Data-driven nonlinear output regulation via data-enforced incremental passivity

Sintesi Tecnica: Regolazione dell'Output Non Lineare basata sui Dati tramite Passività Incrementale Indotta dai Dati

Formulazione del Problema
Questo lavoro affronta il problema della regolazione dell'output per una classe di sistemi non lineari soggetti a disturbi esterni, dove la dinamica del sistema è ignota. Il processo è modellato come $\dot{x} = AZ(x) + Bu$ e $e = CZ(x) + Fw$, dove $Z(x)$ è un vettore noto di funzioni continue (che include lo stato e i termini non lineari), ma le matrici $A, B, C, E$ e $F$ sono ignote. La traiettoria di riferimento e i disturbi sono generati da un esosistema lineare noto $\dot{w} = Sw$. L'obiettivo è progettare un segnale di controllo di feedback $u$ utilizzando solo un insieme finito di dati offline di ingresso-stato-output ($D_S$) tale che l'errore di regolazione $e$ converga asintoticamente a zero, garantendo al contempo che tutte le soluzioni in anello chiuso rimangano limitate.

Metodologia
L'approccio proposto si basa sull'imposizione della passività incrementale sul sistema in anello chiuso tramite feedback basato sui dati, seguita dall'interconnessione con un modello interno. La metodologia procede in due fasi principali:

1. Passivazione Incrementale basata sui Dati:
   La prima fase progetta un controllore di feedback di stato statico della forma $u = KZ(x) + v$, dove $v$ è un ingresso virtuale. L'obiettivo è rendere il sistema in anello chiuso incrementale passivo rispetto all'errore di regolazione $e$ e all'ingresso virtuale $v$.

   • Fondamento basato sul Modello: Gli autori stabiliscono innanzitutto che se esiste un guadagno $K$ e una matrice definita positiva $P$ che soddisfano specifiche Disuguaglianze Matricali Lineari (LMI), il sistema diventa incrementale passivo.
   • Estensione basata sui Dati: Sfruttando il "lemma fondamentale" del controllo basato sui dati, gli autori derivano condizioni in cui le matrici del sistema sono sostituite da matrici dipendenti dai dati costruite da $D_S$. Nello specifico, formulano un insieme di LMI dipendenti dai dati (Teorema 1) che coinvolgono le matrici $Y$ e $G_2$. La risoluzione di queste LMI fornisce il guadagno di feedback $K = U_0 Y P^{-1}$ senza identificare esplicitamente le matrici del sistema $A, B, C, E, F$. Questo progetto assume che le non linearità in $Z(x)$ siano note e perfettamente cancellabili dal segnale di controllo.

2. Sintesi del Regolatore tramite Modello Interno:
   Una volta che il sistema in anello chiuso è reso incrementale passivo, viene progettato un modello interno incrementale passivo basato sulla dinamica nota dell'esosistema. Il modello interno è dato da $\dot{\eta} = S\eta - \alpha \Xi e$ e $\tilde{v} = \Xi^\top \eta$.

   • Interconnessione: Il sistema in anello chiuso e il modello interno sono interconnessi. Per il Lemma 1, l'interconnessione in feedback di due sistemi incrementalmente passivi rimane incrementale passiva.
   • Dimostrazione di Stabilità: Il regolatore globale è formato chiudendo l'anello con un guadagno stabilizzante sull'errore. Utilizzando una funzione di memoria composita e il lemma di Barbalat, gli autori dimostrano che l'errore di regolazione $e(t)$ converge asintoticamente a zero, a condizione che l'esosistema soddisfi le assunzioni standard (radici semplici sull'asse immaginario) e che sia soddisfatta la condizione di ammissibilità (esistenza di una soluzione di stato stazionario lineare).

Contributi Chiave
Il documento evidenzia quattro contributi primari:

• Regolazione Asintotica Globale da Dati: Il lavoro risolve il problema della regolazione dell'output per impianti non lineari direttamente da dati offline, garantendo la convergenza asintotica dell'errore di regolazione a zero. Ciò contrasta con i recenti risultati basati sui dati che si concentrano su sistemi lineari o garantiscono solo errori limitati per sistemi non lineari.
• Design Disaccoppiato: Una caratteristica significativa è il disaccoppiamento del design del controllore di passivazione del feedback dal design del modello interno. Il controllore di passivazione è indipendente dal modello interno, e il design del regolatore non richiede dati raccolti dal modello interno. Ciò offre un'elevata efficienza dei dati e flessibilità, poiché i cambiamenti nell'esosistema non richiedono un completo riprogettazione del controllore di passivazione.
• Caratterizzazione dei Controllori di Passivazione: Gli autori caratterizzano i controllori di feedback per la passività incrementale per sistemi non lineari e derivano LMI basate sui dati per il loro design. Questo estende il controllo diretto basato sui dati oltre la semplice verifica o analisi delle proprietà di dissipatività fino alla sintesi effettiva di controllori che impongono la passività.
• Stabilizzazione di Equilibri Non Nulli: Il framework è esteso per risolvere il problema della stabilizzazione di equilibri non nulli dove l'ingresso di equilibrio non è né noto né stimato. Definendo un errore virtuale basato sulla distanza dall'equilibrio, il framework di regolazione dell'output viene applicato per ottenere la stabilità asintotica senza trasformazioni di coordinate.

Risultati e Validazione
I risultati teorici sono validati attraverso due esempi numerici:

1. Pendolo Semplice: Un pendolo non lineare soggetto a disturbi sinusoidali e costanti viene controllato. Il regolatore basato sui dati riesce a portare l'errore di inseguimento a zero da varie condizioni iniziali.
2. Stabilizzazione di Equilibrio Non Nullo: Un sistema non lineare viene stabilizzato in un punto di equilibrio non nullo specifico ($x_e = [-2, -1]^\top$) nonostante un ingresso di equilibrio ignoto e disturbi variabili nel tempo. Le traiettorie dello stato convergono verso l'equilibrio target.

Significato e Dichiarazioni
Il documento afferma che la sua importanza risiede nel fornire una soluzione rigorosa e basata sui dati alla regolazione dell'output non lineare che garantisce la stabilità asintotica globale senza richiedere l'identificazione esplicita del sistema. L'architettura disaccoppiata è evidenziata come un vantaggio maggiore rispetto ai tradizionali approcci di sistema aumentato, specialmente in contesti basati sui dati dove la raccolta di dati dal sistema aumentato (incluso il modello interno) è complessa.

Gli autori sono modesti riguardo all'ambito delle loro assunzioni. Essi notano esplicitamente che il loro approccio assume che:

• Le non linearità in $Z(x)$ siano note e perfettamente cancellabili (canali accoppiati/matched channels).
• I dati sperimentali siano privi di rumore di misura (o che il rumore possa essere modellato dall'esosistema).
• Esista una soluzione di stato stazionario lineare (Assunzione 2).

Le direzioni di lavoro futuro identificate dagli autori includono la gestione di classi generali di rumore tramite tecniche di controllo robusto e l'estensione dell'approccio a design di output-feedback utilizzando solo dati di ingresso-output.