📊 statistics

A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

Dit artikel introduceert een Bayesiaans bivariat Conditioneel Poisson-regressiemodel om gegevens van de Engelse Premier League te analyseren, waarbij een negatieve correlatie tussen het aantal doelpunten thuis en uit wordt onthuld en wordt aangetoond hoe de toeschouwersaantallen en overtredingen de score-dynamiek asymmetrisch beïnvloeden.

Oorspronkelijke auteurs: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Gepubliceerd 2026-08-10

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je naar een voetbalwedstrijd kijkt. De score is niet zomaar een willekeurige getalgenerator die doelpunten uitspuugt; het is het verhaal van twee teams die dansen, duwen en op elkaar reageren. Als het thuisteam scoort, kan het uitwedeteam in paniek raken en wild aanvallen, of ze kunnen juist terugzakken om hun achterstand te beschermen. Dit betekent dat het aantal doelpunten dat het ene team scoort, waarschijnlijk verbonden is met hoeveel het andere team scoort. Decennialang hebben statistici geprobeerd wiskundige vergelijkingen te schrijven om deze scores te voorspellen. De oude manier van denken was als het gooien van twee aparte dobbelstenen: één voor het thuisteam, één voor het uitwedeteam, waarbij men ervan uitging dat wat er met de één gebeurt, absoluut niets te maken heeft met de ander. Maar iedereen die een wedstrijd heeft gezien, weet dat dit niet waar is. De teams zijn in dezelfde ruimte, reageren op dezelfde menigte, dezelfde scheidsrechter en elkaars bewegingen.

Dit artikel duikt in die rommelige, opwindende connectie. De auteurs wilden een betere "glazen bol" voor voetbalscores bouwen die niet alleen de cijfers raadt, maar ook de relatie tussen hen begrijpt. Ze gebruikten een chique nieuwe vorm van wiskunde genaamd een "Bayesiaanse bivariate conditionele Poisson-regressie". Laat die ingewikkelde woorden je niet afschrikken. Denk bij "Poisson" aan een manier om dingen te tellen die willekeurig gebeuren over een bepaalde tijd, zoals doelpunten. "Bivariaat" betekent simpelweg dat ze naar twee dingen tegelijk kijken (doelpunten thuis en doelpunten uit). "Conditioneel" is het magische deel: het betekent dat ze vragen: "Als het thuisteam dit aantal doelpunten scoort, wat zegt dat ons over hoeveel het uitwedeteam zal scoren?" Ten slotte is "Bayesiaans" een manier om onze vermoedens bij te stellen naarmate we meer leren, wat ons een helder beeld geeft van hoe zeker we kunnen zijn van onze voorspellingen. Waarom is dit belangrijk? Omdat het begrijpen van hoe teams met elkaar interageren ons helpt de verborgen regels van het spel te zien, zoals hoe een juichend publiek ervoor kan zorgen dat het thuisteam beter speelt, of hoe een voorsprong de hele strategie van de wedstrijd verandert.

Het Nieuwe Spelplan: Een Tweerichtingsverkeer

De onderzoekers wierpen een frisse blik op 1.140 wedstrijden uit de Engelse Premier League (EPL). Ze kozen drie specifieke seizoenen voor een perfecte mix van situaties: het seizoen 2018–19 (normaal publiek), het seizoen 2020–21 (bijna geen publiek vanwege de pandemie) en het seizoen 2023–24 (publiek weer terug). Dit gaf hen een natuurlijk experiment om te zien hoe de aanwezigheid van fans het spel verandert. Ze volgden ook het aantal overtredingen dat elk team maakte, waarbij ze overtredingen behandelden als een maatstaf voor hoe hard de teams probeerden elkaar te stoppen.

In plaats van de oude "twee aparte dobbelstenen"-methode, bouwden de auteurs een nieuw model waarin de doelpunten verbonden zijn. Ze testten twee richtingen voor deze link: Beïnvloedt het scoren van het thuisteam het scoren van het uitwedeteam (Thuis → Uit), of beïnvloedt het scoren van het uitwedeteam het scoren van het thuisteam (Uit → Thuis)?

De Grote Ontdekking: Het "Bus Parkeren"-effect

De meest verrassende bevinding is dat de relatie tussen de scores van de twee teams feitelijk negatief is. In de wereld van de voetbalwiskunde is dit een grote zaak. De meeste oude modellen gingen ervan uit dat als het ene team veel scoorde, het andere team waarschijnlijk ook veel zou scoren (positieve correlatie), of dat ze totaal niet gerelateerd waren. Maar dit paper vond dat wanneer het thuisteam scoort, het uitwedeteam doorgaans minder doelpunten scoort.

De auteurs suggereren dat dit lijkt op een tactisch spel van "de bus parkeren". Wanneer het thuisteam een doelpunt maakt, kan het uitwedeteam gefrustreerd of bang raken, of het thuisteam kan besluiten om heel strak achteruit te zakken en te verdedigen, zodat het uitwedeteam geen enkele kans krijgt op een schot. De wiskunde toonde een duidelijk signaal: voor elk extra doelpunt dat het thuisteam scoort, daalt het verwachte aantal doelpunten voor het uitwedeteam met ongeveer 10%. Deze negatieve link was sterk genoeg zodat de auteurs er zeker van zijn dat het een echt patroon is, en geen toevalstreffer.

De Eenzijdige Juich van de Menigte

De studie keek ook naar hoe het publiek het spel beïnvloedt. Ze vonden een zeer duidelijke asymmetrie in het "thuisvoordeel". Wanneer het stadion vol was (rond de 38.000 mensen), scoorde het thuisteam meer doelpunten. De wiskunde toonde aan dat een toename van 1% in toeschouwers gekoppeld was aan een kleine maar reële toename van de doelpunten van het thuisteam.

Het publiek leek echter helemaal geen voordeel te bieden aan het uitwedeteam. Zelfs toen het stadion vol zat, steeg het aantal doelpunten van het uitwedeteam niet. Het was also Lid dat de menigte een speciale boost was die alleen voor het team speelde dat op eigen terrein stond. Wanneer de fans weg waren (tijdens het seizoen 2020–21 met gemiddeld slechts 462 mensen), daalde het scorend vermogen van het thuisteam, terwijl het scorend vermogen van het uitwedeteam zelfs licht steeg, waardoor de wedstrijd meer in balans kwam. Dit bevestigt dat de menigte een geheim wapen is voor het thuisteam, maar dat het het uitwedeteam geen boost geeft.

Hoe zit het met de Overtredingen?

De onderzoekers controleerden ook of het aantal overtredingen dat door een team werd begaan, de andere partij hielp om te scoren. De resultaten waren hier wat vager. De gegevens suggereerden dat wanneer het uitwedeteam veel overtredingen maakte, het thuisteam misschien een paar doelpunten meer scoorde, maar het bewijs was niet sterk genoeg om 100% zeker te zijn. Het is mogelijk dat overtredingen gewoon een teken zijn van een rommelige wedstrijd, maar het paper kon niet met zekerheid zeggen of overtredingen direct leiden tot meer doelpunten voor de tegenstander.

Het Eindoordeel

De auteurs vergeleken hun nieuwe "verbonden" model met het oude "aparte dobbelstenen"-model. Het nieuwe model was een betere voorspeller. Het kreeg niet alleen de gemiddelde scores goed, maar het begreep ook de relatie tussen de teams. Het oude model slaagde er niet in om vast te leggen dat wanneer het ene team scoort, het andere vaak minder scoort. Door deze nieuwe methode te gebruiken, creëerden de auteurs een realistischer beeld van hoe voetbalwedstrijden daadwerkelijk verlopen, waarbij zijden aan het licht kwam dat de wedstrijd een dynamische conversatie is tussen twee teams, en niet twee aparte monologen.

Kortom, het paper bewijst dat voetbaldoelpunten met elkaar verbonden zijn, dat de thuismenigte een krachtige kracht is die alleen voor het thuisteam werkt, en dat wanneer het thuisteam scoort, het voor het uitwedeteam vaak moeilijker wordt om terug te scoren. Het is een herinnering aan het feit dat in het voetbal elk doelpunt het verhaal voor beide zijden verandert.

Technische Samenvatting: Een Bayesiaanse Bivariate Conditionele Poisson-regressie voor Doelafhankelijkheid in de Engelse Premier League

Probleemstelling
Voetbaluitslagen worden gekenmerkt door een paar van niet-negatieve gehele getallen: het aantal doelpunten gescoord door het thuisteam en het aantal doelpunten gescoord door het uitateam. Hoewel traditionele scoringsmodellen, zoals het baanbrekende werk van Maher (1982) en latere uitbreidingen door Dixon en Coles (1997) en Karlis en Ntzoufras (2003), het belang van thuisvoordeel en teamsterktes hebben vastgesteld, vertrouwen ze vaak op de aanname dat de doelaantallen van thuis en uit onafhankelijk zijn, of in het geval van standaard bivariate Poisson-modellen, de afhankelijkheid beperken tot een positieve correlatie. Deze beperking is een aanzienlijk nadeel, aangezien wedstrijddynamiek vaak negatieve afhankelijkheid vertoont; bijvoorbeeld een team dat een voorsprong beschermt kan de scorekansen van de tegenstander onderdrukken ("parkeren van de bus"). Bovendien worstelen bestaande modellen vaak met het gelijktijdig vastleggen van de gezamenlijke afhankelijkheidsstructuur en de afzonderlijke, asymmetrische effecten van wedstrijd-specifieke covariaten, zoals stadionbezetting en overtredingen, op de twee scoringsprocessen.

Methodologie
Om deze beperkingen aan te pakken, stellen de auteurs een Bayesiaans Bivariate Conditioneel Poisson (BCP) regressiemodel voor. De methodologie is gebaseerd op de parametrisatie geïntroduceerd door Berkhout en Plug (2004) en herparametrieterd door Piancastelli et al. (2023a).

Modelstructuur: Het model definieert de gezamenlijke verdeling van thuisdoelpunten ( $Y_1$ ) en uitdoelpunten ( $Y_2$ ) door één marginaal en de andere conditioneel te specificeren. Specifiek: $Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ en $Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$ , waarbij $\mu_2$ een functie is van $\lambda_1, \lambda_2,$ en de afhankelijkheidsparameter $\phi$ . Deze formulering staat zowel positieve als negatieve correlaties toe, bepaald door het teken van $\phi$ .
Integratie van Covariaten: Het model incorporeert wedstrijdspecifieke covariaten via log-lineaire specificaties voor de intensiteitsparameters $\lambda_{1,i}$ $λ_{1, i}$ en $\lambda_{2,i}$ $λ_{2, i}$ . De covariaten omvatten:
- Log-getransformeerde stadionbezetting ( $\log(\text{Attendance} + 1)$ ) om wedstrijden met nul toeschouwers (bijv. tijdens de pandemie) te verwerken.
- Overtredingen begaan door de thuis- en uitteams.
- Afzonderlijke regressiecoëfficiënten worden geschat voor thuis- en uitdoelpunten, wat de asymmetrische effecten van deze covariaten mogelijk maakt.
Inferentiekader: De studie maakt gebruik van een volledig Bayesiaans inferentiekader.
- Priors: Er wordt een empirische Bayes-benadering gebruikt, waarbij de priorverdelingen voor de regressiecoëfficiënten en de afhankelijkheidsparameter gecentreerd zijn rond nul met standaarddeviaties afgeleid van frequentistische maximum likelihood-schattingen (MLE's).
- Computatie: De posterieure verdelingen worden benaderd met behulp van Hamiltonian Monte Carlo (HMC) sampling geïmplementeerd in Stan. Vier ketens met elk 2.000 iteraties werden uitgevoerd.
- Modelvalidatie: De modelpassing wordt beoordeeld via Posterior Predictive Checks (PPC's), waarbij geobserveerde samenvattende statistieken (gemiddelden, varianties, correlaties en wedstrijdresultaten) worden vergeleken met gerepliceerde datasets gegenereerd uit de posterieure verdeling.
- Modelselectie: De voorspellende prestaties worden geëvalueerd met behulp van Leave-One-Out Cross-Validation (LOO-CV) en de Expected Log-Predictive Density (ELPD). De auteurs vergelijken twee directionele specificaties (Thuis $\to$ Uit versus Uit $\to$ Thuis) en een onafhankelijke Poisson-baseline.

Belangrijkste Bijdragen

Flexibele Afhankelijkheidsstructuur: Het artikel introduceert een BCP-regressiekader dat expliciet negatieve correlatie tussen thuis- en uitdoelpunten kan accommoderen, waarmee de beperking van niet-negatieve correlatie van standaard bivariate Poisson-modellen wordt overwonnen.
Asymmetrische Covariaat-effecten: Het model maakt het mogelijk om afzonderlijk te schatten hoe stadionbezetting en overtredingen de thuis- versus de uitdoelpuntenpercentages beïnvloeden, terwijl de afhankelijkheid tussen de twee gelijktijdig wordt gemodelleerd.
Hanteerbare Parametrisatie: In tegen tegenstelling tot andere recente conditionele Poisson-specificaties (bijv. Petretta et al., 2025), maakt deze aanpak gebruik van een parametrisatie waarbij marginale momenten en correlatiemetrieken analytisch goed gedefinieerd en beschikbaar zijn in gesloten vorm.
Empirische Toepassing: Het kader wordt toegepast op een dataset van 1.140 Engelse Premier League (EPL) wedstrijden over drie verschillende perioden: pre-pandemie (2018–19), beperkte bezetting (2020–21) en post-pandemie (2023–24).

Resultaten

Afhankelijkheid: De posterieure schatting voor de afhankelijkheidsparameter $\phi$ in de geprefereerde Thuis $\to$ Uit specificatie is $-0,107$ (95% BI: $[-0,147, -0,066]$ ). Dit duidt op een statistisch significante negatieve correlatie, wat suggereert dat een toename in thuisdoelpunten gepaard gaat met een afname van het verwachte aantal uitdoelpunten.
Modelprestaties: Beide BCP-specificaties (Thuis $\to$ Uit en Uit $\to$ Thuis) presteerden beter dan het onafhankelijke Poisson-model in termen van gezamenlijke voorspellende nauwkeurigheid (ELPD-LOO). Echter, de Thuis $\to$ Uit specificatie vertoonde een superieure conditionele voorspellende nauwkeurigheid, wat de selectie ervan als het primaire model rechtvaardigt.
Covariaat-effecten:
- Bezetting: Er is een positieve en significante associatie tussen stadionbezetting en de doelpunten van het thuisteam (posterieure gemiddelde $\approx 0,024$ ). Omgekeerd is de associatie tussen bezetting en uitdoelpunten gecentreerd rond nul met een betrouwbaarheidsinterval dat nul bevat. Dit bevestigt de asymmetrie van de invloed van het publiek.
- Overtredingen: De effecten van overtredingen waren minder doorslaggevend. Hoewel overtredingen door het uitteam een zwakke positieve associatie vertoonden met thuisdoelpunten, bevatten de 95% betrouwbaarheidsintervallen voor beide overtredingscoëfficiënten nul, wat wijst op geen sterk bewijs voor een doorslaggevend overtredingseffect op dit niveau van analyse.
Posterior Predictive Checks: Het BCP-model slaagde erin de geobserveerde negatieve correlatie tussen doelpunten en het aandeel thuisverliezen te reproduceren, terwijl het onafhankelijke Poisson-model er niet in slaagde de doelcorrelatie te vatten.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat de BCP-regressie een realistischer gezamenlijk beschrijving van voetbaluitslagen biedt door de inherente negatieve afhankelijkheid van tactische interacties (bijv. het beschermen van een voorsprong) te vangen. De resultaten benadrukken dat de aanwezigheid van het publiek primair de doelpunten van het thuisteam stimuleert zonder een overeenkomend effect op de uitdoelpunten, wat het concept van thuisvoordeel versterkt. De auteurs benadrukken dat, hoewel het model verbetering brengt ten opzichte van traditionele onafhankelijkheidsaannames en structurele afhankelijkheid vangt, het geschatte effect van de bezetting geïnterpreteerd moet worden als een aangepaste associatie in plaats van een definitief causaal effect, gezien de verstorende factoren van de pandemie en de samenstelling van de teams over de geselecteerde seizoenen. De studie concludeert dat het BCP-kader een robuust en interpreteerbaar instrument biedt voor de analyse van doelafhankelijkheid en de impact van covariaten in de voetbalanalyse.