Configurations, Tessellations and Tone Networks

Résumé technique : Configurations, pavages et réseaux de tons

Énoncé du problème
L'article traite de la représentation mathématique du tonnetz, un réseau de relations entre les douze notes de la gamme chromatique traditionnellement visualisé comme un pavage du plan euclidien par des triangles équilatéraux ou des hexagones réguliers. Bien que le tonnetz soit bien établi en théorie musicale comme un graphe représentant l'harmonie tétracorde (spécifiquement les relations entre les accords majeurs et mineurs via les transformations P, R et L), les auteurs cherchent à approfondir ses fondements mathématiques. Le problème central consiste à déterminer si le tonnetz peut être réalisé rigoureusement non seulement comme un graphe ou un pavage, mais comme une configuration géométrique spécifique de points et de lignes dans $\mathbb{R}^2$. De plus, les auteurs investiguent si ce cadre géométrique peut être étendu aux tétracordes (spécifiquement le « genre Tristan » des septièmes de dominante et des sixtes mineures) afin de fournir une base unifiée pour l'analyse des progressions harmoniques complexes dans les œuvres de Wagner, Chopin et Tchaïkovski.

Méthodologie
Les auteurs emploient une synthèse de la théorie des graphes, de la géométrie combinatoire et de la théorie musicale.

1. Modélisation par la théorie des graphes : Ils modélisent d'abord le tonnetz comme un graphe biparti fini, régulier, de degré trois et de taille six. Dans ce modèle, les sommets blancs représentent les accords majeurs et les sommets noirs les accords mineurs. Ce graphe est identifié comme le graphe de Levi d'une configuration combinatoire.
2. Réalisation géométrique : Les auteurs transposent ce graphe de Levi vers une géométrie d'incidence composée de 12 points et 12 lignes dans $\mathbb{R}^2$. Ils utilisent la classification des configurations combinatoires de type $\{12_3\}$ (12 points, 12 lignes, 3 points par ligne, 3 lignes par point) établie par Daublebsky von Sterneck.
3. Identification de la configuration : En analysant la structure cyclique (spécifiquement le nombre et le type d'hexacycles, d'octacycles, etc.) du graphe de Levi du tonnetz, ils identifient la configuration géométrique spécifique qui correspond au tonnetz.
4. Extension aux tétracordes : La méthodologie est étendue aux tétracordes en contraignant les règles de transformation entre les accords de sixte mineure et les accords de septième de dominante. Plus précisément, ils restreignent les transitions à celles où exactement deux tons changent tandis que le ton « dissonant » est préservé. Cette contrainte vise à éliminer les tétracycles (cycles de longueur quatre) et à garantir que le graphe résultant possède une taille d'au moins six, lui permettant d'être un graphe de Levi.
5. Analyse musicale : Les modèles géométriques résultants sont appliqués à des extraits musicaux spécifiques de Tristan und Isolde, Götterdämmerung et Parsifal de Wagner, ainsi qu'à des œuvres de Chopin et Tchaïkovski, pour analyser les résolutions d'accords et les chemins de conduite des voix.

Contributions et résultats clés

1. Identification géométrique du tonnetz eulérien : L'article démontre que le tonnetz eulérien standard (basé sur les accords) est isomorphe au graphe de Levi de la configuration autoduale $\{12_3\}$ de type $D_{222}$ de Daublebsky von Sterneck. Dans cette réalisation, les accords majeurs correspondent aux points et les accords mineurs aux lignes dans $\mathbb{R}^2$, les relations d'incidence définissant l'adjacence des accords.
2. Découverte du tonnetz du genre Tristan : En appliquant la contrainte de « préservation de la dissonance » aux tétracordes, les auteurs construisent un nouveau graphe de Levi pour les 12 septièmes de dominante et les 12 sixtes mineures. Ils identifient ce graphe comme le graphe de Levi d'une autre configuration autoduale $\{12_3\}$, spécifiquement de type $D_{228}$. Cette configuration se distingue du tonnetz eulérien, comme en témoigne un décompte différent d'hexacycles (24 dans le genre Tristan contre 16 dans le tonnetz eulérien).
3. Pavages archimédiens : L'article introduit des « tonnetzes archimédiens » dérivés de graphes bipartis où deux tons changent entre les accords. Ces graphes, bien que n'étant pas des graphes de Levi en raison de la présence de tétracycles, se déploient pour générer des pavages semi-réguliers du plan impliquant des dodécagones, des hexagones et des carrés (type $\{4, 6, 12\}$).
4. Applications analytiques :
   • Résolutions de l'accord de Tristan : Les modèles géométriques clarifient la résolution de l'accord de Tristan. Par exemple, la résolution de l'accord par Chopin vers $B\flat_7$ suit une trajectoire de « nœud papillon mou » (un décacycle 2p) vers une position polaire dans le tonnetz eulérien, tandis que la résolution par Wagner vers $E_7$ suit un chemin d'hexacycle 3p.
   • Octacycles wagnériens : La configuration $D_{228}$ révèle que les trois carrés mutuellement inscrits dans la figure géométrique correspondent à trois octacycles 4p dans le graphe de Levi. Ces octacycles sous-tendent des progressions spécifiques dans Tristan und Isolde (par exemple, le duo de la Nuit d'amour) et Götterdämmerung (la scène du bûcher funéraire), fournissant une explication géométrique des relations « polaires » et des chemins de résolution de ces accords.
   • Cycles hamiltoniens : L'article note que le périmètre du graphe de Levi forme un cycle hamiltonien englobant les 24 accords, offrant une préfiguration géométrique du concept de série dodécaphonique et de progressions spécifiques trouvées dans la Neuvième Symphonie de Beethoven.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que leur travail établit un « rôle unificateur des graphes de Levi et des configurations dans la théorie de la musique ». Ils soutiennent que le tonnetz n'est pas seulement un outil heuristique mais un objet mathématique spécifique — une configuration combinatoire qui admet trois représentations simultanées :

1. Comme configuration combinatoire (structure d'incidence).
2. Comme configuration géométrique (points et lignes dans l'espace euclidien).
3. Comme configuration « musicale » (le réseau de relations audibles).

La signification réside dans la capacité de ces modèles géométriques à visualiser l'espace des accords de manière non ambiguë et à servir de « carte routière » pour l'analyse de progressions harmoniques complexes, en particulier celles impliquant des tétracordes dans la musique romantique tardive. L'article postule que des compositeurs comme Wagner ont pu opérer simultanément au sein de multiples systèmes harmoniques (tétracorde classique, pan-tétracorde et tétracorde), et que les configurations géométriques fournissent un cadre rigoureux pour analyser ces systèmes. Les auteurs concluent que de telles configurations peuvent servir de base à la fois à l'analyse et à la composition musicale, suggérant un travail futur sur des tonnetzes pentatoniques et dodécaphoniques basés sur d'autres configurations (Desargues et Cremona-Richmond).