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Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

यह शोध पत्र एक डेटा-संचालित गैररेखीय आउटपुट रेगुलेशन फ्रेमवर्क प्रस्तावित करता है जो डेटा-निर्भर रैखिक मैट्रिक्स असमानताओं (linear matrix inequalities) के माध्यम से इंक्रीमेंटल पासिविटी सुनिश्चित करने के लिए एक फीडबैक कंट्रोलर डिजाइन करके एसिम्प्टोटिक ट्रैकिंग और डिस्टर्बेंस रिजेक्शन प्राप्त करता है, जिससे कंट्रोलर डिजाइन को इंटरनल मॉडल से अलग किया जा सकता है और रेगुलेशन एवं नॉन-जीरो इक्विलिब्रियम स्टेबिलाइजेशन समस्याओं दोनों के लिए कुशल समाधान सक्षम किए जा सकते हैं।

मूल लेखक: Yixuan Liu, Meichen Guo

प्रकाशित 2026-07-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yixuan Liu, Meichen Guo

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही जिद्दी, हिलते-डुलते रोबोट कुत्ते को एक सटीक घेरे (circle) में चलना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, भले ही फर्श उसके नीचे हिल रहा हो और आपके पास उस रोबोट के ब्लूप्रिंट (नक्शे) न हों। आप उसके दिमाग के भीतर के गियर या गणित को नहीं देख सकते; आपके पास केवल एक वीडियो कैमरा है जो उसकी गतिविधियों को रिकॉर्ड कर रहा है और आपके द्वारा भेजे गए कमांड हैं। यह वही चुनौती है जिसे लेखक, यिक्सुआन लियू और मेइचेन गुओ ने अपने नए काम में हल किया है।

उनकी मुख्य खोज एक चतुर "डेटा-संचालित" (data-driven) रेसिपी है जो आपको इन कठिन, नॉनलीनियर सिस्टम्स के लिए एक कंट्रोलर बनाने देती है, और इसके लिए केवल रिकॉर्ड किए गए प्रयोगों की आवश्यकता होती है, बिना कभी यह जाने कि रोबोट कैसे चलता है उसके सटीक समीकरणों की आवश्यकता। उन्होंने सिद्ध किया कि एक विशिष्ट गणितीय ट्रिक का उपयोग करके जिसे "इन्क्रीमेंटल पैसिविटी" (incremental passivity) कहा जाता है, वे सिस्टम को एक वांछित पथ का पूरी तरह से पालन करने के लिए मजबूर कर सकते हैं, जिससे अंततः त्रुटि (वह दूरी जहाँ वह है और जहाँ उसे होना चाहिए) बिल्कुल शून्य तक कम हो जाती है।

"ब्लैक बॉक्स" की समस्या

आमतौर पर, एक जटिल मशीन को नियंत्रित करने के लिए, इंजीनियरों को एक सटीक गणितीय मॉडल की आवश्यकता होती है—नियमों का एक सेट जो बताता है कि मशीन हर धक्के और खिंचाव पर कैसे प्रतिक्रिया देती है। लेकिन वास्तविक दुनिया में, पारिस्थितिकी तंत्र (ecosystems), मस्तिष्क नेटवर्क, या यहाँ तक कि एक साधारण पेंडुलम जैसी चीजें भी इतनी अव्यवस्थित हो सकती हैं कि उन्हें पूरी तरह से मॉडल करना कठिन होता है। लेखक इस विचार के विरुद्ध तर्क देते हैं कि सटीक परिणाम पाने के लिए आपके पास एक सटीक मॉडल होना अनिवार्य है। इसके बजाय, वे दिखाते हैं कि आप मॉडलिंग चरण को पूरी तरह से छोड़कर सीधे "डेटा" से "नियंत्रण" (control) की ओर जा सकते हैं।

हालाँकि, वे इस बारे में बहुत स्पष्ट हैं कि वे क्या नहीं करते हैं। वे न्यूरल नेटवर्क जैसे "ब्लैक बॉक्स" अंदाजों का उपयोग नहीं करते हैं जिन्हें भारी मात्रा में डेटा की आवश्यकता होती है और जो बिना किसी गारंटी के विफल हो सकते हैं। वे इस पर भी निर्भर नहीं हैं कि पहले एक "स्थिरीकरण" (stabilizing) कंट्रोलर खोजा जाए ताकि काम शुरू किया जा सके, जो अन्य उन्नत तरीकों में एक सामान्य आवश्यकता है। उनका तरीका सीधा है: यह रहा डेटा, यह रहा गणित, और यह रहा कंट्रोलर।

"मैजिक मिरर" और "घोस्ट"

इसे समझाने के लिए, आइए एक रूपक (metaphor) का उपयोग करें। कल्पना कीजिए कि रोबोट कुत्ता एक अराजक डांसर है। आप चाहते हैं कि वह एक विशिष्ट गाने (रेफरेंस) पर नाचे, लेकिन कोई लगातार उससे टकरा रहा है (डिस्टर्बेंस)।

चरण 1: "पैसिविटी" का मेकओवर
सबसे पहले, लेखक एक ऐसा कंट्रोलर डिजाइन करते हैं जो एक "जादुई दर्पण" (magic mirror) की तरह काम करता है। वे अराजक डांसर को लेते हैं और, केवल नृत्य के पिछले वीडियो फुटेज का उपयोग करके, वे डांसर की गतिविधियों को इस तरह से ट्यून करते हैं कि वे "इन्क्रीमेंटली पैसिव" (incrementally passive) हो जाएं। सरल शब्दों में, इसका अर्थ है कि वे डांसर को इतना सुव्यवस्थित बना देते हैं कि यदि आप उन्हें थोड़ा धक्का देते हैं, तो वे अनियंत्रित नहीं होते; इसके बजाय, वे धीरे से ऊर्जा को सोख लेते हैं और लय में वापस आ जाते हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि आप इस "धक्के" (फीडबैक कंट्रोलर) को उन लीनियर मैट्रिक्स इनइक्वेलिटीज (LMIs) नामक विशिष्ट गणितीय पहेलियों को हल करके पा सकते हैं, जिनका उपयोग आपने एकत्र किए गए डेटा के साथ किया है।

चरण 2: "घोस्ट" पार्टनर
एक बार जब डांसर सुव्यवस्थित हो जाता है, तो वे एक "घोस्ट" (भूत/साया) पार्टनर पेश करते हैं। यह घोस्ट एक सरल, अनुमानित मशीन (इंटरनल मॉडल) है जो जानता है कि गाना और झटके कैसे दिखते हैं। घोस्ट को डांसर की गुप्त चालों को जानने की आवश्यकता नहीं है; उसे बस संगीत की लय और झटकों को जानने की आवश्यकता है। लेखक सुव्यवस्थित डांसर को इस घोस्ट से जोड़ते हैं। क्योंकि दोनों "पैसिव" (सुव्यवस्थित) हैं, वे एक आदर्श सामंजस्य में बंध जाते हैं। घोस्ट नेतृत्व करता है, डांसर उसका अनुसरण करता है, और झटकों को अनदेखा कर दिया जाता है।

"डीकप्ल्ड" (Decoupled) लाभ

यहाँ सबसे दिलचस्प बात है: लेखकों ने "मैजिक मिरर" (कंट्रोलर) और "घोस्ट" (इंटरनल मॉडल) को अलग-अलग डिजाइन किया है। वे स्वतंत्र हैं।

यदि गाना बदल जाता है (रेफरेंस बदल जाता है), तो आपको डांसर को कैसे नाचना है, यह फिर से सिखाने की आवश्यकता नहीं है। आप बस घोस्ट को बदल देते हैं।
यदि डांसर की शैली थोड़ी बदल जाती है, तो आपको घोस्ट को फिर से डिजाइन करने की आवश्यकता नहीं है।
यह "डीकप्ल्ड" डिज़ाइन दक्षता के लिए एक बड़ी जीत है। पुराने तरीकों में, यदि गाना बदल जाता था, तो अक्सर आपको पूरे सिस्टम को फिर से सिम्युलेट करना पड़ता था। यहाँ, आप बस थोड़ा और डेटा एकत्र करते हैं और घोस्ट को अपडेट करते हैं।

उन्होंने वास्तव में क्या किया (और क्या नहीं किया)

लेखकों ने केवल यह सुझाव नहीं दिया कि यह काम कर सकता है; उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यह विशिष्ट प्रकार के नॉनलीनियर सिस्टम्स के लिए काम करता है। उन्होंने दिखाया कि यदि आपके पास पर्याप्त डेटा है (विशेष रूप से, डेटा सेट की लंबाई $T$ उन कार्यों की संख्या से कम नहीं होनी चाहिए जिनका उपयोग आप सिस्टम का वर्णन करने के लिए करते हैं, साथ ही इनपुट और डिस्टर्बेंस के आयाम), तो आप गारंटी दे सकते हैं कि त्रुटि शून्य हो जाएगी।

उन्होंने इसे दो सिमुलेशन के साथ टेस्ट किया:

एक साधारण पेंडुलम: उन्होंने एक शोर वाले हवा के झोंके के साथ झूलते हुए पेंडुलम का सिमुलेशन किया। केवल 20 सैंपल्स (जो हर 0.5 सेकंड में एकत्र किए गए थे) के डेटा का उपयोग करके, उन्होंने एक ऐसा कंट्रोलर डिजाइन किया जिसने पेंडुलम को वांछित लय के अनुसार सटीक रूप से झुलाया, चाहे उसकी शुरुआत कहीं से भी हुई हो। सभी मामलों में त्रुटि शून्य हो गई।
एक नॉन-जीरो इक्विलिब्रियम: उन्होंने एक कठिन समस्या को हल किया: एक ऐसे स्थान पर सिस्टम को स्थिर करना जो "जीरो" नहीं है। कल्पना कीजिए कि आप अपने हाथ पर एक झाड़ू को संतुलित कर रहे हैं, लेकिन आप चाहते हैं कि वह एक अजीब कोण पर संतुलित रहे, और आप यह भी नहीं जानते कि उसे वहां संतुलित रखने के लिए कितने बल की आवश्यकता है। उनके तरीके ने उस रहस्यमय "होल्डिंग फोर्स" की गणना किए बिना ही इसे स्थिर करने का रास्ता खोज लिया।

सीमाएं और भविष्य

पेपर अपनी सीमाओं के बारे में बहुत ईमानदार है। उनका "मैजिक मिरर" सबसे अच्छा तब काम करता है जब सिस्टम के जटिल हिस्से (नॉनलिनैरिटीज) ज्ञात हों और उन्हें पूरी तरह से रद्द किया जा सके। वे स्वीकार करते हैं कि यदि डेटा में शोर (noise) यादृच्छिक और अप्रत्याशित है (जैसे कि साइन वेव जैसा पैटर्न नहीं है), तो उनका वर्तमान तरीका संघर्ष कर सकता है। वे सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्यों में इस तरह के शोर को संभालने के लिए "रोबस्टनेस" (robustness) जोड़ने की आवश्यकता होगी।

साथ ही, वे नोट करते हैं कि उनका तरीका वर्तमान में यह मानता है कि आप सिस्टम की गति (स्टेट का डेरिवेटिव) को सीधे माप सकते हैं। यदि आपको शोर वाले पोजीशन डेटा से गति का अनुमान लगाना पड़ता है, तो यह अनिश्चितता पैदा करता है जिसे उन्होंने अभी तक पूरी तरह से हल नहीं किया है।

संक्षेप में, लियू और गुओ ने एक विशिष्ट प्रकार के हिलते-डुलते, शोर वाले सिस्टम के लिए कच्चे डेटा से पूर्ण नियंत्रण तक एक पुल बनाया है। उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "यह संभव है"; उन्होंने पुल बनाया, उस गणित को दिखाया जो इसे थामे रखता है, और एक सिमुलेशन में चलकर यह साबित किया कि यह ढहता नहीं है। यह बिना किसी सटीक मानचित्र के, इस अस्त-व्यस्त वास्तविक दुनिया को नियंत्रित करने की दिशा में एक कदम है।

तकनीकी सारांश: डेटा-एन्फोर्स्ड इंक्रीमेंटल पासिविटी के माध्यम से डेटा-संचालित नॉनलीनियर आउटपुट रेगुलेशन

समस्या का निरूपण (Problem Formulation)
यह कार्य अज्ञात सिस्टम डायनेमिक्स वाले बाहरी विक्षोभों (disturbances) के अधीन एक वर्ग के नॉनलीनियर सिस्टम के लिए आउटपुट रेगुलेशन समस्या को संबोधित करता है। प्लांट को $\dot{x} = AZ(x) + Bu + Ew$ और $e = CZ(x) + Fw $के रूप में मॉडल किया गया है, जहाँ$ Z(x) $ज्ञात निरंतर फलनों (स्टेट और नॉनलीनियर टर्म्स सहित) का एक ज्ञात वेक्टर है, लेकिन मैट्रिक्स$ A, B, C, E, $और$ F$ अज्ञात हैं। संदर्भ प्रक्षेपवक्र (reference trajectory) और विक्षोभ एक ज्ञात लीनियर एक्सोसिस्टम $\dot{w} = Sw$ द्वारा उत्पन्न किए जाते हैं। उद्देश्य केवल ऑफलाइन इनपुट-स्टेट-आउटपुट डेटा ( $D_S$ ) के एक सीमित सेट का उपयोग करके एक फीडबैक कंट्रोल इनपुट $u$ को डिजाइन करना है ताकि रेगुलेशन एरर $e$ एसिम्प्टोटिकली शून्य की ओर अग्रसर हो, जबकि यह सुनिश्चित हो कि सभी क्लोज्ड-लूप समाधान सीमित (bounded) रहें।

कार्यप्रणाली (Methodology)
प्रस्तावित दृष्टिकोण एक फीडबैक इंटरकनेक्शन के माध्यम से क्लोज्ड-लूप सिस्टम पर इंक्रीमेंटल पासिविटी (incremental passivity) को लागू करने पर निर्भर करता है। यह कार्यप्रणाली दो मुख्य चरणों में आगे बढ़ती है:

डेटा-ड्रिवन इंक्रीमेंटल पैसिवेशन (Data-Driven Incremental Passivation):
पहला चरण एक स्टैटिक स्टेट-फीडबैक कंट्रोलर को डिजाइन करता है जो $u = KZ(x) + v $के रूप में होता है, जहाँ$ v $एक वर्चुअल इनपुट है। लक्ष्य क्लोज्ड-लूप सिस्टम को रेगुलेशन एरर$ e $और वर्चुअल इनपुट$ v$ के संबंध में इंक्रीमेंटल रूप से पैसिव बनाना है।

मॉडल-आधारित आधार (Model-Based Foundation): लेखक पहले यह स्थापित करते हैं कि यदि कोई गेन $K$ और एक पॉजिटिव डेफिनिट मैट्रिक्स $P$ मौजूद है जो विशिष्ट लीनियर मैट्रिक्स इनइक्वेलिटीज (LMIs) को संतुष्ट करता है, तो सिस्टम इंक्रीमेंटली पैसिव हो जाता है।
डेटा-ड्रिवन विस्तार (Data-Driven Extension): डेटा-ड्रिवन कंट्रोल के "फंडामेंटल लेम्मा" का लाभ उठाते हुए, लेखक ऐसी स्थितियों को व्युत्पन्न करते हैं जहाँ सिस्टम मैट्रिसेस को $D_S$ से निर्मित डेटा-डिपेंडेंट मैट्रिसेस द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, वे मैट्रिक्स $Y$ और $G_2$ वाले डेटा-डिपेंडेंट LMIs (थ्योरम 1) को तैयार करते हैं। इन LMIs को हल करने से फीडबैक गेन $K = U_0 Y P^{-1}$ प्राप्त होता है, बिना सिस्टम मैट्रिसेस $A, B, C, E, F$ को स्पष्ट रूप से पहचाने। यह डिजाइन यह मान लेता है कि $Z(x)$ में नॉनलिनियलिटीज ज्ञात हैं और कंट्रोल इनपुट द्वारा पूरी तरह से कैंसिल की जा सकती हैं।

इंटरनल मॉडल के माध्यम से रेगुलेटर सिंथेसिस (Regulator Synthesis via Internal Model):
एक बार जब क्लोज्ड-लूप सिस्टम को इंक्रीमेंटली पैसिव बना दिया जाता है, तो ज्ञात एक्सोसिस्टम डायनेमिक्स के आधार पर एक इंक्रीमेंटली पैसिव इंटरनल मॉडल डिजाइन किया जाता है। इंटरनल मॉडल $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ और $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$ द्वारा दिया गया है।

इंटरकनेक्शन (Interconnection): क्लोज्ड-लूप सिस्टम और इंटरनल मॉडल को आपस में जोड़ा जाता है। लेम्मा 1 के अनुसार, दो इंक्रीमेंटली पैसिव सिस्टम का फीडबैक इंटरकनेक्शन इंक्रीमेंटली पैसिव रहता है।
स्थिरता प्रमाण (Stability Proof): समग्र रेगुलेटर को एरर पर एक स्टेबिलाइजिंग गेन के साथ लूप बंद करके बनाया जाता है। एक कंपोजिट स्टोरेज फंक्शन और बारलेट के लेम्मा (Barbalat's lemma) का उपयोग करके, लेखक सिद्ध करते हैं कि रेगुलेशन एरर $e(t)$ एसिम्प्टोटिकली शून्य की ओर अभिसरित (converge) होता है, बशर्ते कि एक्सोसिस्टम मानक धारणाओं (इमेजिनरी एक्सिस पर सिंपल रूट्स) को पूरा करता हो और व्यवहार्यता की स्थिति (लीनियर स्टेडी-स्टेट सॉल्यूशन का अस्तित्व) बनी रहे।

प्रमुख योगदान (Key Contributions)
यह शोध पत्र चार प्राथमिक योगदानों को रेखांकित करता है:

डेटा से ग्लोबल एसिम्प्टोटिक रेगुलेशन: यह कार्य नॉनलीनियर प्लांट के लिए सीधे ऑफलाइन डेटा से आउटपुट रेगुलेशन समस्या को हल करता है, जो रेगुलेशन एरर के शून्य की ओर एसिम्प्टोटिक अभिसरण की गारंटी देता है। यह हालिया डेटा-ड्रिवन परिणामों के विपरीत है जो या तो लीनियर सिस्टम पर ध्यान केंद्रित करते हैं या केवल नॉनलीनियर सिस्टम के लिए बाउंडेड एरर की गारंटी देते हैं।
डिकपल्ड डिजाइन (Decoupled Design): एक महत्वपूर्ण विशेषता फीडबैक पैसिवेशन कंट्रोलर डिजाइन को इंटरनल मॉडल डिजाइन से अलग करना है। पैसिवेशन कंट्रोलर, इंटरनल मॉडल से स्वतंत्र है, और रेगुलेटर डिजाइन के लिए इंटरनल मॉडल से एकत्र किए गए डेटा की आवश्यकता नहीं होती है। यह उच्च डेटा दक्षता और लचीलापन प्रदान करता है, क्योंकि एक्सोसिस्टम में परिवर्तन के लिए पैसिवेशन कंट्रोलर के पूर्ण पुन: डिजाइन की आवश्यकता नहीं होती है।
पैसिवेशन कंट्रोलर्स का लक्षण वर्णन (Characterization of Passivation Controllers): लेखक नॉनलीनियर सिस्टम के लिए फीडबैक इंक्रीमेंटल पैसिवेशन कंट्रोलर्स का लक्षण वर्णन करते हैं और उनके डिजाइन के लिए डेटा-आधारित LMIs व्युत्पन्न करते हैं। यह प्रत्यक्ष डेटा-ड्रिवन कंट्रोल को केवल डिसिपेटिविटी गुणों के सत्यापन या विश्लेषण से आगे बढ़ाकर, पैसिविटी-एनफोर्सिंग कंट्रोलर्स के संश्लेषण तक विस्तारित करता है।
नॉन-जीरो इक्विलिब्रियम स्टेबलाइजेशन: इस फ्रेमवर्क को नॉन-जीरो इक्विलिब्रियम के लिए स्टेबलाइजेशन समस्या को हल करने के लिए विस्तारित किया गया है जहाँ इक्विलिब्रियम इनपुट ज्ञात या अनुमानित नहीं है। एक वर्चुअल एरर को इक्विलिब्रियम से दूरी के आधार पर परिभाषित करके, कोऑर्डिनेट ट्रांसफॉर्मेशन के बिना एसिम्प्टोटिक स्थिरता प्राप्त करने के लिए आउटपुट रेगुलेशन फ्रेमवर्क को लागू किया जाता है।

परिणाम और सत्यापन (Results and Validation)
सैद्धांतिक परिणामों को दो संख्यात्मक उदाहरणों के माध्यम से सत्यापित किया गया है:

सिंपल पेंडुलम (Simple Pendulum): एक नॉनलीनियर पेंडुलम को साइनुसोइडल और कांस्टेंट विक्षोभों के अधीन नियंत्रित किया जाता है। डेटा-ड्रिवन रेगुलेटर विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों से ट्रैकिंग एरर को सफलतापूर्वक शून्य तक ले जाता है।
नॉन-जीरो इक्विलिब्रियम स्टेबलाइजेशन: एक नॉनलीनियर सिस्टम को एक विशिष्ट नॉन-जीरो इक्विलिब्रियम पॉइंट ( $x_e = [-2, -1]^\top$ ) पर स्थिर किया जाता है, भले ही इक्विलिब्रियम इनपुट और समय-परिवर्तित विक्षोभ अज्ञात हों। स्टेट ट्रेजेक्टरीज लक्षित इक्विलिब्रियम की ओर अभिसरित होती हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
लेखक का दावा है कि इसका महत्व नॉनलीनियर आउटपुट रेगुलेशन के लिए एक कठोर, डेटा-ड्रिवन समाधान प्रदान करने में निहित है जो स्पष्ट सिस्टम आइडेंटिफिकेशन की आवश्यकता के बिना ग्लोबल एसिम्प्टोटिक स्टेबिलिटी सुनिश्चित करता है। डिकपल्ड आर्किटेक्चर को पारंपरिक ऑगमेंटेड सिस्टम दृष्टिकोणों की तुलना में एक प्रमुख लाभ के रूप में हाइलाइट किया गया है, विशेष रूप से डेटा-ड्रिवन सेटिंग्स में जहाँ ऑगमेंटेड सिस्टम (इंटरनल मॉडल सहित) से डेटा एकत्र करना जटिल होता है।

लेखक अपने दायरे की धारणाओं के संबंध में विनम्र हैं। वे स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि उनका दृष्टिकोण यह मानता है:

$Z(x)$ में नॉनलिनियलिटीज ज्ञात हैं और पूरी तरह से कैंसिल करने योग्य (मैच्ड चैनल्स) हैं।
प्रायोगिक डेटा मेजरमेंट नॉइज़ से मुक्त है (या नॉइज़ को एक्सोसिस्टम द्वारा मॉडल किया जा सकता है)।
एक लीनियर स्टेडी-स्टेट सॉल्यूशन का अस्तित्व (धारणा 2) बना रहता है।

लेखकों द्वारा पहचाने गए भविष्य के कार्य के दिशा-निर्देशों में रोबस्ट कंट्रोल तकनीकों के माध्यम से सामान्य श्रेणियों के शोर (noise) को संभालना और केवल इनपुट-आउटपुट डेटा का उपयोग करके आउटपुट-फीडबैक डिजाइनों तक दृष्टिकोण का विस्तार करना शामिल है।

"ब्लैक बॉक्स" की समस्या

"मैजिक मिरर" और "घोस्ट"

"डीकप्ल्ड" (Decoupled) लाभ

उन्होंने वास्तव में क्या किया (और क्या नहीं किया)

सीमाएं और भविष्य

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