A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

技術的要約：イングランド・プレミアリーグにおける得点依存性のためのベイズ二変量条件付きポアソン回帰

問題提起
サッカーの試合結果は、ホームチームによる得点とアウェイチームによる得点という、非負の整数カウントのペアによって特徴付けられる。Maher (1982) による先駆的な研究や、その後の Dixon and Coles (1997) および Karlis and Ntzoufras (2003) による拡張といった伝統的なスコアリングモデルは、ホームアドバンテージやチームの強さの重要性を確立してきたが、これらは多くの場合、ホームとアウェイの得点数が独立であるか、あるいは標準的な二変量ポアソンモデルの場合、非負の相関に依存関係を限定している。この制約は重大な限界となる。なぜなら、試合のダイナミクスにはしばしば負の依存関係（例えば、リードを守るために相手の得点機会を抑制する「バスを停める（守備に徹する）」行為など）が含まれるからである。さらに、既存のモデルは、スタジアムの観客数やファウルといった試合レベルの共変量が、二つのスコアリング・プロセスに対して持つ個別の、かつ非対称な影響を同時に捉えることに苦慮することが多い。

手法
これらの限界に対処するため、著者らはベイズ二変量条件付きポアソン（BCP）回帰モデルを提案している。この手法は、Berkhout and Plug (2004) によって導入され、Piancastelli et al. (2023a) によって再パラメータ化された手法に基づいている。

• モデル構造: 本モデルは、一方の周辺分布と他方の条件付き分布を指定することによって、ホームゴール ($Y_1$) とアウェイゴール ($Y_2$) の結合分布を定義する。具体的には、$Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ であり、$Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$ である。ここで、$\mu_2$ は $\lambda_1, \lambda_2,$ および依存パラメータ $\phi$ の関数である。この定式化により、$\phi$ の符号によって決定される正および負の両方の相関を許容することができる。
• 共変量の統合: モデルは、強度パラメータ $\lambda_{1,i}$ および $\lambda_{2,i}$ の対数線形仕様を通じて、試合固有の共変量を組み込んでいる。共変量は以下の通りである：
  • 対数変換されたスタジアム観客数 ($\log(\text{Attendance} + 1)$)：パンデミック期間中のような観客ゼロの試合を扱うため。
  • ホームおよびアウェイチームによるファウル。
  • ホームおよびアウェイの得点に対して個別の回帰係数を推定することで、これらの共変量の非対称な影響を可能にしている。
• 推論フレームワーク: 本研究では、完全なベイズ推論フレームワークを採用している。
  • 事前分布: 経験的ベイズ法を用い、回帰係数および依存パラメータの事前分布は、頻度論的な最大尤度推定値（MLE）から導出された標準偏差を用いて、ゼロを中心とするように設定されている。
  • 計算: 事後分布の近似には、Stan に実装された Hamiltonian Monte Carlo (HMC) サンプリングを用いている。4つのチェーンをそれぞれ2,000回のイテレーションで実行した。
  • モデルの検証: モデルの適合度は、観測された統計量（平均、分散、相関、および試合結果）を事後分布から生成された複製データセットと比較する事後予測チェック (PPC) を通じて評価される。
  • モデル選択: 予測性能は、Leave-One-Out Cross-Validation (LOO-CV) および Expected Log-Predictive Density (ELPD) を用いて評価される。著者らは、二つの方向性の仕様（ホーム $\to$ アウェイ vs. アウェイ $\to$ ホーム）と、独立なポアソン・ベースラインを比較している。

主な貢献

1. 柔軟な依存構造: 本論文は、標準的な二変量ポアソンモデルの非負相関の制約を克服し、ホームとアウェイの得点間の負の相関を明示的に許容するBCP回帰フレームワークを導入している。
2. 非対称な共変量効果: 本モデルは、観客数やファウルがホーム対アウェイの得点率にどのように影響するかを、二つの間の依存関係を同時にモデリングしながら、別々に推定することを可能にしている。
3. 扱いやすいパラメータ化: 他の最近の条件付きポアソン仕様（例：Petretta et al., 2025）とは異なり、本アプローチは、周辺モーメントと相関指標が解析的に明確に定義され、閉じた形式で利用可能なパラメータ化を利用している。
4. 実証的適用: このフレームメントは、3つの異なる期間（パンデミック前（2018–19）、観客制限下（2020–21）、ポストパンデミック（2023–24））の1,140試合のイングランド・プレミアリーグ（EPL）のデータセットに適用されている。

結果

• 依存性: 好ましい「ホーム $\to$ アウェイ」の仕様における依存パラメータ $\phi$ の事後推定値は $-0.107$（95$[-0.147, -0.066]$) であった。これは、統計的に有意な負の相関を示しており、ホームの得点の増加がアウェイゴールの期待数の減少に関連していることを示唆している。
• モデルの性能: 両方のBCP仕様（ホーム $\to$ アウェイおよびアウェイ $\to$ ホーム）は、結合予測精度（ELPD-LOO）において独立なポアソンモデルを上回った。しかし、「ホーム $\to$ アウェイ」の仕様がより優れた条件付き予測精度を示し、これを主要モデルとして採用する根拠となった。
• 共変量効果:
  • 観客数: スタジアム観客数とホームチームの得点との間には、正の有意な関連がある（事後平均 $\approx 0.024$）。逆に、アウェイチームの得点と観客数の関連はゼロを中心としており、信頼区間にゼロを含んでいる。これは、群衆の影響の非対称性を裏付けている。
  • ファウル: ファウルの影響は、それほど決定的なものではなかった。アウェイのファウルはホームの得点に対して弱い正の関連を示したが、両方のファウル係数の95% 信頼区間にゼロが含まれていたため、このレベルの分析において決定的なファウル効果を示す強い証拠はない。
• 事後予測チェック: BCPモデルは、得点とホーム敗戦率の間の観測された負の相関をうまく再現したが、独立なポアソンモデルは得点の相関を捉えることに失敗した。

意義と主張
本論文は、BCP回帰が、戦術的な相互作用（例：リードの保護）に内在する負の依存関係を捉えることで、サッカーの試合結果のより現実的な結合記述を提供すると主張している。結果は、観客の存在がアウェイチームの得点には影響を与えず、主にホームチームの得点を押し上げることを強調しており、ホームアドバンテージの概念を補強している。著者らは、推定された観客数の効果については、選択されたシーズンにおけるパンデミック条件やチーム構成による交絡因子を考慮すると、決定的な因果効果ではなく、調整された関連性と解釈すべきであると強調している。結論として、BCPフレームワークは、サッカー分析における得点依存性と共変量の影響を分析するための、堅牢で解釈可能なツールを提供すると述べている。