Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

あなたは、非常に頑固で、そわそわと動き回るロボット犬に、完璧な円を描いて歩くよう教えようとしているところだと想像してください。しかも、床はガタガタと揺れており、あなたにはそのロボットの設計図もありません。ロボットの脳内のギアや数式を見ることはできず、手元にあるのは、その動きを記録したビデオカメラの映像と、あなたが送ったコマンドだけです。これが、劉一軒（Yixuan Liu）と郭美晨（Meichen Guo）の新しい研究が取り組んだ課題です。

彼らの主な発見は、これらの扱いにくい非線形システムに対して、正確な方程式を一切知ることなく、記録された実験データのみを用いてコントローラーを構築できる、巧妙な「データ駆動型」のレシピです。彼らは、「増分受動性（incremental passivity）」という特定の数学的トリックを用いることで、システムを望ましい経路に完璧に従わせることができ、最終的に誤差（現在地とあるべき場所との距離）を正確にゼロにまで縮小できることを証明しました。

「ブラックボックス」問題

通常、複雑な機械を制御するには、エンジニアは完璧な数学モデル（機械があらゆる押し引きに対してどのように反応するかを正確に記述する一連のルール）を必要とします。しかし現実世界では、生態系や脳のネットワーク、あるいは単純な振り子のようなものでさえ、完璧にモデル化するにはあまりにも乱雑すぎることがあります。著者たちは、完璧な結果を得るために必ずしも完璧なモデルが必要であるという考えに異を唱えています。代わりに、彼らはモデリングのステップを完全にスキップして、「データ」から「制御」へと直接進むことができることを示しています。

しかし、彼らは自分たちが「やっていないこと」についても非常に明確に述べています。彼らは、膨大なデータを必要とし、保証なしには失敗する可能性があるニューラルネットワークのような「ブラックボックス」的な推測ゲームは使いません。また、他の高度な手法でよく見られる、動き出しのためにまず「安定化」コントローラーを見つけるというプロセスにも依存しません。彼らの手法は直接的です。「ここにデータがあり、ここに数学があり、ここにコントローラーがある」というものです。

「魔法の鏡」と「ゴースト」

これを説明するために、比喩を使いましょう。ロボット犬を混沌としたダンサーだと想像してください。あなたは彼に特定の曲（リファレンス）に合わせて踊ってほしいのですが、誰かが絶えず彼にぶつかってきます（外乱）。

ステップ1：「受動性」による改造
まず、著者たちは「魔法の鏡」のように機能するコントローラーを設計します。彼らは、過去のダンスのビデオ映像のみを使用して、混沌としたダンサーの動きを調整し、そのダンサーを「増分受動的」にします。平たく言えば、これは、もし誰かが突き飛ばしても、ダンサーが暴走するのではなく、エネルギーを穏やかに吸収してリズムに落ち着くような、非常に「行儀の良い」状態にすることを意味します。彼らは、収集したデータを用いて「線形行列不等式（LMI）」と呼ばれる特定の数学パズルを解くことで、この「突き放し方（フィードバック・コントローラー）」を見つけられることを証明しました。

ステップ2：「ゴースト」のパートナー
ダンサーが行儀良くなったら、次に「ゴースト」のパートナーを導入します。このゴーストは、音楽の調べとぶつかり方のパターンを正確に把握している、単純で予測可能な機械（内部モデル）です。ゴーストはダンサーの秘密の動きを知る必要はありません。ただ、音楽のリズムとぶつかり方のパターンを知っていればよいのです。著者たちは、この行儀の良いダンサーをこのゴーストに接続します。両者が「受動的（行儀が良い）」であるため、両者は完璧な調和の中にロックされます。ゴーストがリードし、ダンサーがそれに従い、ぶつかりによる影響は無視されます。

「デカップル（分離）」の利点

ここが本当に素晴らしい部分です。著者たちは、「魔法の鏡（コントローラー）」と「ゴースト（内部モデル）」を別々に設計しました。これらは独立しています。

• もし曲が変わった（リファレンスが変わった）としても、ダンサーに動き方を教え直す必要はありません。単にゴーストを入れ替えるだけです。
• もしダンサーのスタイルが少し変わったとしても、ゴーストを再設計する必要はありません。
  この「デカップル（分離）」された設計は、効率性の面で大きな勝利をもたらします。古い手法では、曲が変わると、システム全体を最初からシミュレーションし直さなければならないことがよくありました。ここでは、少しのデータを追加収集してゴーストを更新するだけで済みます。

彼らが実際に成し遂げたこと（そして成し遂げなかったこと）

著者たちは、これが機能する可能性を示唆しただけではありません。彼らは、特定のクラスの非線形システムに対して、これが機能することを数学的に証明しました。彼らは、十分なデータ（具体的には、データセットの長さ $T$ が、システムを記述するために使用する関数の数に、入力と外乱の次元を加えたもの以上である場合）があれば、誤差がゼロになることを保証できることを示しました。

彼らはこれらを2つのシミュレーションでテストしました：

1. 単純な振り子： ノイズの乗った風が吹いている振り子をシミュレートしました。わずか20個のサンプル（0.5秒ごとに収集）からのデータを使用して、どこから開始しても、振り子が望ましいリズム通りに正確に揺れるようにするコントローラーを設計しました。誤差はすべてのケースでゼロに減少しました。
2. 非ゼロ平衡点： 彼らはより難しい問題に取り組みました。ゼロではない地点でシステムを安定させる問題です。想像してみてください、ほうきを手に持っているのですが、変な角度でバランスを保ちたいと考えており、かつ、そこに保持するためにどれだけの力が必要なのか正確には分からない状況です。彼らの手法は、その謎めいた「保持する力」を計算することなく、それを安定させる方法を見つけ出しました。

限界と未来

論文は、その境界について非常に正直です。彼らの「魔法の鏡」は、システムの乱雑な部分（非線形性）が既知であり、それを取り除くことができる場合に最もよく機能します。データのノイズが（サイン波のようなパターンに従わず）ランダムで予測不可能なものである場合、現在の彼らの手法では苦戦する可能性があることを認めています。彼らは、そのような種類の乱雑なノイズに対処するために、将来の研究では「ロバスト性」を加える必要があると示唆しています。

また、彼らの手法は現在、システムの速度（状態の微分）を直接測定できることを前提としていることも指摘しています。もしノイズの多い位置データから速度を推測しなければならない場合、そこには彼らがまだ完全には解決できていない不確実性が導入されることになります。

要約すると、劉と郭は、特定の種類の、ぐにゃぐにゃとしてノイズの多いシステムに対して、生のデータから完璧な制御へと至る架け橋を築きました。彼らは単に「可能である」と言っただけではありません。その架け橋を構築し、それを支える数学を示し、シミュレーションの中で実際に渡ってみせることで、それが崩壊しないことを証明したのです。これは、完璧な地図を持たずに、乱雑な現実世界を制御するための大きな一歩です。