Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

技术摘要：基于数据增强增量钝化性的数据驱动非线性输出调节

问题阐述
本研究解决了受外部扰动影响的一类非线性系统的输出调节问题，其中系统动力学是未知的。该对象被建模为 $\dot{x} = AZ(x) + Bu$ 和 $e = CZ(x) + Fw$，其中$Z(x)$是已知的连续函数向量（包括状态项和非线性项），而矩阵$A, B, C, E,$和$F$是未知的。参考轨迹和扰动由已知的线性外系统$\dot{w} = Sw$生成。目标是仅利用有限的离线输入-状态-输出数据集 ($D_S$) 设计反馈控制输入$u$，使得调节误差$e$ 渐近收敛至零，同时确保所有闭环解保持有界。

方法论
所提方法依赖于通过数据驱动反馈在闭环系统中强制实现增量钝化性 (Incremental Passivity)，并随后与内模进行互联。该方法分为两个主要阶段：

1. 数据驱动增量钝化设计：
   第一步设计一个形式为 $u = KZ(x) + v$的静态状态反馈控制器，其中$v$是虚拟输入。目标是使闭环系统相对于调节误差$e$和虚拟输入$v$ 具有增量钝化性。

   • 基于模型的理论基础： 作者首先确立了如果存在满足特定线性矩阵不等式 (LMI) 的增益 $K$ 和正定矩阵 $P$，则系统将变为增量钝性的。
   • 数据驱动扩展： 利用数据驱动控制的“基本引理”，作者推导出了系统矩阵被由 $D_S$ 构建的依赖于数据的矩阵所取代的条件。具体而言，他们制定了一组涉及矩阵 $Y$ 和 $G_2$ 的数据依赖型 LMI（定理 1）。求解这些 LMI 可得到反馈增益 $K = U_0 Y P^{-1}$，而无需显式识别系统矩阵 $A, B, C, E, F$。该设计假设 $Z(x)$ 中的非线性项是已知的，并且可以被控制输入完美抵消。

2. 通过内模进行调节器综合：
   一旦闭环系统被赋予了增量钝性，便基于已知的外系统动力学设计一个增量钝性的内模。内模由 $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ 和 $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$ 给出。

   • 互联： 闭环系统与内模进行互联。根据引理 1，两个增量钝性系统的反馈互联仍保持增量钝性。
   • 稳定性证明： 通过在误差上闭合一个稳定增益来形成整体调节器。利用复合存储函数和 Barbalat 引理，作者证明了只要外系统满足标准假设（虚轴上的单根）且满足可行性条件（存在线性稳态解），调节误差 $e(t)$ 将渐近收敛至零。

核心贡献
本文强调了四个主要贡献：

• 从数据中实现全局渐近调节： 本工作直接从离线数据解决了非线性对象的输出调节问题，保证了调节误差渐近收敛至零。这与近期一些仅关注线性系统或仅保证非线性系统误差有界的资料驱动结果形成了对比。
• 解耦设计： 一个显著特征是将反馈钝化控制器的设计与内模设计解耦。钝化控制器独立于内模，且调节器设计不需要收集来自内模的数据。这提供了极高的数据效率和灵活性，因为外系统的变化不需要重新设计整个钝化控制器。
• 钝化控制器的表征： 作者表征了非线性系统的反馈增量钝化控制器，并推导了用于其设计的基于数据的 LMI。这使直接的数据驱动控制从仅验证或分析耗散性质扩展到了实际合成钝化增强型控制器。
• 非零平衡点稳定化： 该框架被扩展用于解决非零平衡点的稳定问题，其中平衡输入既未知也未被估计。通过定义基于到平衡点距离的虚拟误差，应用输出调节框架实现了无坐标变换的渐近稳定性。

结果与验证
理论结果通过两个数值算例进行了验证：

1. 单摆系统： 控制一个受正弦和常数扰动的非线性单摆。数据驱动调节器成功地将跟踪误差从各种初始条件驱动至零。
2. 非零平衡点稳定化： 在尽管存在未知平衡输入和时变扰动的情况下，使一个非线性系统稳定在特定的非零平衡点（$x_e = [-2, -1]^\top$）。状态轨迹收敛于目标平衡点。

意义与主张
本文声称其意义在于提供了一种严谨的数据驱动非线性输出调节方案，在不需要显式系统辨识的情况下确保了全局渐近稳定性。解耦架构被强调为优于传统增广系统方法的主要优势，特别是在收集增广系统（包含内模）的数据较为复杂的场景下。

作者对其假设范围持谨慎态度。他们明确指出，其方法假设：

• $Z(x)$ 中的非线性项是已知的且可被完美抵消（匹配通道）。
• 实验数据是无测量噪声的（或者噪声可以被外系统建模）。
• 存在线性稳态解（假设 2）。

作者确定的未来工作方向包括通过鲁棒控制技术处理一般类别的噪声，以及通过仅使用输入-输出数据将该方法扩展到输出反馈设计。