A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

技术摘要：用于英超联赛进球依赖性的贝叶斯双变量条件泊松回归研究

问题陈述
足球比赛的结果表现为一对非负整数计数：主队进球数和客队进球数。虽然传统的得分模型（如 Maher (1982) 的开创性工作以及随后的 Dixon 和 Coles (1997) 以及 Karlis 和 Ntzoufras (2003) 的扩展）已经确立了主场优势和球队实力的重要性，但这些模型通常依赖于主队和客队进球数相互独立的假设；或者在标准双变量泊松模型中，将依赖性限制在非负相关性上。这种限制是一个显著的局限性，因为比赛动态往往涉及负相关性；例如，一支球队在领先时通过保护领先来抑制对手的得分机会（即“大巴战术”）。此外，现有模型往往难以同时捕捉联合依赖结构以及比赛层面协变量（如球场上座率和犯规）对两种得分过程产生的截然不同且不对称的影响。

方法论
为了解决这些局限性，作者提出了一个贝叶斯双变量条件泊松 (BCP) 回归模型。该方法基于 Berkhout 和 Plug (2004) 引入并由 Piancastelli 等人 (2023a) 重新参数化的参数化方案。

• 模型结构： 该模型通过指定一个边缘分布和另一个条件分布来定义主队进球数 ($Y_1$) 和客队进球数 ($Y_2$) 的联合分布。具体而言，$Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ 且 $Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$，其中 $\mu_2$ 是 $\lambda_1, \lambda_2$ 和依赖参数 $\phi$ 的函数。这种公式化形式允许正相关和负相关，其方向由 $\phi$ 的符号决定。
• 协变量整合： 模型通过对强度参数 $\lambda_{1,i}$ 和 $\lambda_{2,i}$ 的对数线性规范来纳入比赛特定协变量。协变量包括：
  • 对数转换后的球场上座率 ($\log(\text{Attendance} + 1)$)，以处理零上座率的比赛（例如疫情期间）。
  • 主队和客队的犯规数。
  • 模型为主队和客队进球分别估计回归系数，从而允许这些协变量产生不对称效应。
• 推断框架： 研究采用了全贝叶斯推断框架。
  • 先验分布： 使用了经验贝叶斯方法，其中回归系数和依赖参数的先验分布以零为中心，其标准差源自频率派极大似然估计 (MLE)。
  • 计算： 后验分布通过在 Stan 中实现的 哈密顿蒙特卡洛 (HMC) 采样进行近似。共运行了四条链，每条链包含 2,000 次迭代。
  • 模型验证： 通过 后验预测检查 (PPC) 来评估模型拟合度，将观测到的统计量摘要（均值、方差、相关性和比赛结果）与从后验分布生成的复制数据集进行比较。
  • 模型选择： 使用 留一交叉验证 (LOO-CV) 和 期望对数预测密度 (ELPD) 来评估预测性能。作者比较了两种方向性的规范（主 $\to$ 客 与 客 $\to$ 主）以及一个独立的泊松基准模型。

核心贡献

1. 灵活的依赖结构： 本文引入了一个 BCP 回归框架，该框架能够显式地容纳足球比赛中进球间的负相关性，克服了标准双变量泊松模型中非负相关的约束。
2. 不对称的协变量效应： 模型允许分别估计上座率和犯规如何影响主队与客队的得分率，同时对两者之间的依赖关系进行建模。
3. 易于处理的参数化： 与其他近期提出的条件泊松规范（如 Petretta 等，2025）不同，本方法利用了一种边缘矩和相关性指标具有解析定义且具有闭式解的参数化方式。
4. 实证应用： 该框架应用于包含 1,140 场英超联赛 (EPL) 比赛的数据集，涵盖三个不同时期：疫情前 (2018–19)、限制上座率时期 (2020–21) 以及疫情后 (2023–24)。

结果

• 依赖性： 在首选的“主 $\to$ 客”规范中，依赖参数 $\phi$ 的后验估计值为 $-0.107$(95$[-0.147, -0.066]$)。这表明存在显著的负相关性，意味着主队进球数的增加与预期客队进球数的减少相关。
• 模型性能： 在联合预测准确性 (ELPD-LOO) 方面，两种 BCP 规范（主 $\to$ 客 和 客 $\to$ 主）的表现均优于独立的泊松模型。然而，“主 $\to$ 客”规范展示了更优的条件预测准确性，从而证明了将其作为主要模型的合理性。
• 协变量效应：
  • 上座率： 球场上座率与主队得分之间存在正向且显著的关联（后验均值 $\approx 0.024$）。相反，上座率与客队得分之间的关联中心位于零，且置信区间包含零。这证实了观众影响的不对称性。
  • 犯规： 犯规的影响较不确定。虽然客队犯规与主队进球呈现微弱的正相关，但两个犯规系数的 95% 置信区间均包含零，表明在该分析水平下没有强有力的证据表明存在决定性的犯规效应。
• 后验预测检查： BCP 模型成功重现了观测到的进球数与主队输球比例之间的负相关性，而独立的泊松模型则未能捕捉到这种进球间的相关性。

意义与主张
本文声称，BCP 回归通过捕捉足球比赛中内在的负依赖性（例如领先保护），提供了更真实的比赛结果联合描述。研究结果强调，观众的存在主要提升了主队得分，而对客队得分没有相应影响，这强化了主场优势的概念。作者强调，虽然该模型改进了传统的独立性假设并捕捉了结构性依赖，但估计的上座率效应应被视为一种调整后的关联而非确定的因果效应，考虑到所选赛季中疫情因素和球队构成带来的混杂因素。研究结论认为，BCP 框架为分析足球分析中的进球依赖性和协变量影响提供了一个稳健且具解释性的工具。