Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

Résumé Technique : Régulation de Sortie Non Linéaire Pilotée par les Données via la Passivité Incrémentale Imposée par les Données

Formulation du Problème
Ce travail traite du problème de régulation de sortie pour une classe de systèmes non linéaires soumis à des perturbations externes, où la dynamique du système est inconnue. L'usine est modélisée par $\dot{x} = AZ(x) + Bu$ et $e = CZ(x) + Fw$, où$Z(x)$ est un vecteur connu de fonctions continues (incluant l'état et les termes non linéaires), mais les matrices $A, B, C, E$ et $F$ sont inconnues. La trajectoire de référence et les perturbations sont générées par un exosystème linéaire connu $\dot{w} = Sw$. L'objectif est de concevoir une commande de rétroaction $u$ en utilisant uniquement un ensemble fini de données d'entrée-état-sortie hors ligne ($D_S$) afin que l'erreur de régulation $e$ converge asymptotiquement vers zéro, tout en garantissant que toutes les solutions en boucle fermée restent bornées.

Méthodologie
L'approche proposée repose sur l'imposition d'une passivité incrémentale sur le système en boucle fermée via une rétroaction pilotée par les données, suivie d'une interconnexion avec un modèle interne. La méthodologie se déroule en deux étapes principales :

1. Passivation Incrémentale Pilotée par les Données :
   La première étape conçoit un contrôleur de rétroaction d'état statique de la forme $u = KZ(x) + v$, où$v$ est une entrée virtuelle. Le but est de rendre le système en boucle fermée incrémentalement passif par rapport à l'erreur de régulation $e$ et à l'entrée virtuelle $v$.

   • Fondement Basé sur le Modèle : Les auteurs établissent d'abord que s'il existe un gain $K$ et une matrice définie positive $P$ satisfaisant des Inégalités Matricielles Linéaires (LMI) spécifiques, le système devient incrémentalement passif.
   • Extension Pilotée par les Données : En exploitant le « lemme fondamental » du contrôle piloté par les données, les auteurs dérivent des conditions où les matrices du système sont remplacées par des matrices dépendantes des données construites à partir de $D_S$. Plus précisément, ils formulent un ensemble de LMI dépendantes des données (Théorème 1) impliquant les matrices $Y$ et $G_2$. La résolution de ces LMI permet d'obtenir le gain de rétroaction $K = U_0 Y P^{-1}$ sans identifier explicitement les matrices du système $A, B, C, E, F$. Cette conception suppose que les non-linéarités dans $Z(x)$ sont connues et parfaitement annulables par l'entrée de commande.

2. Synthèse du Régulateur via le Modèle Interne :
   Une fois le système en boucle fermée rendu incrémentalement passif, un modèle interne incrémentalement passif est conçu sur la base de la dynamique connue de l'exosystème. Le modèle interne est donné par $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ et $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$.

   • Interconnexion : Le système en boucle fermée et le modèle interne sont interconnectés. Selon le Lemme 1, l'interconnexion par rétroaction de deux systèmes incrémentalement passifs reste incrémentalement passive.
   • Preuve de Stabilité : Le régulateur global est formé en fermant la boucle avec un gain de stabilisation sur l'erreur. En utilisant une fonction de stockage composite et le lemme de Barbalat, les auteurs prouvent que l'erreur de régulation $e(t)$ converge asymptotiquement vers zéro, à condition que l'exosystème satisfasse les hypothèses standards (racines simples sur l'axe imaginaire) et que la condition de faisabilité (existence d'une solution d'état stationnaire linéaire) soit remplie.

Principales Contributions
Le papier met en évidence quatre contributions primordiales :

• Régulation Asymptotique Globale à partir de Données : Ce travail résout le problème de régulation de sortie pour des usines non linéaires directement à partir de données hors ligne, garantissant la convergence asymptotique de l'erreur de régulation vers zéro. Cela contraste avec les résultats récents pilotés par les données qui se concentrent soit sur des systèmes linéaires, soit ne garantissent que des erreurs bornées pour les systèmes non linéaires.
• Conception Découplée : Une caractéristique significative est le découplage de la conception du contrôleur de passivation par rétroaction et de la conception du modèle interne. Le contrôleur de passivation est indépendant du modèle interne, et la conception du régulateur ne nécessite pas de données collectées à partir du modèle interne. Cela offre une grande efficacité de données et une grande flexibilité, car les changements dans l'exosystème ne nécessitent pas une refonte complète du contrôleur de passivation.
• Caractérisation des Contrôleurs de Passivation : Les auteurs caractérisent les contrôleurs de passivation incrémentale par rétroaction pour les systèmes non linéaires et dérivent des LMI basées sur les données pour leur conception. Cela étend le contrôle direct piloté par les données au-delà de la simple vérification ou analyse des propriétés de dissipativité vers la synthèse réelle de contrôleurs imposant la passivité.
• Stabilisation d'Équilibre Non Nul : Le cadre est étendu pour résoudre le problème de stabilisation d'équilibres non nuls où l'entrée d'équilibre n'est ni connue ni estimée. En définissant une erreur virtuelle basée sur la distance à l'équilibre, le cadre de régulation de sortie est appliqué pour atteindre la stabilité asymptotique sans transformation de coordonnées.

Résultats et Validation
Les résultats théoriques sont validés par deux exemples numériques :

1. Pendule Simple : Un pendule non linéaire soumis à des perturbations sinusoïdales et constantes est contrôlé. Le régulateur piloté par les données parvient avec succès à annuler l'erreur de poursuite à partir de diverses conditions initiales.
2. Stabilisation d'Équilibre Non Nul : Un système non linéaire est stabilisé à un point d'équilibre non nul spécifique ($x_e = [-2, -1]^\top$) malgré une entrée d'équilibre inconnue et des perturbations temporelles. Les trajectoires d'état convergent vers l'équilibre cible.

Signification et Revendications
Le papier affirme que sa signification réside dans la fourniture d'une solution rigoureuse, pilotée par les données, pour la régulation de sortie non linéaire qui garantit la stabilité asymptotique globale sans nécessiter d'identification explicite du système. L'architecture découplée est mise en avant comme un avantage majeur par rapport aux approches traditionnelles de systèmes augmentés, particulièrement dans les contextes pilotés par les données où la collecte de données à partir du système augmenté (incluant le modèle interne) est complexe.

Les auteurs font preuve de modestie quant à la portée de leurs hypothèses. Ils notent explicitement que leur approche suppose que :

• Les non-linéarités dans $Z(x)$ sont connues et parfaitement annulables (canaux correspondants/matched channels).
• Les données expérimentales sont exemptes de bruit de mesure (ou que le bruit peut être modélisé par l'exosystème).
• L'existence d'une solution d'état stationnaire linéaire (Hypothèse 2).

Les directions de travaux futurs identifiées par les auteurs incluent le traitement de classes générales de bruit via des techniques de contrôle robuste et l'extension de l'approche à des conceptions de rétroaction par sortie en utilisant uniquement des données entrée-sortie.