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A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

यह शोध पत्र इंग्लिश प्रीमियर लीग के डेटा का विश्लेषण करने के लिए एक बायेसियन द्विचरीय (बाइवेरिएट) कंडीशनल पॉइसन प्रतिगमन मॉडल प्रस्तुत करता है, जो होम और अवे गोल की संख्या के बीच एक नकारात्मक सहसंबंध को प्रकट करता है और यह प्रदर्शित करता है कि मैच उपस्थिति और फाउल स्कोरिंग गतिशीलता को कैसे विषम रूप से प्रभावित करते हैं।

मूल लेखक: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

प्रकाशित 2026-08-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक फुटबॉल मैच देख रहे हैं। स्कोर केवल एक रैंडम नंबर जनरेटर नहीं है जो गोल उगल रहा है; यह दो टीमों के बीच एक कहानी है—एक नृत्य की तरह, जहाँ वे एक-दूसरे पर दबाव बना रहे हैं और प्रतिक्रिया दे रहे हैं। यदि होम टीम (मेज़बान टीम) गोल करती है, तो अवे टीम (मेहमान टीम) घबराकर आक्रामक हमला कर सकती है, या वे पीछे हटकर अपनी बढ़त बचाने की कोशिश कर सकते हैं। इसका मतलब है कि एक टीम द्वारा किए गए गोलों की संख्या इस बात से जुड़ी होने की संभावना है कि दूसरी टीम कितने गोल करेगी। दशकों से, सांख्यिकीविदों ने इन स्कोरों की भविष्यवाणी करने के लिए गणितीय समीकरण लिखने की कोशिश की है। सोचने का पुराना तरीका दो अलग-अलग पासों (dice) को फेंकने जैसा था: एक होम टीम के लिए और एक अवे टीम के लिए, यह मानते हुए कि एक के साथ जो होता है उसका दूसरे से कोई लेना-देना नहीं है। लेकिन जो कोई भी मैच देखता है, वह जानता है कि यह सच नहीं है। टीमें एक ही कमरे में हैं, एक ही भीड़, एक ही रेफरी और एक-दूसरे की चालों पर प्रतिक्रिया दे रही हैं।

यह शोध पत्र उस उलझे हुए, रोमांचक संबंध की गहराई में जाता है। लेखक एक बेहतर "क्रिस्टल बॉल" बनाना चाहते थे जो केवल नंबरों का अनुमान न लगाए बल्कि उनके बीच के संबंध को भी समझे। उन्होंने "बेयसियन बाइवेरिएट कंडीशनल पॉइसन रिग्रेशन" (Bayesian bivariate conditional Poisson regression) नामक एक उन्नत गणितीय पद्धति का उपयोग किया। इन भारी-भरकम शब्दों से डरें नहीं। "पॉइसन" (Poisson) को समय के साथ होने वाली यादृच्छिक घटनाओं, जैसे गोलों को गिनने के तरीके के रूप में समझें। "बाइवेरिएट" (Bivariate) का सीधा सा अर्थ है कि वे एक साथ दो चीजों (होम गोल और अवे गोल) को देख रहे हैं। "कंडीशनल" (Conditional) जादुई हिस्सा है: इसका मतलब है कि वे पूछ रहे हैं, "यदि होम टीम इतने गोल करती है, तो यह हमें अवे टीम के गोलों की संख्या के बारे में क्या बताता है?" अंत में, "बेयशियन" (Bayesian) एक तरीका है जिससे हम अधिक जानकारी प्राप्त करते हुए अपने अनुमानों को अपडेट करते हैं, जिससे हमें यह स्पष्ट चित्र मिलता है कि हम अपने भविष्यवाणियों के बारे में कितने आश्वस्त हो सकते हैं। यह क्यों मायने रखता है? क्योंकि टीमों के बीच के तालमेल को समझना हमें खेल के छिपे हुए नियमों को देखने में मदद करता है, जैसे कि कैसे एक गर्जना करती भीड़ होम टीम को बेहतर खेलने में मदद करती है, या कैसे एक बढ़त पूरे खेल की रणनीति को बदल देती है।

नई गेम प्लान: एक दो-तरफा रास्ता

शोधकर्ताओं ने इंग्लिश प्रीमियर लीग (EPL) के 1,140 मैचों का एक नया दृष्टिकोण से विश्लेषण किया। उन्होंने स्थितियों का एक सटीक मिश्रण प्राप्त करने के लिए तीन विशिष्ट सीज़न चुने: 2018-19 का सीज़न (सामान्य भीड़), 2020-21 का सीज़न (महामारी के कारण लगभग कोई भीड़ नहीं), और 2023-24 का सीज़न (भीड़ वापस आ गई)। इसने उन्हें यह देखने के लिए एक प्राकृतिक प्रयोग दिया कि प्रशंसकों की उपस्थिति खेल को कैसे बदलती है। उन्होंने यह भी ट्रैक किया कि प्रत्येक टीम ने कितने फाउल किए, फाउल को एक टीम द्वारा दूसरी टीम को रोकने के प्रयास के माप के रूप में लिया।

पुराने "दो अलग-अलग पासों" वाले तरीके के बजाय, लेखकों ने एक नया मॉडल बनाया जहाँ गोल आपस में जुड़े हुए हैं। उन्होंने इस जुड़ाव के दो दिशाओं का परीक्षण किया: क्या होम टीम का स्कोर अवे टीम के स्कोर को प्रभावित करता है (Home → Away), या क्या अवे टीम का स्कोर होम टीम को प्रभावित करता है (Away → Home)?

बड़ी खोज: "बस पार्किंग" प्रभाव

सबसे आश्चर्यजनक खोज यह है कि दोनों टीमों के स्कोर के बीच का संबंध वास्तव में नकारात्मक है। फुटबॉल गणित की दुनिया में, यह एक बड़ी बात है। अधिकांश पुराने मॉडल मानते थे कि यदि एक टीम बहुत अधिक गोल करती है, तो दूसरी टीम भी शायद बहुत गोल करेगी (सकारात्मक सहसंबंध), या वे पूरी तरह से असंबंधित थे। लेकिन इस शोध पत्र ने पाया कि जब होम टीम गोल करती है, तो अवे टीम के गोल करने की संभावना कम हो जाती है।

लेखक इसे "बस पार्किंग" (parking the bus) के सामरिक खेल के रूप में बताते हैं। जब होम टीम गोल करती है, तो अवे टीम निराश या डरी हुई हो सकती है, या होम टीम अपनी बढ़त को इतनी मजबूती से बचाने के लिए पीछे हट सकती है कि अवे टीम को कोई शॉट लेने का मौका ही न मिले। गणित ने एक स्पष्ट संकेत दिखाया: हर अतिरिक्त गोल के लिए जो होम टीम करती है, अवे टीम के अपेक्षित गोलों की संख्या लगभग 10% गिर जाती है। यह नकारात्मक लिंक इतना मजबूत था कि लेखक आश्वस्त हैं कि यह एक वास्तविक पैटर्न है, न कि केवल एक इत्तेफाक।

भीड़ का एकतरफा उत्साह

अध्ययन ने यह भी देखा कि भीड़ खेल को कैसे प्रभावित करती है। उन्होंने एक स्पष्ट "होम एडवांटेज" (मेज़बान लाभ) विषमता पाई। जब स्टेडियम भरा हुआ था (लगभग 38,000 लोग), तो होम टीम ने अधिक गोल किए। गणित ने दिखाया कि उपस्थिति में 1% की वृद्धि होम गोलों में मामूली लेकिन वास्तविक वृद्धि से जुड़ी थी।

हालाँकि, भीड़ का अवे टीम को बिल्कुल भी लाभ नहीं मिला। भले ही स्टेडियम खचाखच भरा था, अवे टीम द्वारा किए गए गोलों की संख्या नहीं बढ़ी। ऐसा लग रहा था जैसे भीड़ केवल अपनी ज़मीन पर खेलने वाली टीम के लिए एक विशेष प्रोत्साहन (boost) थी। जब प्रशंसक नहीं थे (2020-21 के दौरान, जहाँ औसतन केवल 462 लोग थे), तो होम टीम के गोलों में गिरावट आई, और अवे टीम के गोलों में थोड़ी वृद्धि हुई, जिससे खेल अधिक संतुलित हो गया। यह पुष्टि करता है कि भीड़ होम टीम के लिए एक गुप्त हथियार है, लेकिन यह विज़िटिंग टीम को कोई बढ़ावा नहीं देती है।

फाउल के बारे में क्या?

शोधकर्ताओं ने यह भी जाँच की कि क्या एक टीम द्वारा किए गए फाउल की संख्या दूसरी टीम को गोल करने में मदद करती है। यहाँ परिणाम थोड़े अस्पष्ट थे। डेटा ने सुझाव दिया कि जब अवे टीम अधिक फाउल करती है, तो होम टीम कुछ अधिक गोल कर सकती है, लेकिन सबूत इतने मजबूत नहीं थे कि शत-प्रतिशत निश्चितता के साथ कहा जा सके। यह संभव है कि फाउल केवल एक अस्त-व्यस्त खेल का संकेत हों, लेकिन यह शोध पत्र निश्चित रूप से यह नहीं कह सका कि फाउल सीधे तौर पर प्रतिद्वंद्वी के लिए अधिक गोल का कारण बनते हैं।

निष्कर्ष

लेखकों ने अपने नए "लिंक्ड" (जुड़े हुए) मॉडल की तुलना पुराने "अलग-अलग पासों" वाले मॉडल से की। नया मॉडल एक बेहतर भविष्यवक्ता साबित हुआ। इसने न केवल औसत स्कोर को सही बताया; बल्कि इसने टीमों के बीच के संबंध को भी सही ढंग से पकड़ा। पुराना मॉडल इस तथ्य को पकड़ने में विफल रहा कि जब एक टीम स्कोर करती है, तो दूसरी टीम अक्सर कम स्कोर करती है। इस नई पद्धति का उपयोग करके, लेखकों ने फुटबॉल मैचों के वास्तविक चित्रण का एक अधिक यथार्थवादी चित्र बनाया, जो दिखाता है कि फुटबॉल मैच दो टीमों के बीच एक गतिशील संवाद है, न कि दो अलग-अलग एकालाप (monologues)।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि फुटबॉल गोल आपस में जुड़े हुए हैं, होम क्राउड केवल होम टीम के लिए एक शक्तिशाली शक्ति है, और जब होम टीम गोल करती है, तो अवे टीम के लिए गोल करना अक्सर कठिन हो जाता है। यह एक याद दिलाता है कि फुटबॉल में, हर गोल दोनों पक्षों के लिए कहानी बदल देता है।

तकनीकी सारांश: इंग्लिश प्रीमियर लीग में गोल निर्भरता के लिए एक बेयसियन द्विचरीय सशर्त पॉइसन रिग्रेशन (Bayesian Bivariate Conditional Poisson Regression)

समस्या विवरण
फुटबॉल मैचों के परिणाम गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गणनाओं की एक जोड़ी द्वारा अभिलक्षित होते हैं: होम टीम द्वारा किए गए गोल और अवे टीम द्वारा किए गए गोल। जबकि पारंपरिक स्कोरिंग मॉडल, जैसे कि माहेर (1982) का मौलिक कार्य और डाइक्सन एवं कोल्स (1997) तथा कार्लिस और नत्ज़ौफ्रास (2003) द्वारा किए गए बाद के विस्तार, होम एडवांटेज और टीम की मजबूती के महत्व को स्थापित कर चुके हैं, वे अक्सर इस धारणा पर निर्भर करते हैं कि होम और अवे गोल की संख्या स्वतंत्र है या मानक द्विचरीय पॉइसन मॉडल के मामले में, वे केवल गैर-ऋणात्मक सहसंबंध तक ही सीमित रहते हैं। यह प्रतिबंध एक महत्वपूर्ण सीमा है, क्योंकि मैच की गतिशीलता में अक्सर नकारात्मक निर्भरता शामिल होती है; उदाहरण के लिए, एक टीम जो अपनी बढ़त की रक्षा कर रही हो, वह प्रतिद्वंद्वी के स्कोरिंग अवसरों को कम कर सकती है ("पार्किंग द बस")। इसके अलावा, मौजूदा मॉडल अक्सर संयुक्त निर्भरता संरचना और स्टेडियम उपस्थिति तथा फाउल जैसे मैच-स्तरीय सहचरों (covariates) के दो अलग-अलग, असममित प्रभावों को एक साथ पकड़ने में संघर्ष करते हैं।

कार्यप्रणाली
इन सीमाओं को दूर करने के लिए, लेखक एक बेयसियन द्विचरीय सशर्त पॉइसन (BCP) रिग्रेशन मॉडल का प्रस्ताव करते हैं। यह कार्यप्रणाली बेरखौट और प्लग (2004) द्वारा प्रस्तुत पैरामीट्राइजेशन और पियानकास्टेली एट अल (2023a) द्वारा पुन: पैरामीट्राइजेशन पर आधारित है।

मॉडल संरचना: मॉडल एक मार्जिनली और दूसरे को सशर्त रूप से निर्दिष्ट करके होम गोल ( $Y_1$ ) और अवे गोल ( $Y_2$ ) के संयुक्त वितरण को परिभाषित करता है। विशेष रूप से, $Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ और $Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$ , जहाँ $\mu_2$ एक फलन है जो $\lambda_1, \lambda_2,$ और निर्भरता पैरामीटर $\phi$ पर आधारित है। यह फॉर्मूलेशन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों तरह के सहसंबंधों की अनुमति देता है, जो $\phi$ के चिह्न द्वारा निर्धारित होते हैं।
सहचर एकीकरण (Covariate Integration): मॉडल तीव्रता मापदंडों $\lambda_{1,i}$ $λ_{1, i}$ और $\lambda_{2,i}$ $λ_{2, i}$ के लिए लॉग-लीनियर स्पेसिफिकेशन के माध्यम से मैच-विशिष्ट सहचरों को शामिल करता है। इन सहचरों में शामिल हैं:
- लॉग-परिवर्तित स्टेडियम उपस्थिति ( $\log(\text{Attendance} + 1)$ ) ताकि शून्य-उपस्थिति वाले मैचों (जैसे महामारी के दौरान) को संभाला जा सके।
- होम और अवे टीमों द्वारा किए गए फाउल।
- होम और अवे गोलों के लिए अलग-अलग रिग्रेशन गुणांकों का अनुमान लगाया जाता है, जो इन सहचरों के असममित प्रभावों की अनुमति देता है।
अनुमान ढांचा (Inference Framework): अध्ययन एक पूर्ण बेयसियन अनुमान ढांचे का उपयोग करता है।
- प्रायर्स (Priors): एक एम्पिरिकल बेयस दृष्टिकोण का उपयोग किया गया है, जहाँ रिग्रेशन गुणांकों और निर्भरता पैरामीटर के लिए प्राय वितरण (prior distributions) को शून्य पर केंद्रित किया गया है, जिनके मानक विचलन फ्रीक्वेंटिस्ट मैक्सिमम लाइकलीहुड एस्टिमेट्स (MLEs) से प्राप्त किए गए हैं।
- गणना: पोस्टीरियर वितरणों का अनुमान स्टैन (Stan) में कार्यान्वित हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (HMC) सैंपलिंग का उपयोग करके लगाया गया है। प्रत्येक 2,000 इटरेशन के चार चैन चलाए गए।
- मॉडल सत्यापन: मॉडल फिट का आकलन पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव चेक (PPCs) के माध्यम से किया जाता है, जिसमें देखे गए सारांश सांख्यिकी (माध्य, प्रसरण, सहसंबंध और मैच परिणाम) की तुलना पोस्टीरियर से उत्पन्न पुनरावृत्त डेटासेट से की जाती है।
- मॉडल चयन: प्रेडिक्टिव प्रदर्शन का मूल्यांकन लीव-वन-आउट क्रॉस-वैलिडेशन (LOO-CV) और एक्सपेक्टेड लॉग-प्रेडिक्टिव डेंसिटी (ELPD) का उपयोग करके किया जाता है। लेखक दो दिशात्मक स्पेसिफिकेशन (Home $\to$ Away बनाम Away $\to$ Home) और एक स्वतंत्र पॉइसन बेसलाइन की तुलना करते हैं।

प्रमुख योगदान

लचीली निर्भरता संरचना: यह पेपर एक BCP रिग्रेशन फ्रेमवर्क पेश करता है जो स्पष्ट रूप से होम और अवे गोल के बीच नकारात्मक सहसंबंध को समायोजित करता है, जिससे मानक द्विचरीय पॉइसन मॉडल की गैर-ऋणात्मक सहसंबंध की बाधा को दूर किया जा सके।
असममित सहचर प्रभाव: मॉडल यह अनुमति देता है कि स्टेडियम उपस्थिति और फाउल कैसे होम बनाम अवे स्कोरिंग दरों को प्रभावित करते हैं, इसका अलग-अलग अनुमान लगाया जाए, जबकि साथ ही दोनों के बीच की निर्भरता का भी मॉडलिंग किया जाए।
सुगम पैरामीट्राइजेशन: अन्य हालिया कंडीशनल पॉइसन स्पेसिफिकेशन (जैसे पेट्रेटा एट अल, 2025) के विपरीत, यह दृष्टिकोण एक ऐसे पैरामीट्राइजेशन का उपयोग करता है जहाँ मार्जिनल मोमेंट्स और सहसंबंध मेट्रिक्स विश्लेषणात्मक रूप से सुपरिभाषित और क्लोज्ड फॉर्म में उपलब्ध हैं।
अनुभवजन्य अनुप्रयोग: इस फ्रेमवर्क को तीन अलग-अलग अवधियों (महामारी-पूर्व (2018–19), प्रतिबंधित-उपस्थिति (2020–21), और महामारी-पश्चात (2023–24)) में 1,140 इंग्लिश प्रीमियर लीग (EPL) मैचों के डेटासेट पर लागू किया गया है।

परिणाम

निर्भरता: पसंदीदा Home $\to$ Away स्पेसिफिकेशन में निर्भरता पैरामीटर $\phi$ का पोस्टीरियर अनुमान $-0.107$ (95% CI: $[-0.147, -0.066]$ ) है। यह एक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नकारात्मक सहसंबंध को दर्शाता है, जो बताता है कि होम गोल में वृद्धि से अपेक्षित अवे गोल की संख्या में कमी आती है।
मॉडल प्रदर्शन: दोनों BCP स्पेसिफिकेशन (Home $\to$ Away और Away $\to$ Home) संयुक्त प्रेडिक्टिव सटीकता (ELPD-LOO) के मामले में स्वतंत्र पॉइसन मॉडल से बेहतर रहे। हालांकि, Home $\to$ Away स्पेसिफिकेशन ने बेहतर सशर्त प्रेडिक्टिव सटीकता प्रदर्शित की, जो इसके प्राथमिक मॉडल के रूप में चयन को न्यायसंगत बनाती है।
सहचर प्रभाव:
- उपस्थिति (Attendance): स्टेडियम उपस्थिति और होम-टीम स्कोरिंग के बीच एक सकारात्मक और महत्वपूर्ण संबंध है (पोस्टीरियर मीन $\approx 0.024$ )। इसके विपरीत, अवे-टीम स्कोरिंग और उपस्थिति के बीच का संबंध शून्य पर केंद्रित है और इसका विश्वसनीय अंतराल (credible interval) शून्य को शामिल करता है। यह भीड़ के प्रभाव की विषमता की पुष्टि करता है।
- फाउल: फाउल के प्रभाव कम निर्णायक थे। हालांकि अवे फाउल्स ने होम गोल के साथ एक कमजोर सकारात्मक जुड़ाव दिखाया, लेकिन दोनों फाउल गुणांकों के 95% विश्वसनीय अंतराल में शून्य शामिल था, जो इस स्तर के विश्लेषण में किसी निर्णायक फाउल प्रभाव के ठोस प्रमाण की कमी को दर्शाता है।
पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव चेक: BCP मॉडल ने गोल और होम लॉस के अनुपात के बीच देखे गए नकारात्मक सहसंबंध को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित किया, जबकि स्वतंत्र पॉइसन मॉडल गोल सहसंबंध को पकड़ने में विफल रहा।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि BCP रिग्रेशन फुटबॉल मैच के परिणामों का अधिक यथार्थवादी संयुक्त विवरण प्रदान करता है क्योंकि यह सामरिक अंतःक्रियाओं (जैसे लीड प्रोटेक्शन) में निहित नकारात्मक निर्भरता को पकड़ता है। परिणाम इस बात पर प्रकाश डालते हैं कि भीड़ की उपस्थिति मुख्य रूप से होम-टीम की स्कोरिंग को बढ़ावा देती है बिना अवे-टीम स्कोरिंग पर कोई प्रभाव डाले, जो होम एडवांटेज की अवधारणा को पुख्ता करती है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि हालांकि मॉडल पारंपरिक स्वतंत्रता धारणाओं में सुधार करता है और संरचनात्मक निर्भरता को पकड़ता है, फिर भी अनुमानित उपस्थिति प्रभाव को एक निश्चित कारण प्रभाव के बजाय एक समायोजित जुड़ाव के रूप में व्याख्या किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें चयनित सीज़न के दौरान महामारी की स्थितियों और टीम संरचना के भ्रमित करने वाले कारक (confounding factors) मौजूद हैं। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि BCP फ्रेमवर्क फुटबॉल एनालिटिक्स में गोल निर्भरता और सहचर प्रभावों का विश्लेषण करने के लिए एक मजबूत, व्याख्या योग्य उपकरण प्रदान करता है।

नई गेम प्लान: एक दो-तरफा रास्ता

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निष्कर्ष

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