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A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

Diese Arbeit führt ein bayesianisches bivariates bedingtes Poisson-Regressionsmodell zur Analyse von Daten der englischen Premier League ein, welches eine negative Korrelation zwischen der Anzahl der Heim- und Auswärtstore aufzeigt und demonstriert, wie Zuschauerzahlen und Fouls die Scoring-Dynamik asymmetrisch beeinflussen.

Ursprüngliche Autoren: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Veröffentlicht 2026-08-10

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie schauen ein Fußballspiel. Der Spielstand ist nicht einfach nur eine Zufallszahl, die ein Zufallsgenerator ausspuckt; er ist die Geschichte zweier Teams, die miteinander tanzen, sich gegenseitig bedrängen und aufeinander reagieren. Wenn das Heimmannschaft ein Tor erzielt, könnte die Auswärtsmannschaft panisch und wild angreifen oder sie könnte sich zurückziehen und versuchen, ihren Rückstand zu verteidigen. Das bedeutet, dass die Anzahl der Tore, die ein Team erzielt, wahrscheinlich mit der Anzahl der Tore des anderen Teams verknüpft ist. Seit Jahrzehnten versuchen Statistiker, mathematische Gleichungen aufzustellen, um diese Ergebnisse vorherzusagen. Die alte Denkweise war wie das Werfen von zwei separaten Würfeln: einer für das Heimteam, einer für das Auswärtsteam, unter der Annahme, dass das, was beim einen passiert, absolut nichts mit dem anderen zu tun hat. Aber jeder, der ein Spiel gesehen hat, weiß, dass das nicht stimmt. Die Teams sind im selben Raum, reagieren auf denselben Jubel, denselben Schiedsrichter und aufeinander.

Dieses Paper taucht in diese chaotische, aufregende Verbindung ein. Die Autoren wollten eine bessere „Kristallkugel“ für Fußballergebnisse bauen, die nicht nur die Zahlen errät, sondern auch die Beziehung zwischen ihnen versteht. Sie verwendeten eine ausgeklügelte neue Art der Mathematik, eine „Bayessche bivariate bedingte Poisson-Regression“. Lassen Sie sich von den großen Worten nicht abschrecken. Denken Sie bei „Poisson“ an eine Methode, um Dinge zu zählen, die zufällig über einen Zeitraum hinweg geschehen, wie zum Beispiel Tore. „Bivariat“ bedeutet einfach nur, dass sie sich zwei Dinge gleichzeitig ansehen (Heimtore und Auswärtstore). „Bedingt“ ist der magische Teil: Es bedeutet, dass sie fragen: „Wenn die Heimmannschaft diese Anzahl an Toren erzielt, was sagt uns das darüber, wie viele Tore die Auswärtsmannschaft erzielen wird?“ „Bayessch“ ist eine Methode, um unsere Vermutungen zu aktualisieren, während wir mehr lernen, was uns ein klares Bild davon gibt, wie sicher wir uns bei unseren Vorhersagen sein können. Warum ist das wichtig? Weil das Verständnis dafür, wie Teams interagieren, uns hilft, die verborgenen Regeln des Spiels zu sehen, wie etwa, wie ein tosender Jubel die Heimmannschaft dazu bringen kann, besser zu spielen, oder wie ein Vorsprung die gesamte Spielstrategie verändert.

Der neue Spielplan: Eine Einbahnstraße in beide Richtungen

Die Forscher warfen einen frischen Blick auf 1.140 Spiele der englischen Premier League (EPL). Sie wählten drei spezifische Saisons aus, um eine perfekte Mischung an Situationen zu erhalten: die Saison 2018–19 (normale Zuschauermengen), die Saison 2020–21 (fast keine Zuschauer aufgrund der Pandemie) und die Saison 2023–24 (Zuschauer sind wieder da). Dies bot ihnen ein natürliches Experiment, um zu sehen, wie die Anwesenheit von Fans das Spiel verändert. Sie verfolgten auch, wie viele Fouls jedes Team beging, wobei sie Fouls als Maßstab dafür betrachteten, wie sehr die Teams versuchten, einander zu stoppen.

Anstatt der alten „zwei separaten Würfel“-Methode bauten die Autoren ein neues Modell, in dem die Tore miteinander verknüpft sind. Sie testeten zwei Richtungen für diese Verknüpfung: Beeinflusst der Score des Heimteams den Score des Auswärtsteams (Heim → Auswärts), oder beeinflusst der Score des Auswärtsteams den Score des Heimteams (Auswärts → Heim)?

Die große Entdeckung: Der „Busparken“-Eff Effekt

Die überraschendste Erkenntnis ist, dass die Beziehung zwischen den Scores der beiden Teams tatsächlich negativ ist. In der Welt der Fußballmathematik ist das eine große Sache. Die meisten alten Modelle gingen davon aus, dass, wenn ein Team viele Tore erzielt, das andere wahrscheinlich auch viele erzielt (positive Korrelation), oder dass sie völlig unzusammenhängend sind. Aber dieses Paper fand heraus, dass, wenn die Heimmannschaft ein Tor erzielt, die Auswärtsmannschaft tendenziell weniger Tore erzielt.

Die Autoren schlagen vor, dass dies einem taktischen Spiel des „Parkens des Busses“ gleicht. Wenn die Heimmannschaft ein Tor erzielt, könnte die Auswärtsmannschaft frustriert oder verängstigt sein, oder die Heimmannschaft könnte entscheiden, sich zurückzulehnen und ihre Führung so eng zu verteidigen, dass die Auswärtsmannschaft kaum Schüsse abgeben kann. Die Mathematik zeigte ein klares Signal: Für jedes zusätzliche Tor, das die Heimmannschaft erzielt, sinkt die erwartete Anzahl der Tore für die Auswärtsmannschaft um etwa 10 %. Diese negative Verknüpfung war stark genug, dass die Autoren zuversichtlich sind, dass es sich um ein echtes Muster handelt und nicht nur um einen Zufall.

Der einseitige Jubel der Menge

Die Studie untersuchte auch, wie die Menge das Spiel beeinflusst. Sie fanden einen sehr klaren „Heimvorteil“-Asymmetrie. Wenn das Stadion voll war (etwa 38.000 Menschen), erzielte die Heimmannschaft mehr Tore. Die Mathematik zeigte, dass eine Steigerung der Zuschauerzahl um 1 % mit einem winzigen, aber realen Anstieg der Heimtore verbunden war.

Die Menge schien der Auswärtsmannschaft jedoch überhaupt nicht zu helfen. Selbst als das Stadion voll besetzt war, stieg die Anzahl der Tore der Auswärtsmannschaft nicht an. Es war, als wäre die Menge ein spezieller Boost, der nur für das Team gilt, das auf eigenem Boden spielt. Als die Fans weg waren (während der Saison 2020–21 mit durchschnittlich nur 462 Menschen), sank die Torgefährlichkeit der Heimmannschaft, und die Torgefährlichkeit der Auswärtsmannschaft stieg tatsächlich leicht an, was das Spiel ausgeglichener machte. Dies bestätigt, dass die Menge eine Geheimwaffe für die Heimmannschaft ist, aber der Gastmannschaft keinen Schub verleiht.

Was ist mit den Fouls?

Die Forscher prüften auch, ob die Anzahl der Fouls, die ein Team beging, dem anderen Team half, Tore zu erzielen. Die Ergebnisse hier waren etwas vage. Die Daten deuteten darauf hin, dass die Heimmannschaft vielleicht ein paar mehr Tore erzielt, wenn die Auswärtsmannschaft viele Fouls begeht, aber die Beweise waren nicht stark genug, um zu 100 % sicher zu sein. Es ist möglich, dass Fouls einfach ein Zeichen eines unordentlichen Spiels sind, aber das Paper konnte nicht mit Sicherheit sagen, ob Fouls direkt zu mehr Toren für den Gegner führen.

Das Urteil

Die Autoren verglichen ihr neues „verknüpftes“ Modell mit dem alten „separate Würfel“-Modell. Das neue Modell war ein besserer Prädiktor. Es traf nicht nur die Durchschnittswerte der Scores richtig, sondern es erfasste auch die Beziehung zwischen den Teams. Das alte Modell scheiterte daran, die Tatsache zu erfassen, dass die andere Mannschaft oft weniger Tore erzielt, wenn ein Team ein Tor schießt. Durch die Verwendung dieser neuen Methode schufen die Autoren ein realistischeres Bild davon, wie Fußballspiele tatsächlich ablaufen, indem sie zeigten, dass das Spiel ein dynamisches Gespräch zwischen zwei Teams ist und nicht zwei separate Monologe.

Kurz gesagt: Das Paper beweist, dass Fußballtore miteinander verbunden sind, dass die Heimzuschauer eine kraftvolle Macht sind, die nur der Heimmannschaft zugutekommt, und dass die Auswärtsmannschaft oft Schwierigkeiten hat, zurückzuschießen, wenn die Heimmannschaft ein Tor erzielt. Es ist eine Erinnerung daran, dass in einem Fußballspiel jedes Tor die Geschichte für beide Seiten verändert.

Technisches Resümee: Eine Bayessche bivariate bedingte Poisson-Regression für die Torabhängigkeit in der englischen Premier League

Problemstellung
Fußballergebnisse sind durch ein Paar von nicht-negativen ganzzahligen Zählern charakterisiert: die von der Heimmannschaft erzielten Tore und die von der Auswärtsmannschaft erzielten Tore. Während traditionelle Scoring-Modelle, wie das wegweisende Werk von Maher (1982) und dessen spätere Erweiterungen durch Dixon und Coles (1997) sowie Karlis und Ntzoufras (2003), die Bedeutung des Heimvorteils und der Teamstärke etabliert haben, stützen sie sich oft auf die Annahme, dass Heim- und Auswärtstore unabhängig sind oder in Fällen von Standard-bivariaten Poisson-Modellen die Abhängigkeit auf eine nicht-negative Korrelation beschränken. Diese Einschränkung stellt eine signifikante Limitation dar, da die Spielmechanik oft eine negative Abhängigkeit beinhaltet; beispielsweise kann ein Team, das einen Vorsprung absichert, die Chancen des Gegners unterdrücken („Parken des Busses“). Darüber hinaus haben bestehende Modelle oft Schwierigkeiten, gleichzeitig die gemeinsame Abhängigkeitsstruktur und die distinkten, asymmetrischen Effekte von spielspezifischen Kovariaten, wie etwa Stadionbesuch und Fouls, auf die beiden Scoring-Prozesse zu erfassen.

Methodik
Um diese Einschränkungen zu adressieren, schlagen die Autoren ein Bayessches Bivariates Bedingtes Poisson-Regressionsmodell (BCP) vor. Die Methodik basiert auf der von Berkhout und Plug (2004) eingeführten Parametrisierung und wurde von Piancastelli et al. (2023a) reparametrisiert.

Modellstruktur: Das Modell definiert die gemeinsame Verteilung der Heimtore ( $Y_1$ ) und der Auswärtstore ( $Y_2$ ), indem es eine Variable marginal und die andere bedingt spezifiziert. Konkret gilt $Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ und $Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$ , wobei $\mu_2$ eine Funktion von $\lambda_1, \lambda_2$ und dem Abhängigkeitsparameter $\phi$ ist. Diese Formulierung ermöglicht sowohl positive als auch negative Korrelationen, bestimmt durch das Vorzeichen von $\phi$ .
Integration von Kovariaten: Das Modell integriert spielspezifische Kovariaten über Log-Linear-Spezifikationen für die Intensitätsparameter $\lambda_{1,i}$ $λ_{1, i}$ und $\lambda_{2,i}$ $λ_{2, i}$ . Die Kovariaten umfassen:
- Die log-transformierte Stadionbesuchszahl ( $\log(\text{Attendance} + 1)$ ), um Spiele mit Null-Besuch (z. B. während der Pandemie) zu handhaben.
- Fouls, die von der Heim- und der Auswärtsmannschaft begangen wurden.
- Es werden separate Regressionskoeffizienten für Heim- und Auswärtstore geschätzt, was die asymmetrischen Effekte dieser Kovariaten ermöglicht.
Inferenzrahmen: Die Studie verwendet einen vollen Bayesschen Inferenzrahmen.
- Priors: Ein empirischer Bayes-Ansatz wird verwendet, bei dem die Prior-Verteilungen für die Regressionskoeffizienten und den Abhängigkeitsparameter um Null zentriert sind, wobei die Standardabweichungen aus frequentistischen Maximum-Likelihood-Schätzungen (MLEs) abgeleitet werden.
- Berechnung: Die Posterior-Verteilungen werden mittels Hamiltonian Monte Carlo (HMC) Sampling approximiert, das in Stan implementiert ist. Es wurden vier Ketten mit jeweils 2.000 Iterationen durchgeführt.
- Modellvalidierung: Die Modellgüte wird mittels Posterior Predictive Checks (PPCs) bewertet, wobei beobachtete statistische Kennzahlen (Mittelwerte, Varianzen, Korrelationen und Spielergebnisse) mit replizierten Datensätzen verglichen werden, die aus den Posterioren generiert wurden.
- Modellauswahl: Die prädiktive Leistungsfähigkeit wird mittels Leave-One-Out Cross-Validation (LOO-CV) und der Expected Log-Predictive Density (ELPD) evaluiert. Die Autoren vergleichen zwei gerichtete Spezifikationen (Heim $\to$ Auswärts vs. Auswärts $\to$ Heim) sowie ein unabhängiges Poisson-Baseline-Modell.

Wesentliche Beiträge

Flexible Abhängigkeitsstruktur: Die Arbeit führt einen BCP-Regressionsrahmen ein, der explizit eine negative Korrelation zwischen Heim- und Auswärtstoren ermöglicht und damit die Beschränkung auf nicht-negative Korrelationen herkömmlicher bivariater Poisson-Modelle überwindet.
Asymmetrische Kovariaten-Effekte: Das Modell erlaubt die separate Schätzung, wie Zuschauerzahlen und Fouls die Heim- bzw. Auswärtstore beeinflussen, während es gleichzeitig die Abhängigkeit zwischen beiden modelliert.
Handhabbare Parametrisierung: Im Gegensatz zu anderen jüngeren bedingten Poisson-Spezifikationen (z. B. Petretta et al., 2025) nutzt dieser Ansatz eine Parametrisierung, bei der marginale Momente und Korrelationsmetriken analytisch gut definiert und in geschlossener Form verfügbar sind.
Empirische Anwendung: Der Rahmen wird auf einen Datensatz von 1.140 Spielen der englischen Premier League (EPL) über drei verschiedene Zeiträume angewendet: Prä-Pandemie (2018–19), eingeschränkte Zuschauerzahlen (2020–21) und Post-Pandemie (2023–24).

Ergebnisse

Abhängigkeit: Der Posterior-Schätzwert für den Abhängigkeitsparameter $\phi$ in der bevorzugten Heim $\to$ Auswärts-Spezifikation liegt bei $-0,107$ (95 % KI: $[-0,147, -0,066]$ ). Dies deutet auf eine statistisch signifikante negative Korrelation hin, was bedeutet, dass ein Anstieg der Heimtore mit einer Reduktion der erwarteten Anzahl der Auswärtstore assoziiert ist.
Modellleistung: Beide BCP-Spezifikationen (Heim $\to$ Auswärts und Auswärts $\to$ Heim) übertrafen das unabhängige Poisson-Modell hinsichtlich der gemeinsamen prädiktiven Genauigkeit (ELPD-LOO). Die Heim $\to$ Auswärts-Spezifikation zeigte jedoch eine überlegene bedingte prädiktive Genauigkeit, was ihre Auswahl als Primärmodell rechtfertigt.
Kovariaten-Effekte:
- Zuschauerzahlen: Es besteht eine positive und signifikante Assoziation zwischen der Stadionbesuchszahl und den Toren der Heimmannschaft (Posterior-Mittelwert $\approx 0,024$ ). Umgekehrt liegt die Assoziation zwischen Zuschauerzahlen und Auswärtstoren nahe bei Null, wobei das Glaubwürdigkeitsintervall die Null einschließt. Dies bestätigt die Asymmetrie des Einflusses der Menge.
- Fouls: Die Effekte der Fouls waren weniger entscheidend. Während die Fouls der Gastmannschaft eine schwache positive Assoziation mit den Heimtoren zeigten, enthielten die 95 %-Glaubwürdigkeitsintervalle für beide Foul-Koeffizienten die Null, was darauf hindeutet, dass es keine starke Evidenz für einen entscheidenden Foul-Effekt auf dieser Analyseebene gibt.
Posterior Predictive Checks: Das BCP-Modell konnte die beobachtete negative Korrelation zwischen Toren und dem Anteil der Heimniederlagen erfolgreich reproduzieren, während das unabhängige Poisson-Modell die Tor-Korrelation nicht erfassen konnte.

Bedeutung und Behauptungen
Das Paper behauptet, dass die BCP-Regression eine realistischere gemeinsame Beschreibung von Fußballergebnissen liefert, indem sie die inhärente negative Abhängigkeit taktischer Interaktionen (z. B. Absicherung eines Vorsprungs) erfasst. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Anwesenheit der Zuschauer primär die Scoring-Rate der Heimmannschaft steigert, ohne einen entsprechenden Effekt auf die Auswärtsmannschaft zu haben, was das Konzept des Heimvorteils verstärkt. Die Autoren betonen, dass der geschätzte Zuschauer-Effekt als adjustierte Assoziation und nicht als definitiver kausaler Effekt interpretiert werden sollte, gegeben die konfundierenden Faktoren der Pandemiebedingungen und der Teamzusammensetzung über die ausgewählten Saisons hinweg. Die Studie kommt zu dem Schluss, dass der BCP-Rahmen ein robustes, interpretierbares Werkzeug zur Analyse der Torabhängigkeit und der Auswirkungen von Kovariaten im Fußball bietet.