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Comparison of spin-qubit architectures for quantum error-correcting codes

यह अध्ययन शुद्ध ज़ीमान (Zeeman) और हाइब्रिड ज़ीमान-सिंगलेट-ट्रिपलेट एनकोडिंग दोनों का उपयोग करके सिलिकॉन स्पिन क्वबिट्स के साथ कार्यान्वित सरफेस और बेकन-शोरर कोड्स का मूल्यांकन करता है, जिसमें यह पाया गया है कि हाइब्रिड दृष्टिकोण लगातार शुद्ध ज़ीमान योजना से बेहतर प्रदर्शन करता है और गेट त्रुटियों को, मेमोरी त्रुटियों के बजाय, फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए प्राथमिक बाधा के रूप में पहचानता है।

मूल लेखक: Mauricio Gutiérrez, Juan S. Rojas-Arias, David Obando, Chien-Yuan Chang

प्रकाशित 2026-07-08

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mauricio Gutiérrez, Juan S. Rojas-Arias, David Obando, Chien-Yuan Chang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ एक सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके शोध पत्र (paper) का स्पष्टीकरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: क्वांटम कंप्यूटर के लिए एक "सुरक्षा जाल" बनाना

कल्पना कीजिए कि आप एक सुपर-फास्ट कंप्यूटर (एक क्वांटम कंप्यूटर) बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो उन समस्याओं को हल कर सके जिन्हें सामान्य कंप्यूटर नहीं कर सकते। समस्या यह है कि सोचने वाले सूक्ष्म हिस्से (जिन्हें qubits कहा जाता है) अविश्वसनीय रूप से नाजुक होते हैं। वे नाजुक कांच की गोलियों (marbles) की तरह हैं; यदि आप उन्हें बहुत ज़ोर से छूते हैं, या यदि कमरे में थोड़ा भी शोर होता है, तो वे टूट जाते हैं या अपनी जानकारी खो देते हैं।

इसे ठीक करने के लिए, वैज्ञानिक क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) का उपयोग करते हैं। इसे एक सुरक्षा जाल बनाने के रूप में समझें। एक नाजुक गोली पर भरोसा करने के बजाय, आप कई गोलियों को एक साथ जोड़कर एक "लॉजिकल" गोली के रूप में कार्य करते हैं। यदि एक टूट जाती है, तो अन्य यह पता लगा सकते हैं कि क्या हुआ और उसे ठीक कर सकते हैं।

यह शोध पत्र पूछता है: सिलिकॉन चिप्स का उपयोग करके इस सुरक्षा जाल को बनाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

खिलाड़ी: दो प्रकार की "गोलियां" (Marbles)

शोधकर्ताओं ने सिलिकॉन में फंसे इलेक्ट्रॉनों से इन क्यूबिट्स को बनाने के दो अलग-अलग तरीकों को देखा:

"सोलो" मार्बल (LD Qubit): यह एक अकेले इलेक्ट्रॉन का उपयोग करता है जो एक लट्टू की तरह घूम रहा है। यह बहुत स्थिर है (इसकी याददाश्त अच्छी रहती है) लेकिन इसे पढ़ने में धीमा है। कल्पना कीजिए कि आप बहुत हल्की स्याही में लिखी गई किताब को पढ़ने की कोशिश कर रहे हैं; यह सुनिश्चित करने के लिए कि उसमें क्या लिखा है, आपको लंबे समय तक उस पर देखते रहना होगा।
"डुओ" मार्बल (ST Qubit): यह दो इलेक्ट्रॉनों का उपयोग करता है जो एक साथ नाच रहे हैं। ये पढ़ने में बहुत तेज़ हैं (एक चमकदार, स्पष्ट संकेत की तरह) लेकिन ये सोलो मार्बल की तुलना में अपनी याददाश्त थोड़ी तेज़ी से खो देते हैं।

प्रयोग: मिलाना और मेल करना

शोधकर्ताओं ने दो प्रसिद्ध "सुरक्षा जाल" डिज़ाइनों (जिन्हें सरफेस कोड और बेकन-शोर कोड कहा जाता है) का दो अलग-अलग रणनीतियों का उपयोग करके परीक्षण किया:

रणनीति A (ऑल-सोलो): सब कुछ करने के लिए केवल धीमी, स्थिर सोलो गोलियों का उपयोग करना।
रणनीति B (हाइब्रिड): मुख्य डेटा के लिए स्थिर सोलो गोलियों का उपयोग करना, लेकिन त्रुटियों (errors) की जाँच करने वाले "सहायकों" (जिन्हें एंसिलास कहा जाता है) के लिए तेज़ डुओ गोलियों का उपयोग करना।

उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि काम करने वालों की एक टीम पैकेजों की एक लंबी लाइन की जाँच कर रही है।

रणनीति A में, कार्यकर्ता विशेषज्ञ हैं जो कभी गलती नहीं करते, लेकिन वे अविश्वसनीय रूप से धीमे हैं। इससे पहले कि वे एक पैकेज की जाँच पूरी कर पाते, अगला पैकेज इंतज़ार के कारण ही बिखर चुका होता है।
रणनीति B में, मुख्य कार्यकर्ता अभी भी विशेषज्ञ हैं, लेकिन उन्होंने त्वरित जाँच के लिए तेज़, अस्थायी सहायकों को काम पर रखा है। क्योंकि सहायक बहुत तेज़ हैं, इसलिए मुख्य पैकेजों को ज़्यादा इंतज़ार नहीं करना पड़ता, जिससे वे सुरक्षित रहते हैं।

परिणाम: गति की जीत

शोध पत्र में पाया गया कि रणनीति B (हाइब्रिड) स्पष्ट विजेता थी।

क्यों? "सोलो" गोलियों को पढ़ने में इतना समय लगता है कि जब तक त्रुटि की जाँच पूरी होती है, डेटा अपनी सुसंगतता (coherence) खो चुका होता है (यानी वह भूल जाता है कि उसे क्या होना चाहिए था)। "डुओ" गोलियाँ इतनी तेज़ हैं कि वे डेटा के खराब होने से पहले ही जाँच पूरी कर लेती हैं।
चुनौती: शोधकर्ताओं ने पाया कि सबसे बड़ा दुश्मन प्रतीक्षा समय (मेमोरी एरर) नहीं है; बल्कि संचालनों (operations) के दौरान होने वाली गलतियाँ (गेट एरर) हैं। तेज़ सहायकों के बावजूद, यदि गोलियों को हिलाने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण थोड़े भी डगमगाते हैं, तो पूरा सिस्टम विफल हो जाता है।

दो सुरक्षा जालों की तुलना

शोधकर्ताओं ने सुरक्षा जाल के दो अलग-अलग ब्लूप्रिंट का परीक्षण किया:

सरफेस कोड (Surface Code): यह सबसे प्रसिद्ध डिज़ाइन है। यह अच्छा काम करता है, लेकिन सिस्टम को तैयार करने के लिए इसमें कई "चेकिंग राउंड्स" की आवश्यकता होती है।
बेकन-शोर कोड (Bacon-Shor Code): यह एक कम प्रचलित डिज़ाइन है। इसमें एक विशेष ट्रिक है: यह अपने शुरुआती अवस्था (starting state) को एक सीधे, सहज संबंध (जैसे एक सामंजस्यपूर्ण नृत्य) का उपयोग करके तैयार कर सकता है, न कि रुक-रुक कर की जाने वाली जाँच के माध्यम से।
- परिणाम: त्रुटियों को ठीक करने के लिए, सरफेस कोड थोड़ा बेहतर था। लेकिन सिस्टम को शुरू करने (लॉजिकल स्टेट तैयार करने) के लिए, बेकन-शोर कोड सरफेस कोड की तुलना में 100 गुना बेहतर था। यह ऐसा है जैसे बेकन-शोर कोड एक परफेक्ट स्प्रिंट के साथ दौड़ शुरू कर सकता है, जबकि सरफेस कोड को पहले दौड़ने वाली रेखा तक जॉगिंग करनी पड़ती है।

"स्वीट स्पॉट" की खोज

शोधकर्ताओं ने यह भी देखा कि तेज़ डुओ गोलियों को कितनी देर तक "सुनना" चाहिए।

यदि आप बहुत कम समय के लिए सुनते हैं, तो आप संदेश को गलत समझ सकते हैं (उच्च त्रुटि)।
यदि आप बहुत लंबे समय तक सुनते हैं, तो इंतज़ार करते समय मुख्य डेटा खराब होने लगता है (उच्च त्रुटि)।
निष्कर्ष: सुनने का सबसे अच्छा समय वास्तव में एकल रीडिंग को स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के सामान्य समय से कम है। क्यों? क्योंकि इंतज़ार करने से मुख्य डेटा को होने वाला नुकसान, रीडिंग की सटीकता में होने वाले सुधार से कहीं अधिक है। यह एक समझौता (trade-off) है: एक थोड़ी धुंधली रीडिंग बेहतर है बजाय एक ऐसी परफेक्ट रीडिंग के जो बहुत देर से आती है।

निचोड़ (Bottom Line)

सिलिकॉन चिप्स के साथ एक काम करने वाला क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए:

केवल एक प्रकार के क्यूबिट का उपयोग न करें। स्थिर वाले को तेज़ वाले के साथ मिलाएं (हाइब्रिड दृष्टिकोण)।
उपकरणों को ठीक करने पर ध्यान दें। सबसे बड़ी समस्या यह नहीं है कि क्यूबिट्स इंतज़ार करते समय चीज़ें भूल जाते हैं; बल्कि यह है कि गेट्स (जो उन्हें हिलाने के लिए स्विच के रूप में उपयोग किए जाते हैं) बहुत अधिक गलतियाँ करते हैं। इन स्विचों की गुणवत्ता में सुधार करना सबसे महत्वपूर्ण अगला कदम है।
बेकन-शोर कोड पर विचार करें। हालांकि सरफेस कोड लोकप्रिय है, बेकन-शोर कोड सिस्टम को शुरू करने के लिए बहुत बेहतर हो सकता है, बशर्ते आप इसके विशिष्ट वायरिंग लेआउट को बना सकें।

संक्षेप में: सहायकों के लिए स्थिरता से अधिक गति मायने रखती है, और स्विचों को ठीक करना इंतज़ार करने से अधिक महत्वपूर्ण है।

तकनीकी सारांश: क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड्स के लिए स्पिन-क्यूबिट आर्किटेक्चर की तुलना

समस्या विवरण
बड़े पैमाने पर, फॉल्ट-टॉलेरेंट (FT) क्वांटम कंप्यूटिंग की प्राप्ति के लिए भौतिक क्यूबिट त्रुटि दर (error rates) $10^{-10}$ से नीचे होनी चाहिए, जो कि केवल भौतिक क्यूबिट्स द्वारा प्राप्त किया जाने वाला एक कठिन लक्ष्य है। फलस्वरूप, कई भौतिक क्यूबिट्स में गैर-स्थानीय (non-locally) रूप से लॉजिकल क्यूबिट्स को एनकोड करने के लिए क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) आवश्यक है। हालांकि सुपरकंडक्टिंग और ट्रैप्ड-आयन प्लेटफॉर्मों ने QEC का प्रदर्शन किया है, लेकिन स्पिन क्यूबिट्स सेमीकंडक्टर क्वांटम डॉट्स (QDs) में स्केलेबिलिटी और मौजूदा फैब्रिकेशन तकनीकों के साथ बेहतर अनुकूलता प्रदान करते हैं, फिर भी वे प्रयोगात्मक QEC प्रदर्शनों में पीछे हैं।

यह अध्ययन सिलिकॉन स्पिन-क्यूबिट प्लेटफॉर्म पर डिस्टेंस-3 QEC कोड्स को लागू करने की विशिष्ट चुनौतियों का समाधान करता है। यह जांच करता है कि विभिन्न क्यूबिट एनकोडिंग स्कीम्स और कोड आर्किटेक्चर अत्याधुनिक प्रयोगात्मक मापदंडों के तहत कैसा प्रदर्शन करते हैं। विशेष रूप से, यह शोध निम्नलिखित की तुलना करता है:

एनकोडिंग स्कीम्स: एक शुद्ध लॉस-डिविनसेन्को (LD) स्कीम (सिंगल-इलेक्ट्रॉन ज़ीमन क्यूबिट्स) बनाम एक हाइब्रिड स्कीम (LD डेटा क्यूबिट्स के साथ सिंगलेट-ट्रिपलेट (ST) एंसिलिया क्यूबिट्स)।
QEC कोड्स: सरफेस कोड (रोटेटेड) और बेकन-शोर (BS) कोड।

प्राथमिक लक्ष्य प्रमुख त्रुटि तंत्रों (error mechanisms) की पहचान करना, इष्टतम हार्डवेयर मापदंडों को निर्धारित करना और यह मूल्यांकन करना है कि क्या इस आर्किटेक्चर में वर्तमान में लॉजिकल क्यूबिट्स भौतिक क्यूबिट्स से बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं (ब्रेक-ईवन पॉइंट तक पहुँच सकते हैं)।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक फॉल्ट-टॉलेरेंट प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए एक सर्किट-आधारित स्टेबिलाइज़र सिमुलेशन फ्रेमवर्क का उपयोग करते हैं।

भौतिक प्लेटफॉर्म: सिमुलेशन सिलिकॉन QD मापदंडों, विशेष रूप से Si/SiGe क्वांटम वेल्स पर आधारित हैं। दो एनकोडिंग प्रकारों को मॉडल किया गया है:
- LD क्यूबिट्स: सिंगल-इलेक्ट्रॉन स्पिन्स जिन्हें ESR/EDSR द्वारा नियंत्रित किया जाता है, और ऊर्जा-चयनात्मक टनलिंग (energy-selective tunneling) के माध्यम से रीडआउट किया जाता है।
- ST क्यूबिट्स: डबल QDs में दो-इलेक्ट्रॉन स्पिन्स, जिन्हें एक्सचेंज कपलिंग और मैग्नेटिक फील्ड ग्रेडिएंट्स द्वारा नियंत्रित किया जाता है, और पॉली स्पिन ब्लॉकेड (PSB) के माध्यम से रीडआउट किया जाता है।
हाइब्रिड आर्किटेक्चर: प्रस्तावित लेआउट LD क्यूबिट्स का उपयोग डेटा स्टोरेज (लंबे कोहेरेंस समय का लाभ उठाने के लिए) और ST क्यूबिट्स का उपयोग एंसिलिया (तेज रीडआउट गति का लाभ उठाने के लिए) के रूप में करता है।
नॉइज़ मॉडल: सिमुलेशन में स्टोकेस्टिक पॉली एरर चैनल्स शामिल हैं, जिनमें शामिल हैं:
- स्टेट प्रिपरेशन और मेजरमेंट त्रुटियां।
- सिंगल-क्यूबिट गेट त्रुटियां (Y एरर्स के रूप में मॉडल की गई $\pm \pi/2$ रोटेशन के बाद)।
- टू-क्यूबिट गेट त्रुटियां (CZ गेट्स के बाद ZZ एरर्स के रूप में मॉडल की गई)।
- मेमोरी (आइडल) त्रुटियां, जिन्हें ऑपरेशन अवधि के आधार पर गॉसियन डीफेजिंग ( $T_2^*$ ) के रूप में मॉडल किया गया है।
सिमुलेशन तकनीकें:
- स्टेबिलाइज़र फॉर्मलिज्म: क्लिफोर्ड सर्किट्स के कुशल क्लासिकल सिमुलेशन के लिए उपयोग किया जाता है।
- इम्पॉर्टेंस सैंपलिंग: कम भौतिक त्रुटि संभावनाओं पर लॉजिकल एरर रेट का कुशलतापूर्वक अनुमान लगाने के लिए एक एरर-सबसेट सैंपलर का उपयोग किया जाता है।
- सिम्युलेटेड प्रक्रियाएं:
  1. FT QEC स्टेप: त्रुटियों का पता लगाने और उन्हें ठीक करने के लिए स्टेबिलाइज़र मेजरमेंट्स का एक एकल राउंड (संभावित रूप से दूसरे राउंड के साथ एडेप्टिव)।
  2. FT लॉजिकल स्टेट प्रिपरेशन: लॉजिकल $|0\rangle_L$ और $|+\rangle_L$ अवस्थाओं की तैयारी; सरफेस कोड के लिए यह प्रोजेक्टिव है, जबकि BS कोड के लिए यह GHZ स्टेट प्रिपरेशन के माध्यम से यूनिटरी (कोहेरेंट) है, बशर्ते विशिष्ट कनेक्टिविटी उपलब्ध हो।

मुख्य योगदान और परिणाम

हाइब्रिड एनकोडिंग की श्रेष्ठता:
हाइब्रिड स्कीम (LD डेटा + ST एंसिलिया) लगातार ऑल-LD स्कीम की तुलना में एक क्रम (order of magnitude) से अधिक बेहतर प्रदर्शन करती है। इसका मुख्य कारण ST क्यूबिट्स का काफी छोटा रीडआउट समय ( $2.4 \, \mu\text{s}$ ) है, जो LD क्यूबिट्स ( $24 \, \mu\text{s}$ ) की तुलना में बहुत कम है। ऑल-LD स्कीम में, लंबा रीडआउट समय डेटा क्यूबिट्स को एरर करेक्शन पूरा होने से पहले पूरी तरह से डीफेज (dephase) कर देता है, जिससे लॉजिकल क्यूबिट अप्रभावी हो जाता है। हाइब्रिड स्कीम इस आइडल टाइम को कम करती है, जिससे कोहेरेंस सुरक्षित रहता है।
मेमोरी एरर्स पर गेट एरर्स का प्रभुत्व:
इस हाइब्रिड आर्किटेक्चर में डिस्टेंस-3 कोड्स के लिए एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि लॉजिकल एरर रेट मौलिक रूप से गेट इनफिडेलिटी (सिंगल- और टू-क्यूबिट गेट्स) द्वारा सीमित है, न कि मेमोरी (डीफेजिंग) त्रुटियों द्वारा। अत्याधुनिक कोहेरेंस समय के बावजूद, लॉजिकल एरर रेट गेट एरर्स द्वारा निर्धारित एक फ्लोर (floor) पर संतृप्त (saturate) हो जाता है। यह सुझाव देता है कि निकट-अवधि प्रूफ-ऑफ-कॉन्सेप्ट प्रयोगों के लिए, कोहेरेंस समय बढ़ाने की तुलना में गेट फिडेलिटी में सुधार करना अधिक प्रभावशाली है।
रीडआउट इंटीग्रेशन टाइम का अनुकूलन:
अध्ययन ST क्यूबिट रीडआउट में एक ट्रेड-ऑफ की पहचान करता है: लंबा इंटीग्रेशन समय रीडआउट फिडेलिटी में सुधार करता है लेकिन डेटा क्यूबिट्स के लिए आइडल टाइम को बढ़ाता है, जिससे डीफेजिंग होती है। लेखक पाते हैं कि लॉजिकल एरर रेट को न्यूनतम करने वाला इंटीग्रेशन टाइम ( $\approx 0.88 \, \mu\text{s}$ ) उस समय से कम है जो रीडआउट इनफिडेलिटी को न्यूनतम करता है ( $\approx 1.4 \, \mu\text{s}$ )। वर्तमान अत्याधुनिक इंटीग्रेशन टाइम ( $2.0 \, \mu\text{s}$ ) पर, हाइब्रिड लॉजिकल क्यूबिट एक बिना स्पिन-इको प्रोटेक्शन वाले बेयर फिजिकल LD क्यूबिट की तुलना में थोड़ा बेहतर प्रदर्शन करता है।
सरफेस बनाम बेकन-शोर कोड की तुलना:
- QEC स्टेप: सरफेस-17 कोड, BS-17 कोड की तुलना में एरर करेक्शन स्टेप के दौरान थोड़ा कम लॉजिकल फेलियर रेट देता है। इस अंतर का श्रेय क्लासिकल डिकोडिंग प्रक्रिया को दिया जाता है, क्योंकि इस लेआउट में स्टेबिलाइज़र मापने के लिए क्वांटम सर्किट दोनों कोड के लिए समान हैं।
- स्टेट प्रिपरेशन: BS-17 कोड $|0\rangle_L$ और $|+\rangle_L$ अवस्थाओं को तैयार करने में भारी बढ़त (लगभग 2 ऑर्डर ऑफ मैग्नीट्यूड) प्रदर्शित करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि डिस्टेंस-3 BS कोड GHZ स्टेट्स के माध्यम से पूरी तरह से कोहेरेंट (यूनिटरी) तैयारी की अनुमति देता है, जबकि सरफेस कोड के लिए प्रोजेक्टिव स्टेबिलाइज़र मेजरमेंट्स की आवश्यकता होती है। इस लाभ के लिए 6 की कनेक्टिविटी (हेक्सागोनल लेआउट) की आवश्यकता है ताकि एक ही पंक्ति के पड़ोसी डेटा क्यूबिट्स के बीच सीधा एंटेंगलिंग गेट संभव हो सके।
पैरामीटर संवेदनशीलता:
लॉजिकल एरर रेट सिंगल-क्यूबिट गेट इनफिडेलिटी ( $p_{1q}$ ) और टू-क्यूबिट गेट इनफिडेलिटी ( $p_{CZ}$ ) के प्रति सबसे अधिक संवेदनशील है। इन त्रुटियों को एक साथ 10 गुना कम करने से लॉजिकल एरर रेट को $10^{-3}$ से नीचे लाया जा सकता है।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि यह स्पिन-क्यूबिट हार्डवेयर के लिए QEC में सुधार हेतु एक ठोस रोडमैप प्रदान करता है। यह रेखांकित करता है कि:

हार्डवेयर लक्ष्य: डिस्टेंस-3 कोड्स के लिए लॉजिकल एरर रेट की प्राथमिक बाधा गेट इनफिडेलिटी, विशेष रूप से सिंगल-क्यूबिट और टू-क्यूबिट गेट्स है।
आर्किटेक्चर डिज़ाइन: मेजरमेंट साइकिल्स के दौरान डीफेजिंग को कम करने के लिए हाइब्रिड एनकोडिंग (LD डेटा, ST एंसिलिया) आवश्यक है।
कोड चयन: जबकि सरफेस कोड एरर करेक्शन के लिए थोड़ा बेहतर है, बेकन-शोर कोड स्टेट प्रिपरेशन में एक स्पष्ट लाभ प्रदान करता है, बशर्ते हार्डवेयर आवश्यक कनेक्टिविटी (कोहेरेंट GHZ स्टेट जनरेशन के लिए डायरेक्ट रो-वाइज एंटेंगमेंट) का समर्थन करे।
व्यवहार्यता: वर्तमान अत्याधुनिक मापदंडों के साथ, एक हाइब्रिड लॉजिकल क्यूबिट एक भौतिक क्यूबिट की तुलना में कम त्रुटि दर प्राप्त कर सकता है, जो डिस्टेंस-3 कोड्स के लिए एक संभावित ब्रेक-ईवन पॉइंट को चिह्नित करता है।

लेखक स्केलेबिलिटी के संबंध में विनम्र रहते हैं, यह नोट करते हुए कि उच्च-डिस्टेंस कोड्स के लिए, मेमोरी एरर्स संभवतः प्रभावी हो जाएंगे, और स्थानिक/कालिक शोर सहसंबंधों (spatial/temporal noise correlations) को संबोधित करने की आवश्यकता होगी (जो इस अध्ययन में शामिल नहीं हैं)। वे यह भी उल्लेख करते हैं कि बेकन-शोर कोड का स्टेट प्रिपरेशन में लाभ विशिष्ट कनेक्टिविटी पर निर्भर है जो इलेक्ट्रॉन शटलिंग या ट्राइएंगुलर लैटिस डिज़ाइन के बिना मानक 2D एरे में लागू करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है।