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Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

본 논문은 데이터 의존적 선형 행렬 부등식을 통해 증분 수동성(incremental passivity)을 보장하도록 피드백 제어기를 설계함으로써 점근적 추종 및 외란 제거를 달성하는 데이터 기반 비선형 출력 조절 프레임워크를 제안하며, 이를 통해 제어기 설계를 내부 모델로부터 분리하고 조절 및 비영 평형 안정화 문제 모두에 대한 효율적인 솔루션을 가능하게 한다.

원저자: Yixuan Liu, Meichen Guo

게시일 2026-07-10

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CC BY 4.0

원저자: Yixuan Liu, Meichen Guo

원본 논문은 CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

당신은 아주 고집스럽고 꿈틀거리는 로봇 개에게 완벽한 원을 그리며 걷도록 가르치려 노력 중이라고 상상해 보세요. 비록 바닥은 로봇 아래에서 흔들리고 있고, 당신은 로봇의 설계도조차 가지고 있지 않지만 말입니다. 당신은 로봇의 뇌 속에서 어떤 기어가 돌아가는지, 어떤 수학적 계산이 이루어지는지 알 수 없습니다. 오직 로봇의 움직임을 녹화한 비디오 카메라와 당신이 내린 명령들만 가지고 있을 뿐입니다. 이것이 바로 이 논문의 저자인 이쉬안 리우(Yixuan Liu)와 메이첸 구오(Meichen Guo)가 해결하고자 했던 과제입니다.

그들의 주요 발견은, 모델을 전혀 모르는 상태에서도 기록된 실험 데이터만을 사용하여 이러한 까다로운 비선형 시스템을 위한 제어기를 구축할 수 있는 영리한 "데이터 기반(data-driven)" 레시피입니다. 그들은 "증분 수동성(incremental passivity)"이라는 특정 수학적 기법을 사용함으로써, 시스템이 원하는 경로를 완벽하게 따르도록 강제하고, 결국 오차(현재 위치와 있어야 할 위치 사이의 거리)를 정확히 zero로 줄일 수 있음을 증명했습니다.

"블랙 박스" 문제

보통 복잡한 기계를 제어하려면 엔지니어는 기계가 모든 밀고 당기는 힘에 어떻게 반응하는지를 설명하는 완벽한 수학적 모델—즉, 일련의 규칙—이 필요합니다. 하지만 현실 세계의 생태계, 뇌 네트워크, 또는 단순한 진자(pendulum) 같은 것들은 완벽하게 모델링하기에는 너무나 무질서할 수 있습니다. 저자들은 완벽한 결과를 얻기 위해 반드시 완벽한 모델이 있어야 한다는 생각에 반론을 제기합니다. 대신, 그들은 모델링 단계를 완전히 건너뛰고 "데이터"에서 "제어"로 곧장 나아갈 수 있음을 보여줍니다.

하지만 그들은 자신들이 하지 않는 것에 대해서도 매우 명확히 밝힙니다. 그들은 방대한 양의 데이터를 필요로 하며 보장된 성능 없이 실패할 수도 있는 신경망과 같은 "블랙 박스" 식의 추측 게임을 사용하지 않습니다. 또한, 다른 고급 방법들에서 흔히 요구되는 방식인, 일단 시동을 걸기 위해 먼저 "안정화(stabilizing)" 제어기를 찾는 방식에도 의존하지 않습니다. 그들의 방법은 직접적입니다. 여기 데이터가 있고, 여기 수학이 있으며, 여기 제어기가 있습니다.

"마법 거울"과 "유령"

이 과정을 설명하기 위해 비유를 들어보겠습니다. 로봇 개가 혼란스러운 댄서라고 상상해 보세요. 당신은 그가 특정 노래(참조 신호)에 맞춰 춤을 추길 원하지만, 누군가가 계속해서 그를 툭툭 치고 있습니다(외란).

1단계: "수동성(Passivity)" 메이크업
먼저, 저자들은 "마법 거울"처럼 작동하는 제어기를 설계합니다. 그들은 과거의 댄스 영상만을 사용하여, 댄서의 움직임을 조정함으로써 그를 "증분 수동적(incrementally passive)"으로 만듭니다. 쉬운 말로 설명하자면, 이는 댄서가 누군가 건드려도 날뛰지 않고, 대신 에너지를 부드럽게 흡수하여 다시 리듬 속으로 안착할 수 있을 만큼 아주 얌전하게 만드는 것을 의미합니다. 그들은 수집된 데이터를 사용하여 선형 행렬 부등식(Linear Matrix Inequalities, LMIs)이라는 특정 수학 퍼즐을 풀면 이 "건드림(feedback controller)"을 찾을 수 있다는 것을 증명했습니다.

2단계: "유령" 파트너
댄서가 얌전해지면, 이제 "유령" 파트너를 도입합니다. 이 유령은 노래와 충격의 패턴을 정확히 알고 있는 단순하고 예측 가능한 기계(내부 모델)입니다. 유령은 댄서의 비밀스러운 움직임을 알 필요가 없습니다. 그저 음악의 리듬과 충격의 패턴만 알면 됩니다. 저자들은 이 잘 길들여진 댄서를 유령과 연결합니다. 두 존재 모두 "수동적(passive, 얌전함)"이기 때문에, 이들은 완벽한 조화를 이루며 결합됩니다. 유령이 이끌고 댄서가 따르며, 외부의 충격은 무시됩니다.

"디커플링(Decoupled)"의 이점

여기 정말 멋진 부분이 있습니다. 저자들은 "마법 거울(제어기)"과 "유령(내부 모델)"을 별개로 설계했습니다. 이 둘은 독립적입니다.

만약 노래가 바뀐다면(참조 신호가 변한다면), 댄서에게 움직임을 다시 가르칠 필요가 없습니다. 유령만 교체하면 됩니다.
만약 댄서의 스타일이 약간 변하더라도, 유령을 다시 설계할 필요가 없습니다.
이러한 "디커플링" 설계는 효율성 측면에서 큰 승리입니다. 기존의 방법들에서는 노래가 바뀌면 전체 시스템을 처음부터 다시 시뮬레이션해야 하는 경우가 많았습니다. 여기서는 약간의 데이터를 더 수집하여 유령을 업데이트하기만 하면 됩니다.

그들이 실제로 한 것 (그리고 하지 않은 것)

저자들은 단순히 이것이 가능할 것이라고 제안한 것이 아니라, 특정 클래스의 비선형 시스템에 대해 이것이 작동함을 수학적으로 증명했습니다. 그들은 충분한 데이터(구체적으로, 시스템을 설명하는 데 사용하는 함수의 개수와 입력 및 외란의 차원 합보다 큰 데이터 세트 길이 $T$ )가 있다면, 오차가 zero로 수렴한다는 것을 보장할 수 있음을 보여주었습니다.

그들은 두 가지 시뮬레이션으로 이를 테스트했습니다:

단순 진자: 노이즈가 섞인 바람이 부는 진자를 시뮬레이션했습니다. 단 20개의 샘플(0.5초마다 수집)로부터 얻은 데이터를 사용하여, 시작 지점이 어디든 상관없이 진자가 원하는 리듬에 정확히 맞춰 흔들리도록 하는 제어기를 설계했습니다. 모든 경우에서 오차는 zero로 떨어졌습니다.
비제로 평형점(Non-Zero Equilibrium): 더 어려운 문제를 다루었습니다. 즉, 'zero'가 아닌 지점에서 시스템을 안정화하는 것입니다. 빗자루를 손 위에 세우는데, 특정한 각도로 균형을 잡고 싶지만 그 각도를 유지하기 위해 정확히 얼마만큼의 힘이 필요한지 모르는 상황을 상상해 보세요. 그들의 방법은 그 신비로운 "유지하는 힘"을 계산할 필요 없이 이를 안정화하는 방법을 찾아냈습니다.

한계와 미래

논문은 자신의 경계에 대해 매우 정직합니다. 그들의 "마법 거울"은 시스템의 무질서한 부분(비선형성)이 알려져 있고 이를 완벽하게 상쇄할 수 있을 때 가장 잘 작동합니다. 그들은 데이터의 노이즈가 (사인파처럼 패턴을 따르지 않고) 무작위적이고 예측 불가능하다면 현재의 방법이 어려움을 겪을 수 있음을 인정합니다. 그들은 향-후 연구에서 이러한 종류의 무질서한 노이즈를 처리하기 위해 "강건성(robustness)"을 추가해야 한다고 제안합니다.

또한, 현재의 방법은 시스템의 속도(상태의 미분값)를 직접 측정할 수 있다고 가정한다는 점을 언급합니다. 만약 노이즈가 섞인 위치 데이터로부터 속도를 추측해야 한다면, 아직 완전히 해결하지 못한 불확실성이 발생할 수 있습니다.

요약하자면, 리우와 구오는 무질서하고 꿈틀거리는 특정 유형의 시스템을 위해 가공되지 않은 데이터로부터 완벽한 제어로 가는 다리를 건설했습니다. 그들은 단순히 "가능하다"라고 말한 것이 아니라, 그 다리를 직접 만들고, 그것을 지탱하는 수학을 보여주었으며, 시뮬레이션을 통해 그 다리가 무너지지 않고 건널 수 있음을 증축하여 증명했습니다. 이는 완벽한 지도 없이도 무질서한 현실 세계를 제어하기 위한 하나의 진전입니다.

기술 요약: 데이터 기반 증분 수동성 강화를 통한 비선형 출력 조절

문제 정의
본 연구는 시스템 동역학을 알지 못하는 외부 교란이 존재하는 일련의 비선형 시스템에 대한 출력 조절 문제를 다룹니다. 플랜트는 $\dot{x} = AZ(x) + Bu$ 및 $e = CZ(x) + Fw $로 모델링되며, 여기서$ Z(x) $는 알려진 연속 함수들의 벡터(상태 및 비선형 항 포함)이지만, 행렬$ A, B, C, E, F$는 미지수입니다. 참조 궤적과 교란은 알려진 선형 외계계(exosystem) $\dot{w} = Sw$ 에 의해 생성됩니다. 목표는 유한한 오프라인 입출력 데이터 세트( $D_S$ )만을 사용하여 제어 입력 $u$ 를 설계함으로써, 제어 오차 $e$ 가 점근적으로 0으로 수렴하도록 하고 모든 폐루프 해가 유계(bounded)임을 보장하는 것입니다.

방법론
제안된 접근 방식은 데이터 기반 피드백을 통해 폐루프 시스템에 **증분 수동성(incremental passivity)**을 강제한 후, 이를 내부 모델(internal model)과 상호 연결하는 것에 기초합니다. 방법론은 크게 두 단계로 진행됩니다.

데이터 기반 증분 수동화(Data-Driven Incremental Passivation):
첫 번째 단계는 $u = KZ(x) + v $형태의 정적 상태 피드백 제어기를 설계하는 것입니다. 여기서$ v $는 가상 입력입니다. 목표는 폐루프 시스템을 제어 오차$ e $와 가상 입력$ v$에 대해 증분 수동적으로 만드는 것입니다.

모델 기반 기초: 저자들은 먼저 특정 선형 행렬 부등식(LMI)을 만족하는 이득 $K$ 와 양의 정부호 행렬 $P$ 가 존재하면 시스템이 증분 수동적이 된다는 것을 입증합니다.
데이터 기반 확장: 데이터 기반 제어의 "기본 정리(fundamental lemma)"를 활용하여, 저자들은 시스템 행렬이 $D_S$ 로부터 구축된 데이터 의존적 행렬들로 대체되는 조건을 도출합니다. 구체적으로, 행렬 $Y$ 와 $G_2$ 를 포함하는 데이터 의존적 LMI 세트(정리 1)를 구성합니다. 이 LMI를 풀면 시스템 행렬 $A, B, C, E, F$ 를 명시적으로 식별하지 않고도 피드백 이득 $K = U_0 Y P^{-1}$ 을 얻을 수 있습니다. 이 설계는 $Z(x)$ 의 비선 nonlinearity가 알려져 있고 제어 입력에 의해 완벽하게 상쇄될 수 있다고 가정합니다.

내부 모델을 통한 조절 합성(Regulator Synthesis via Internal Model):
폐루프 시스템이 증분 수동성을 갖게 되면, 알려진 외계계 역학을 기반으로 증분 수동 내부 모델을 설계합니다. 내부 모델은 $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ 및 $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$ 로 주어집니다.

상호 연결: 폐루프 시스템과 내부 모델이 상호 연결됩니다. 보조정리 1(Lemma 1)에 의해, 두 증분 수동 시스템의 피드백 상호 연결은 증분 수동성을 유지합니다.
안정성 증명: 전체 조절기는 오차에 대한 안정화 이득을 통해 루프를 닫아 형성됩니다. 합성 저장 함수(composite storage function)와 바르발렛 정리(Barbalat's lemma)를 사용하여, 저자들은 외계계가 표준 가정(허수축 상의 단순 근)을 만족하고 가용성 조건(선형 정상 상태 해의 존재)이 성립하는 경우, 제어 오차 $e(t)$ 가 점근적으로 0으로 수렴함을 증명합니다.

주요 기여
본 논문은 네 가지 주요 기여를 강조합니다:

데이터로부터의 전역 점근적 조절: 본 연구는 비선형 플랜트에 대해 오프라인 데이터로부터 직접 출력 조절 문제를 해결하여, 제어 오차가 0으로 수렴하는 점근적 수렴을 보장합니다. 이는 선형 시스템에 집중하거나 비선형 시스템에 대해 유계 오차만을 보장하는 최근의 데이터 기반 결과들과 대조됩니다.
결합되지 않은 설계(Decoupled Design): 중요한 특징은 피드백 수동화 제어기 설계와 내부 모델 설계의 분리입니다. 수동화 제어기는 내부 모델과 독립적이며, 조절기 설계는 내부 모델으로부터 수집된 데이터를 요구하지 않습니다. 이는 높은 데이터 효율성과 유연성을 제공하며, 외계계가 변경되더라도 수동화 제어기를 완전히 재설계할 필요가 없음을 의미합니다.
수동화 제어기의 특성화: 저자들은 비선형 시스템을 위한 피드백 증분 수동화 제어기를 특성화하고, 이를 위한 데이터 기반 LMI를 도출합니다. 이는 직접적인 데이터 기반 제어를 소산성(dissipativity) 특성의 검증이나 분석을 넘어, 수동성을 강제하는 제어기의 합성 단계까지 확장합니다.
비제로 평형점 안정화(Non-Zero Equilibrium Stabilization): 본 프레임워크는 평형 입력이 알려져 있거나 추정되지 않는 비제로 평형점 안정화 문제를 해결하도록 확장되었습니다. 평형점과의 거리에 기반한 가상 오차를 정의함으로써, 좌표 변환 없이 점근적 안정성을 달성하기 위해 출력 조절 프레임워크를 적용합니다.

결과 및 검증
이론적 결과는 두 가지 수치 예제를 통해 검증됩니다:

단진자(Simple Pendulum): 사인형 및 상수 교란을 받는 비선형 진자를 제어합니다. 데이터 기반 조절기는 다양한 초기 조건으로부터 추적 오차를 0으로 성공적으로 유도합니다.
비제로 평형점 안정화: 알려지지 않은 평형 입력과 시변 교란이 존재하는 상황에서 특정 비제로 평형점( $x_e = [-2, -1]^\top$ )으로 비선형 시스템을 안정화합니다. 상태 궤적은 목표 평형점으로 수렴합니다.

의의 및 주장
본 논문은 명시적인 시스템 식별을 요구하지 않고 전역 점근적 안정성을 보장하는 엄격한 데이터 기반 비선형 출력 조절 솔루션을 제공한다는 점에서 그 의의가 있다고 주장합니다. 결합된 구조(decoupled architecture)는 전통적인 증강 시스템(augmented system) 접근 방식에 비해 큰 장점으로 강조되는데, 특히 증강 시스템(내부 모델 포함)으로부터 데이터를 수집하는 것이 복잡한 데이터 기반 환경에서 더욱 그러합니다.

저자들은 자신들의 가정 범위에 대해 겸허한 태도를 보입니다. 그들은 다음과 같은 사항을 명시적으로 언급합니다:

$Z(x)$ 의 비선형성은 알려져 있으며 완벽하게 상쇄 가능해야 함(매칭 채널).
실험 데이터는 측정 노이즈가 없어야 함(또는 노이즈가 외계계에 의해 모델링될 수 있음).
선형 정상 상태 해가 존재해야 함(가정 2).

저자들이 밝힌 향후 연구 방향에는 강인 제어 기술을 통한 일반적인 클래스의 노이즈 처리와, 입출력 데이터만을 사용하는 출력 피드백 설계로의 확장이 포함됩니다.

"블랙 박스" 문제

"마법 거울"과 "유령"

"디커플링(Decoupled)"의 이점

그들이 실제로 한 것 (그리고 하지 않은 것)

한계와 미래

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