultanti vengono applicati a specifici estratti musicali dal Tristan und Isolde, dal Götterdämmerung e dal Parsifal di Wagner, nonché ad opere di Chopin e Čajkovskij, per analizzare le risoluzioni degli accordi e i percorsi di voice-leading.

Contributi e Risultati Chiave

1. Identificazione Geometrica del Tonnetz Euleriano: Il lavoro dimostra che il tonnetz euleriano standard (basato sugli accordi triadici) è isomorfo al grafo di Levi della configurazione autoduale $\{12_3\}$ di tipo $D_{222}$ di Daublebsky von Sterneck. In questa realizzazione, gli accordi maggiori corrispondono a punti e gli accordi minori a rette in $\mathbb{R}^2$, con le relazioni d'incidenza che definiscono l'adiacenza degli accordi.
2. Scoperta del Tonnetz del Genere Tristan: Applicando il vincolo di "preservazione della dissonanza" ai tetracordi, gli autori costruiscono un nuovo grafo di Levi per le 12 settime di dominante e le 12 seste minori. Identificano questo grafo come il grafo di Levi di una diversa configurazione autoduale $\{12_3\}$, specificamente di tipo $D_{228}$. Questa configurazione è distinta dal tonnetz euleriano, come dimostrato da un diverso conteggio degli esacicli (24 nel genere Tristan contro 16 nell'euleriano).
3. Tassellazioni Archimedee: Il lavoro introduce "tonnetze archimedei" derivati da grafi bipartiti in cui due suoni cambiano tra gli accordi triadici. Questi grafi, sebbene non siano grafi di Levi a causa della presenza di tetracicli, si dispiegano per generare tassellazioni semiregolari del piano che coinvolgono dodecagoni, esagoni e quadrati (tipo $\{4, 6, 12\}$).
4. Applicazioni Analitiche:
   • Risoluzioni dell'Accordo di Tristan: I modelli geometrici chiariscono la risoluzione dell'accordo di Tristan. Ad esempio, la risoluzione dell'accordo da parte di Chopin verso $B\flat_7$ è mostrata come seguire una traiettoria a "fiocco di cravatta flaccido" (un decaciclo 2p) verso una posizione polare nel tonnetz euleriano, mentre la risoluzione di Wagner verso $E_7$ segue un percorso di ottaciclo 3p.
   • Ottacicli Wagneriani: La configurazione $D_{228}$ rivela che i tre quadrati mutuamente inscritti nella figura geometrica corrispondono a tre ottacicli 4p nel grafo di Levi. Questi ottacicli sono mostrati come sottostanti a specifiche progressioni nel Tristan und Isolde (ad esempio, il duetto della Liebesnacht) e nel Götterdämmerung (la scena della pira funebre), fornendo una spiegazione geometrica per le relazioni "polari" e i percorsi di risoluzione di questi accordi.
   • Cicli Hamiltoniani: Il lavoro nota che il perimetro del grafo di Levi forma un ciclo hamiltoniano che abbraccia tutti i 24 accordi triadici, offrendo una prefigurazione geometrica del concetto di serie dodicennale e di specifiche progressioni presenti nella Nona Sinfonia di Beethoven.

Significato e Affermazioni
Gli autori affermano che il loro lavoro stabilisce un "ruolo unificante dei grafi di Levi e delle configurazioni nella teoria della musica". Sostengono che il tonnetz non è meramente uno strumento euristico, ma un oggetto matematico specifico — una configurazione combinatoria che ammette tre rappresentazioni simultanee:

1. Come configurazione combinatoria (struttura d'incidenza).
2. Come configurazione geometrica (punti e rette nello spazio euclideo).
3. Come configurazione "musicale" (la rete di relazioni udibili).

Il significato risiede nella capacità di questi modelli geometrici di visualizzare lo spazio degli accordi in modo inequivocabile e di servire come una "mappa stradale" per l'analisi di progressioni armoniche complesse, in particolare quelle che coinvolgono tetracordi nella musica tardo-romantica. Il lavoro postula che compositori come Wagner potessero operare all'interno di molteplici sistemi armonici simultaneamente (triadico classico, pan-triadico e tetradico), e che le configurazioni geometriche forniscano un quadro rigoroso per analizzare questi sistemi. Gli autori concludono che tali configurazioni possono servire come base sia per l'analisi che per la composizione musicale, suggerendo lavori futuri su tonnetze pentatonici e dodicennali basati su altre configurazioni (Desargues e Cremona-Richmond).