Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

Resumen Técnico: Regulación de Salida No Lineal Basada en Datos mediante Pasividad Incremental Forzada por Datos

Formulación del Problema
Este trabajo aborda el problema de regulación de salida para una clase de sistemas no lineales sujetos a perturbaciones externas, donde la dinámica del sistema es desconocida. La planta se modela como $\dot{x} = AZ(x) + Bu + Ew$ y $e = CZ(x) + Fw$, donde $Z(x)$ es un vector conocido de funciones continuas (que incluye los estados y términos no lineales), pero las matrices $A, B, C, E$ y $F$ son desconocidas. La trayectoria de referencia y las perturbaciones son generadas por un exosistema lineal conocido $\dot{w} = Sw$. El objetivo es diseñar una entrada de control de retroalimentación $u$ utilizando únicamente un conjunto finito de datos de entrada-estado-salida fuera de línea ($D_S$) de tal manera que el error de regulación $e$ converja asintóticamente a cero, asegurando al mismo tiempo que todas las soluciones de bucle cerrado permanezcan acotadas.

Metodología
El enfoque propuesto se basa en forzar la pasividad incremental en el sistema de bucle cerrado mediante retroalimentación basada en datos, seguido de la interconexión con un modelo interno. La metodología procede en dos etapas principales:

1. Pasivación Incremental Basada en Datos:
   El primer paso diseña un controlador de retroalimentación de estado estático de la forma $u = KZ(x) + v$, donde $v$ es una entrada virtual. El objetivo es hacer que el sistema de bucle cerrado sea incrementalmente pasivo con respecto al error de regulación $e$ y la entrada virtual $v$.

   • Fundamento Basado en Modelos: Los autores establecen primero que si existe una ganancia $K$ y una matriz definida positiva $P$ que satisfacen Desigualdades Matriciales Lineales (LMI) específicas, el sistema se vuelve incrementalmente pasivo.
   • Extensión Basada en Datos: Aprovechando el "lema fundamental" del control basado en datos, los autores derivan condiciones donde las matrices del sistema son reemplazadas por matrices dependientes de los datos construidas a partir de $D_S$. Específicamente, formulan un conjunto de LMI dependientes de los datos (Teorema 1) que involucran las matrices $Y$ y $G_2$. La resolución de estas LMI proporciona la ganancia de retroalimentación $K = U_0 Y P^{-1}$ sin identificar explícitamente las matrices del sistema $A, B, C, E, F$. Este diseño asume que las no linealidades en $Z(x)$ son conocidas y perfectamente cancelables por la entrada de control.

2. Síntesis del Regulador mediante Modelo Interno:
   Una vez que el sistema de bucle cerrado es vuelto incrementalmente pasivo, se diseña un modelo interno incrementalmente pasivo basado en la dinámica conocida del exosistema. El modelo interno viene dado por $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ y $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$.

   • Interconexión: El sistema de bucle cerrado y el modelo interno se interconectan. Por el Lema 1, la interconexión de retroalimentación de dos sistemas incrementalmente pasivos mantiene la pasividad incremental.
   • Prueba de Estabilidad: El regulador global se forma cerrando el bucle con una ganancia de estabilización sobre el error. Utilizando una función de almacenamiento compuesta y el lema de Barbalat, los autores demuestran que el error de regulación $e(t)$ converge asintóticamente a cero, siempre que el exosistema cumpla con los supuestos estándar (raíces simples en el eje imaginario) y se cumpla la condición de factibilidad (existencia de una solución de estado estacionario lineal).

Contribuciones Clave
El artículo destaca cuatro contribuciones primarias:

• Regulación Asintótica Global desde Datos: El trabajo resuelve el problema de regulación de salida para plantas no lineales directamente desde datos fuera de línea, garantizando la convergencia asintótica del error de regulación a cero. Esto contrasta con resultados recientes basados en datos que se centran en sistemas lineales o que solo garantizan errores acotados para sistemas no lineales.
• Diseño Desacoplado: Una característica significativa es el desacoplamiento del diseño del controlador de pasivación de retroalimentación del diseño del modelo interno. El controlador de pasivación es independiente del modelo interno, y el diseño del regulador no requiere datos recolectados del modelo interno. Esto ofrece una alta eficiencia de datos y flexibilidad, ya que los cambios en el exosistema no requieren un rediseño completo del controlador de pasivación.
• Caracterización de Controladores de Pasivación: Los autores caracterizan los controladores de pasivación incremental de retroalimentación para sistemas no lineales y derivan LMI basadas en datos para su diseño. Esto extiende el control directo basado en datos más allá de la verificación o el análisis de propiedades de disipación hacia la síntesis real de controladores que fuerzan la pasividad.
• Estabilización de Equilibrio No Nulo: El marco se extiende para resolver el problema de estabilización de equilibrios no nulos donde la entrada de equilibrio no es conocida ni estimada. Al definir un error virtual basado en la distancia al equilibrio, se aplica el marco de regulación de salida para lograr la estabilidad asintótica sin transformación de coordenadas.

Resultos y Validación
Los resultados teóricos se validan mediante dos ejemplos numéricos:

1. Péndulo Simple: Se controla un péndulo no lineal sujeto a perturbaciones sinusoidales y constantes. El regulador basado en datos logra llevar el error de seguimiento a cero desde diversas condiciones iniciales.
2. Estabilización de Equilibrio No Nulo: Un sistema no lineal es estabilizado en un punto de equilibrio no nulo específico ($x_e = [-2, -1]^\top$) a pesar de una entrada de equilibrio desconocida y perturbaciones variables en el tiempo. Las trayectorias de estado convergen al equilibrio objetivo.

Significancia y Reclamaciones
El artículo afirma que su importancia radica en proporcionar una solución rigurosa y basada en datos para la regulación de salida no lineal que garantiza la estabilidad asintótica global sin requerir la identificación explícita del sistema. La arquitectura desacoplada se destaca como una ventaja importante sobre los enfoques tradicionales de sistemas aumentados, particularmente en entornos basados en datos donde la recolección de datos del sistema aumentado (incluyendo el modelo interno) es compleja.

Los autores son modestos respecto al alcance de sus supuestos. Expresan explícitamente que su enfoque asume que:

• Las no linealidades en $Z(x)$ son conocidas y perfectamente cancelables (canales coincidentes/matched channels).
• Los datos experimentales están libres de ruido de medición (o que el ruido puede ser modelado por el exosistema).
• Existe una solución de estado estacionario lineal (Supuesto 2).

Las direcciones de trabajo futuro identificadas por los autores incluyen el manejo de clases generales de ruido mediante técnicas de control robusto y la extensión del enfoque a diseños de retroalimentación de salida utilizando únicamente datos de entrada-salida.