Configurations, Tessellations and Tone Networks

기술적 요약: 구성, 테셀레이션 및 톤 네트워크

문제 제기
본 논문은 12 음계 음들을 서로 연결하는 관계의 네트워크인 톤네츠 (tonnetz) 의 수학적 표현을 다룬다. 톤네츠는 전통적으로 정삼각형이나 정육각형으로 유클리드 평면을 테셀레이션 (tessellation) 한 형태로 시각화되어 왔다. 톤네츠는 화성학에서 3 화음 (특히 P, R, L 변환을 통한 장 3 화음과 단 3 화음 간의 관계) 을 나타내는 그래프로 잘 정립되어 있으나, 저자들은 이를 더욱 견고한 수학적 기초 위에 세우려 한다. 핵심 문제는 톤네츠가 단순한 그래프나 테셀레이션이 아니라, $\mathbb{R}^2$ 내의 점과 선으로 이루어진 구체적인 기하학적 구성 (configuration) 으로 엄밀하게 실현될 수 있는지 여부를 규명하는 것이다. 또한, 저자들은 이 기하학적 프레임워크를 4 화음 (특히 "트리스탄 계통"인 지배 7 화음과 단 6 화음) 으로 확장하여 바그너, 쇼팽, 차이콥스키의 작품에서 발견되는 복잡한 화성 진행을 분석할 수 있는 통합된 기초를 제공할 수 있는지 탐구한다.

방법론
저자들은 그래프 이론, 조합 기하학, 그리고 음악 이론을 종합적으로 활용한다.

1. 그래프 이론적 모델링: 먼저 톤네츠를 차수가 3 이고 구멍 (girth) 이 6 인 유한한 정규 이분 그래프로 모델링한다. 이 모델에서 흰색 꼭짓점은 장 3 화음을, 검은색 꼭짓점은 단 3 화음을 나타낸다. 이 그래프는 조합적 구성의 Levi 그래프로 식별된다.
2. 기하학적 실현: 저자들은 이 Levi 그래프를 $\mathbb{R}^2$ 내의 12 개의 점과 12 개의 선으로 이루어진 결합 기하학 (incidence geometry) 에 매핑한다. 이를 위해 Daublebsky von Sterneck이 확립한 $\{12_3\}$ 유형 (점 12 개, 선 12 개, 선당 점 3 개, 점당 선 3 개) 의 조합적 구성 분류를 활용한다.
3. 구성 식별: 톤네츠의 Levi 그래프의 순환 구조 (특히 6-순환, 8-순환 등의 수와 유형) 를 분석함으로써 톤네츠에 대응하는 특정 기하학적 구성을 식별한다.
4. 4 화음으로의 확장: 방법론을 4 화음으로 확장하기 위해 단 6 화음과 지배 7 화음 간의 변환 규칙을 제약한다. 구체적으로, "불협화음" 음이 보존되는 상태에서 정확히 두 음이 변하는 전이로만 제한한다. 이 제약은 4-순환 (tetracycles) 을 제거하고 결과 그래프의 구멍이 최소 6 이상이 되어 Levi 그래프가 될 수 있도록 설계되었다.
5. 음악 분석: 결과적으로 도출된 기하학적 모델을 바그너의《트리스탄과 이졸데》,《신들의 황혼》,《파르지팔》및 쇼팽과 차이콥스키의 작품에서 발췌한 특정 음악 단편에 적용하여 화음 해결과 성부 진행 경로를 분석한다.

주요 기여 및 결과

1. 오일러 톤네츠의 기하학적 식별: 본 논문은 3 화음 기반의 표준 오일러 톤네츠가 Daublebsky von Sterneck 유형의 자기 이중적 구성 $\{12_3\}$인 $D_{222}$의 Levi 그래프와 동형임을 증명한다. 이 실현에서 장 3 화음은 $\mathbb{R}^2$ 내의 점에, 단 3 화음은 선에 대응하며, 결합 관계가 화음의 인접성을 정의한다.
2. 트리스탄 계통 톤네츠의 발견: 4 화음에 "불협화음 보존" 제약을 적용함으로써 저자들은 12 개의 지배 7 화음과 12 개의 단 6 화음을 위한 새로운 Levi 그래프를 구성한다. 이 그래프는 $D_{228}$ 유형의 다른 자기 이중적 구성 $\{12_3\}$의 Levi 그래프로 식별된다. 이 구성은 오일러 톤네츠와 구별되며, 그 증거로 6-순환의 수가 다르다 (트리스탄 계통은 24 개, 오일러는 16 개).
3. 아르키메데스 테셀레이션: 두 음이 3 화음 간에 변하는 이분 그래프에서 유래한 "아르키메데스 톤네츠"를 소개한다. 4-순환의 존재로 인해 Levi 그래프는 아니지만, 이러한 그래프는 전개되어 12 각형, 6 각형, 정사각형이 포함된 반정규 테셀레이션 (유형 $\{4, 6, 12\}$) 을 생성한다.
4. 분석적 응용:
   • 트리스탄 화음의 해결: 기하학적 모델은 트리스탄 화음의 해결을 명확히 한다. 예를 들어, 쇼팽의 화음이 $B\flat_7$으로 해결되는 것은 오일러 톤네츠에서 극성 위치로 향하는 "플로피 보타이" 궤적 (2p-10-순환) 을 따르는 반면, 바그너의 화음이 $E_7$으로 해결되는 것은 3p-6-순환 경로를 따른다.
   • 바그너의 8-순환: $D_{228}$ 구성은 기하학적 도형 내의 세 개의 서로 내접하는 정사각형이 Levi 그래프 내의 세 개의 4p-8-순환에 해당함을 보여준다. 이러한 8-순환은《트리스탄과 이졸데》(예: 사랑의 밤 이중주) 와《신들의 황혼》(예: 장례 화염 장면) 의 특정 진행을 뒷받침하며, 이러한 화음들의 "극성" 관계와 해결 경로를 기하학적으로 설명한다.
   • 해밀턴 순환: 논문은 Levi 그래프의 둘레가 모든 24 개의 3 화음을 포함하는 해밀턴 순환을 형성한다고 지적하며, 이는 12 음계 행렬 개념과 베토벤 9 교향곡에서 발견되는 특정 진행에 대한 기하학적 선구적 형태를 제공한다.

의의 및 주장
저자들은 자신의 작업이 "음악 이론에서 Levi 그래프와 구성의 통합적 역할"을 확립한다고 주장한다. 그들은 톤네츠가 단순한 휴리스틱 도구가 아니라 세 가지 동시적 표현을 허용하는 구체적인 수학적 객체, 즉 조합적 구성임을 논증한다.

1. 조합적 구성 (결합 구조) 으로서.
2. 기하학적 구성 (유클리드 공간 내의 점과 선) 으로서.
3. "음악적" 구성 (가청 관계의 네트워크) 으로서.

이러한 기하학적 모델이 화음 공간을 모호함 없이 시각화하고, 특히 후기 낭만주의 음악에서 발견되는 4 화음을 포함한 복잡한 화성 진행을 분석하기 위한 "로드맵"으로 기능한다는 점이 그 의의이다. 본 논문은 바그너와 같은 작곡가들이 동시에 여러 화성 체계 (고전적 3 화음, 팬 - 3 화음, 4 화음) 내에서 작동했을 수 있으며, 기하학적 구성이 이러한 체계들을 분석하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다고 가정한다. 저자들은 이러한 구성이 음악의 분석과 작곡 모두를 위한 기초가 될 수 있다고 결론지으며, Desargues 및 Cremona-Richmond 구성과 같은 다른 구성에 기반한 5 음계 및 12 음계 톤네츠에 대한 향후 연구를 제안한다.