Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

Resumo Técnico: Regulação de Saída Não Linear Baseada em Dados via Passividade Incremental Imposta por Dados

Formulação do Problema
Este trabalho aborda o problema de regulação de saída para uma classe de sistemas não lineares sujeitos a distúrbios externos, nos quais a dinâmica do sistema é desconhecida. A planta é modelada como $\dot{x} = AZ(x) + Bu$ e $e = CZ(x) + Fw$, onde $Z(x)$ é um vetor conhecido de funções contínuas (incluindo o estado e termos não lineares), mas as matrizes $A, B, C, E$ e $F$ são desconhecidas. A trajetória de referência e os distúrbios são gerados por um exossistema linear conhecido $\dot{w} = Sw$. O objetivo é projetar um controle de entrada por realimentação $u$ utilizando apenas um conjunto finito de dados de entrada-estado-saída offline ($D_S$) de modo que o erro de regulação $e$ convirja assintoticamente para zero, garantindo simultaneamente que todas as soluções em malha fechada permaneçam limitadas.

Metodologia
A abordagem proposta baseia-se na imposição de passividade incremental no sistema em malha fechada via realimentação baseada em dados, seguida pela interconexão com um modelo interno. A metodologia procede em duas etapas principais:

1. Passivação Incremental Baseada em Dados:
   A primeira etapa projeta um controlador de realimentação de estado estático da forma $u = KZ(x) + v$, onde $v$ é uma entrada virtual. O objetivo é tornar o sistema em malha fechada incrementalmente passivo em relação ao erro de regulação $e$ e à entrada virtual $v$.

   • Fundamentação Baseada em Modelo: Os autores estabelecem primeiro que, se existir um ganho $K$ e uma matriz definida positiva $P$ que satisfaçam Desigualdades Matrizes Lineares (LMIs) específicas, o sistema torna-se incrementalmente passivo.
   • Extensão Baseada em Dados: Aproveitando o "lema fundamental" do controle baseado em dados, os autores derivam condições onde as matrizes do sistema são substituídas por matrizes dependentes de dados construídas a partir de $D_S$. Especificamente, eles formulam um conjunto de LMIs dependentes de dados (Teorema 1) envolvendo as matrizes $Y$ e $G_2$. A resolução dessas LMIs resulta no ganho de realimentação $K = U_0 Y P^{-1}$ sem identificar explicitamente as matrizes do sistema $A, B, C, E, F$. Este projeto assume que as não linearidades em $Z(x)$ são conhecidas e perfeitamente canceláveis pela entrada de controle.

2. Síntese do Regulador via Modelo Interno:
   Uma vez que o sistema em malha fechada é tornado incrementalmente passivo, um modelo interno incrementalmente passivo é projetado com base na dinâmica conhecida do exossistema. O modelo interno é dado por $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ e $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$.

   • Interconexão: O sistema em malha fechada e o modelo interno são interconectados. Pelo Lema 1, a interconexão por realimentação de dois sistemas incrementalmente passivos permanece incrementalmente passiva.
   • Prova de Estabilidade: O regulador global é formado fechando o laço com um ganho estabilizador sobre o erro. Usando uma função de armazenamento composta e o lema de Barbalat, os autores provam que o erro de regulação $e(t)$ converge assintoticamente para zero, desde que o exossistema satisfaça as suposições padrão (raízes simples no eixo imaginário) e a condição de viabilidade (existência de uma solução de estado estacionário linear) seja atendida.

Principais Contribuições
O artigo destaca quatro contribuições primárias:

• Regulação Assintótica Global a partir de Dados: O trabalho resolve o problema de regulação de saída para plantas não lineares diretamente a partir de dados offline, garantindo a convergência assintótica do erro de regulação para zero. Isso contrasta com resultados recentes baseados em dados que focam ou em sistemas lineares ou que garantem apenas erros limitados para sistemas não lineares.
• Projeto Desacoplado: Uma característica significativa é o desacoplamento do projeto do controlador de passivação por realimentação do projeto do modelo interno. O controlador de passivação é independente do modelo interno, e o projeto do regulador não requer dados coletados do modelo interno. Isso oferece alta eficiência de dados e flexibilidade, pois mudanças no exossistema não necessitam de um redesenho completo do controlador de passivação.
• Caracterização de Controladores de Passivação: Os autores caracterizam controladores de passivação incremental por realimentação para sistemas não lineares e derivam LMIs baseadas em dados para seu projeto. Isso estende o controle direto baseado em dados além da verificação ou análise de propriedades de dissipatividade para a síntese real de controladores que impõem passividade.
• Estabilização de Equilíbrio Não Nulo: O framework é estendido para resolver o problema de estabilização de equilíbrios não nulos onde a entrada de equilíbrio não é nem conhecida nem estimada. Ao definir um erro virtual baseado na distância ao equilíbrio, o framework de regulação de saída é aplicado para alcançar estabilidade assintótica sem transformação de coordenadas.

Resultos e Validação
Os resultados teóricos são validados através de dois exemplos numéricos:

1. Pêndulo Simples: Um pêndulo não linear sujeito a distúrbios senoidais e constantes é controlado. O regulador baseado em dados consegue conduzir o erro de rastreamento a zero a partir de várias condições iniciais.
2. Estabilização de Equilíbrio Não Nulo: Um sistema não linear é estabilizado em um ponto de equilíbrio não nulo específico ($x_e = [-2, -1]^\top$) apesar de uma entrada de equilíbrio desconhecida e distúrbios variantes no tempo. As trajetórias de estado convergem para o equilíbrio alvo.

Significância e Alegações
O artigo afirma que sua significância reside em fornecer uma solução rigorosa e baseada em dados para a regulação de saída não linear que garante estabilidade assintótica global sem exigir identificação explícita do sistema. A arquitetura desacoplada é destacada como uma grande vantagem sobre as abordagens tradicionais de sistemas aumentados, particularmente em configurações baseadas em dados onde a coleta de dados do sistema aumentado (incluindo o modelo interno) é complexa.

Os autores são modestos quanto ao escopo de suas suposições. Eles explicitamente observam que sua abordagem assume que:

• As não linearidades em $Z(x)$ são conhecidas e perfeitamente canceláveis (canais casados/matched channels).
• Os dados experimentais estão livres de ruído de medição (ou que o ruído pode ser modelado pelo exossistema).
• Existe uma solução de estado estacionário linear (Suposição 2).

Direções de trabalhos futuros identificadas pelos autores incluem o tratamento de classes gerais de ruído via técnicas de controle robusto e a extensão da abordagem para projetos de realimentação de saída (output-feedback) utilizando apenas dados de entrada-saída.