Bayesian sample size determination using robust commensurate priors with interpretable discrepancy weights

Résumé Technique : Détermination de la Taille d'Échantillon Bayésienne à l'aide de Priors Commensurables Robustes avec des Poids de Discrépance Interprétables

Formulation du Problème
Dans la conception d'essais contrôlés randomisés (ECR), l'incorporation de données historiques peut améliorer l'efficacité, particulièrement dans les contextes où les populations de patients sont limitées (par exemple, les maladies rares ou la pédiatrie). Le paradigme bayésien offre un cadre pour cela via les « priors commensurables », où l'information historique est pondérée à la baisse en fonction d'un paramètre de discrépance représentant la similitude entre les essais historiques et actuels.

L'article identifie une faille critique dans la méthodologie existante proposée par Zheng et al. (2023a,b) concernant l'agrégation de multiples sources historiques. Dans ce cadre, les poids de discrépance ($w_q \in [0,1]$) sont censés représenter la probabilité d'irrélevance d'une source historique spécifique. Cependant, les auteurs démontrent que la relation entre ces poids et la précision du prior résultant (et par conséquent la taille d'échantillon requise) est non monotone et hautement non linéaire.

• Non-monotonie : Augmenter un poids $w_q$ (destiné à réduire l'importance d'une source) ne conduit pas toujours à une diminution de la précision du prior. Des minima et des maxima locaux existent, particulièrement lors de l'agrégation de multiples sources ($Q > 1$).
• Non-linéarité : De petits changements de poids proches de zéro entraînent des changements disproportionnellement importants dans l'incorporation d'informations, tandis que les changements proches de un ont des effets négligeables.
  Ces propriétés rendent les poids interprétables comme des probabilités difficiles, ce qui complique la tâche des experts thématiques pour éliciter des valeurs sensées lors de la phase de conception de l'essai.

Méthodologie
Les auteurs proposent une solution en deux parties pour résoudre ces problèmes d'interprétabilité :

1. Agrégation de Priors Alternative :
   Au lieu de l'agrégation par convolution utilisée dans les travaux précédents (qui menait à des fonctions de pondération complexes), les auteurs proposent d'agréger les priors prédictifs en utilisant la méthode suggérée par Winkler (1981). Cela implique de former un prior collectif où la précision est la somme des précisions des distributions prédictives individuelles.

   • La moyenne du prior collectif est une somme pondérée des moyennes historiques.
   • La variance du prior collectif ($\sigma^2_{CP*}$) est le réciproque de la somme des précisions ($\xi^{-2}_q$) des sources individuelles.
   • Crucialement, sous cette nouvelle agrégation, la relation entre le poids de discrépance $w_q$ et la précision collective devient décroissante de manière monotone. À mesure que $w_q$ augmente (indiquant une plus grande irrélevance), la précision diminue uniformément.

2. Linéarisation via une Transformation Fonctionnelle :
   Même avec la monotonie, la relation entre $w_q$ et la taille d'échantillon reste non linéaire. Pour obtenir un rétrécissement (shrinkage) uniforme, les auteurs introduisent une technique de linéarisation :

   • Ils isolent la composante non linéaire de la formule de la taille d'échantillon correspondant à chaque source.
   • Une interpolation linéaire est effectuée entre la précision à $w_q=0$ (emprunt total) et $w_q=1$ (aucun emprunt).
   • Une fonction de transformation inverse $f(w_q) = w'_q$ est dérivée.
   • Cette transformation fait correspondre la probabilité d'irrélevance élicitée par l'expert ($w_q$) à un poids transformé ($w'_q$) tel que la variation de la taille d'échantillon résultante soit linéaire par rapport au poids transformé. Cela garantit qu'une spécification de $w_q = 0,5$ entraîne l'incorporation de exactement 50 % de l'information de cette source par rapport à la plage d'informations possibles.

Contributions Clés et Résultats

• Formule Analytique de la Taille d'Échantillon : Les auteurs dérivent une formule de taille d'échantillon bayésienne en forme close pour un ECR à deux bras avec des résultats distribués normalement, incorporant la nouvelle méthode d'agrégation et les poids linéarisés. La formule est :
  $$n \ge \frac{\sigma^2_0}{R(1-R)} \left[ \left(\frac{z_\eta + z_\zeta}{\delta}\right)^2 - \sum_{q=1}^Q \xi^{-2}_q(w'_q) \right]$$
  où $\xi^{-2}_q$ dépend des poids transformés.
• Interprétabilité : La méthode proposée permet aux experts d'éliciter $w_q$ comme une probabilité directe d'irrélevance (ex: « Je suis sceptique à 60 % quant à la pertinence de cet essai historique »). La transformation gère la non-linéarité, garantissant que le comportement statistique correspond à l'intention de l'expert.
• Étude de Simulation : Une étude de simulation à travers quatre configurations de données historiques (variant en taille d'effet et en variance) confirme que la méthode proposée préserve les propriétés de décision bayésiennes pré-spécifiées. Plus précisément, lorsque les tailles d'échantillon calculées sont utilisées, 100 % des essais simulés ont atteint une conclusion décisive concernant l'efficacité ou la futilité, respectant les seuils de probabilité postérieure pré-spécifiés ($\eta$ et $\zeta$).
• Exemple d'Application : La méthode est appliquée à un essai hypothétique sur la maladie d'Alzheimer utilisant les données de sept essais contrôlés historiques. Les auteurs démontrent que l'utilisation de poids « bruts » mène à un sur-discounting (résultant en une taille d'échantillon de 332), tandis que l'utilisation de la transformation linéarisée produit une taille d'échantillon plus appropriée (176) qui reflète le degré d'information empruntée prévu.

Signification et Revendications
L'article affirme que sa contribution principale est de résoudre les problèmes de non-monotonie et de non-linéarité inhérents aux méthodes précédentes d'agrégation de priors commensurables. En garantissant que les poids de discrépance se comportent de manière monotone et peuvent être linéarisés, les auteurs soutiennent que :

1. La communication est facilitée : Les statisticiens et les experts thématiques peuvent communiquer plus efficacement concernant la pertinence des données historiques, car les poids sont désormais interprétables comme des probabilités.
2. La conception est robuste : La méthode fournit un cadre cohérent pour déterminer les tailles d'échantillon qui incorporent des données historiques sans le risque d'un discount ou d'une inflation involontaire de l'information causés par un comportement non monotone.
3. Généralisabilité : Bien que focalisée sur les essais à deux bras avec des résultats continus, les auteurs notent que la méthodologie peut être étendue aux variables binaires et de type temps de survie (détaillé dans les documents supplémentaires) et potentiellement à d'autres designs d'essais comme les essais paniers (basket trials).

Les auteurs maintiennent une position modeste, reconnaissant que si la méthode améliore l'interprétabilité et l'efficacité de la conception, elle n'élimine pas la nécessité d'une sélection prudente des essais historiques ou de simulations extensives pour évaluer les caractéristiques opératoires (telles que les taux d'erreur de type I) dans des applications pratiques spécifiques. Ils soulignent que la détermination de la taille d'échantillon n'est qu'un facteur parmi d'autres dans la décision d'emprunter des données historiques.