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A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

Este artigo introduz um modelo de regressão de Poisson Condicional bivariada Bayesiana para analisar dados da Premier League inglesa, revelando uma correlação negativa entre as contagens de gols de mandante e visitante e demonstrando como a frequência de público e as faltas influenciam assimetricamente a dinâmica de pontuação.

Autores originais: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Publicado 2026-08-10

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CC BY 4.0

Autores originais: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você está assistindo a uma partida de futebol. O placar não é apenas um gerador de números aleatórios cuspindo gols; é a história de dois times dançando, pressionando e reagindo uns aos outros. Se o time da casa marca um gol, o time visitante pode entrar em pânico e atacar descontroladamente, ou pode recuar e tentar proteger sua vantagem. Isso significa que o número de gols que um time marca provavelmente está conectado a quantos gols o outro time marcará. Por décadas, estatísticos tentaram escrever equações matemáticas para prever esses placares. A antiga forma de pensar era como rolar dois dados separados: um para o time da casa, outro para o time visitante, assumindo que o que acontece com um não tem absolutamente nada a ver com o outro. Mas qualquer pessoa que já tenha assistido a um jogo sabe que isso não é verdade. Os times estão na mesma sala, reagindo à mesma torcida, ao mesmo árbitro e aos movimentos um do outro.

Este artigo mergulha nessa conexão confusa e emocionante. Os autores queriam construir um "cristal mágico" melhor para os placares de futebol que não apenas adivasse os números, mas entendesse a relação entre eles. Eles usaram um tipo novo e sofisticado de matemática chamado "regressão de Poisson bivariada condicional bayesiana". Não deixe essas palavras complicadas te assustarem. Pense no "Poisson" como uma forma de contar coisas que acontecem aleatoriamente ao longo do tempo, como os gols. "Bivariada" significa apenas que eles estão olhando para duas coisas ao mesmo tempo (gols do time da casa e gols do time visitante). "Condicional" é a parte mágica: significa que eles estão perguntando: "Se o time da casa marcar tantos gols, o que isso nos diz sobre quantos o time visitante marcará?". Finalmente, "Bayesiana" é uma forma de usar a matemática para atualizar nossas suposições à medida que aprendemos mais, nos dando uma imagem clara de quão seguros podemos estar de nossas previsões. Por que isso importa? Porque entender como os times interagem nos ajuda a ver as regras ocultas do jogo, como como uma torcida vibrante pode fazer o time da casa jogar melhor, ou como uma vantagem altera toda a estratégia do jogo.

O Novo Plano de Jogo: Uma Via de Mão Dupla

Os pesquisadores deram um novo olhar sobre 1.140 partidas da Premier League inglesa (EPL). Eles escolheram três temporadas específicas para obter uma mistura perfeita de situações: a temporada 2018–19 (torcidas normais), a temporada 2020–21 (quase sem torcida devido à pandemia) e a temporada 2023–24 (torcida de volta novamente). Isso lhes deu um experimento natural para ver como a presença de fãs muda o jogo. Eles também rastrearam quantas faltas cada equipe cometeu, tratando as faltas como uma medida de quanto os times estavam tentando impedir um ao outro.

Em vez do antigo método dos "dois dados separados", os autores construíram um novo modelo onde os gols estão interligados. Eles testaram duas direções para esse elo: O placar do time da casa influencia o placar do time visitante (Casa → Visitante), ou o placar do time visitante influencia o do time da casa (Visitante → Casa)?

A Grande Descoberta: O Efeito "Estacionar o Ônibus"

A descoberta mais surpreendente é que a relação entre os placares dos dois times é, na verdade, negativa. No mundo da matemática do futebol, isso é algo importante. A maioria dos modelos antigos assumia que, se um time marcasse muito, o outro provavelmente também marcaria (correlação positiva), ou que eles não tinham relação alguma. Mas este artigo descobriu que, quando o time da casa marca, o time visitante tende a marcar menos gols.

Os autores sugerem que isso é como um jogo tático de "estacionar o ônibus". Quando o time da casa marca um gol, o time visitante pode ficar frustrado ou assustado, ou o time da casa pode decidir recuar e defender sua vantagem de forma tão rígida que o time visitante não consegue sequer finalizar ao gol. A matemática mostrou um sinal claro: para cada gol extra que o time da casa marca, o número esperado de gols para o time visitante cai cerca de 10%. Esse elo negativo foi forte o suficiente para que os autores tivessem confiança de que é um padrão real, e não apenas uma coincidência.

O Apoio Unilateral da Torcida

O estudo também observou como a torcida afeta o jogo. Eles encontraram uma assimetria muito clara na "vantagem de casa". Quando o estádio estava cheio (cerca de 38.000 pessoas), o time da casa marcava mais gols. A matemática mostrou que um aumento de 1% na presença de público estava ligado a um aumento ínfimo, mas real, nos gols do time da casa.

No entanto, a torcida não pareceu ajudar o time visitante de forma alguma. Mesmo quando o estádio estava lotado, o número de gols que o time visitante marcava não aumentava. Era como se a torcida fosse um reforço especial apenas para o time que joga em seu próprio território. Quando os fãs estavam ausentes (durante a temporada 2020–21, com apenas 462 pessoas em média), o placar do time da casa caiu, e o placar do time visitante aumentou ligeiramente, tornando o jogo mais equilibrado. Isso confirma que a torcida é uma arma secreta para o time da casa, mas não dá um impulso ao time visitante.

E Quanto às Faltas?

Os pesquisadores também verificaram se o número de faltas cometidas por um time ajudava o outro a marcar gols. Os resultados aqui foram um pouco imprecisos. Os dados sugeriram que, quando o time visitante cometia muitas faltas, o time da casa poderia marcar alguns gols a mais, mas as evidências não foram fortes o suficiente para ter 100% de certeza. É possível que as faltas sejam apenas um sinal de um jogo bagunçado, mas o artigo não pôde afirmar com certeza que a falta causa diretamente mais gols para o oponente.

O Veredito

Os autores compararam seu novo modelo "interligado" contra o antigo modelo de "dados separados". O novo modelo foi um preditor melhor. Ele não apenas acertou as médias de gols, mas também acertou a relação entre os times. O modelo antigo falhou em capturar o fato de que, quando um time marca, o outro frequentemente marca menos. Ao usar este novo método, os autores criaram uma imagem mais realista de como as partidas de futebol realmente acontecem, mostrando que o jogo é uma conversa dinâmica entre dois times, e não dois monólogos separados.

Em resumo, o artigo prova que os gols de futebol estão conectados, que a torcida local é uma força poderosa apenas para o time da casa e que, quando o time da casa marca, o time visitante muitas vezes encontra mais dificuldade para marcar de volta. É um lembrete de que, no futebol, cada gol muda a história para ambos os lados.

Resumo Técnico: Uma Regressão de Poisson Condicional Bivariada Bayesiana para a Dependência de Gols na Premier League Inglesa

Definição do Problema
Os resultados das partidas de futebol são caracterizados por um par de contagens de números inteiros não negativos: gols marcados pelo time da casa e gols marcados pelo time visitante. Embora os modelos tradicionais de pontuação, como o trabalho seminal de Maher (1982) e extensões subsequentes por Dixon e Coles (1997) e Karlis e Ntzoufras (2003), tenham estabelecido a importância da vantagem de jogar em casa e das forças das equipes, eles frequentemente dependem da suposição de que as contagens de gols do time da casa e do visitante são independentes ou, no caso de modelos Poisson bivariados padrão, restringem a dependência a uma correlação não negativa. Essa restrição é uma limitação significativa, pois a dinâmica das partidas muitas vezes envolve dependência negativa; por exemplo, um time protegendo uma vantagem pode suprimir as oportunidades de pontuação do adversário ("estacionar o ônibus"). Além disso, os modelos existentes frequentemente têm dificuldade em capturar simultaneamente a estrutura de dependência conjunta e os efeitos distintos e assimétricos de covariáveis ao nível da partida, como a frequência nos estádios e as faltas, sobre os dois processos de pontuação.

Metodologia
Para abordar essas limitações, os autores propõem um modelo de regressão de Poisson Condicional Bivariada Bayesiana (BCP). A metodologia é construída sobre a parametrização introduzida por Berkhout e Plug (2004) e reparametrizada por Piancastelli et al. (2023a).

Estrutura do Modelo: O modelo define a distribuição conjunta de gols do time da casa ( $Y_1$ ) e do time visitante ( $Y_2$ ) especificando uma marginalmente e a outra condicionalmente. Especificamente, $Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ e $Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$ , onde $\mu_2$ é uma função de $\lambda_1, \lambda_2$ e do parâmetro de dependência $\phi$ . Esta formulação permite tanto correlações positivas quanto negativas, determinadas pelo sinal de $\phi$ .
Integração de Covariáveis: O modelo incorpora covariáveis específicas da partida via especificações log-lineares para os parâmetros de intensidade $\lambda_{1,i}$ $λ_{1, i}$ e $\lambda_{2,i}$ $λ_{2, i}$ . As covariáveis incluem:
- Presença de público transformada em log ( $\log(\text{Attendance} + 1)$ ) para lidar com partidas de frequência zero (ex: durante a pandemia).
- Faltas cometidas pelo time da casa e pelo time visitante.
- Coeficientes de regressão separados são estimados para os gols do time da casa e do visitante, permitindo os efeitos assimétricos das covariáveis de partida.
Estrutura de Inferência: O estudo utiliza uma estrutura de inferência Bayesiana completa.
- Priors: Uma abordagem de Bayes empírico é utilizada, onde as distribuições a priori para os coeficientes de regressão e o parâmetro de dependência são centradas em zero com desvios padrão derivados de estimativas de máxima verossimilhança frequetista (MLEs).
- Computação: As distribuições posteriores são aproximadas usando amostragem de Hamiltonian Monte Carlo (HMC) implementada no Stan. Foram executadas quatro cadeias com 2.000 iterações cada.
- Validação do Modelo: O ajuste do modelo é avaliado via Verificações Preditivas Posteriores (PPCs), comparando estatísticas resumidas observadas (médias, variâncias, correlações e resultados de partidas) contra conjuntos de dados replicados gerados a partir da posterior.
- Seleção de Modelo: O desempenho preditivo é avaliado usando Validação Cruzada Leave-One-Out (LOO-CV) e a Densidade Log-Preditiva Esperada (ELPD). Os autores comparam duas especificações direcionais (Casa $\to$ Visitante vs. Visitante $\to$ Casa) e uma linha de base de Poisson independente.

Principais Contribuições

Estrutura de Dependência Flexível: O artigo introduz um framework de regressão BCP que acomoda explicitamente a correlação negativa entre os gols do time da casa e do visitante, superando a restrição de correlação não negativa dos modelos Poisson bivariais padrão.
Efeitos Assimétricos de Covariáveis: O modelo permite a estimativa separada de como a presença de público e as faltas influenciam as taxas de pontuação do time da casa versus o time visitante, enquanto modela simultaneamente a dependência entre os dois.
Parametrização Tratável: Ao contrário de outras especificações recentes de Poisson condicional (ex: Petretta et al., 2025), esta abordagem utiliza uma parametrização onde os momentos marginais e as métricas de correlação são analiticamente bem definidos e disponíveis em forma fechada.
Aplicação Empírica: O framework é aplicado a um conjunto de dados de 1.140 partidas da Premier League inglesa (EPL) através de três períodos distintos: pré-pandemia (2018–19), frequência de público restrita (2020–21) e pós-pandemia (2023–24).

Resultados

Dependência: A estimativa posterior para o parâmetro de dependência $\phi$ na especificação preferencial Casa $\to$ Visitante é $-0,107$ (IC de 95%: $[-0,147, -0,066]$ ). Isso indica uma correlação negativa estatisticamente significativa, sugerindo que um aumento nos gols do time da casa está associado a uma redução no número esperado de gols do time visitante.
Desempenho do Modelo: Ambas as especificações BCP (Casa $\to$ Visitante e Visitante $\to$ Casa) superaram o modelo Poisson independente em termos de precisão preditiva conjunta (ELPD-LOO). No entanto, a especificação Casa $\to$ Visitante demonstrou precisão preditiva condicional superior, justificando sua seleção como o modelo principal.
Efeitos de Covariáveis:
- Presença de Público: Existe uma associação positiva e significativa entre a presença de público e a pontuação do time da casa (média posterior $\approx 0,024$ ). Por outro outro lado, a associação entre o público e a pontuação do time visitante está centrada em zero com um intervalo de credibilidade que inclui zero. Isso confirma a assimetria da influência da torcida.
- Faltas: Os efeitos das faltas foram menos decisivos. Embora as faltas do visitante tenham mostrado uma fraca associação positiva com os gols do time da casa, os intervalos de credibilidade de 95% para ambos os coeficientes de faltas incluíram zero, indicando que não há evidência forte de um efeito decisivo de faltas neste nível de análise.
Verificações Preditivas Posteriores: O modelo BCP reproduziu com sucesso a correlação negativa observada entre os gols e a proporção de derrotas do time da casa, enquanto o modelo Poisson independente falhou em capturar a correlação de gols.

Significância e Alegações
O artigo alega que a regressão BCP fornece uma descrição conjunta mais realista dos resultados das partidas de futebol ao capturar a dependência negativa inerente às interações táticas (ex: proteção de vantagem). Os resultados destacam que a presença da torcida impulsiona primariamente a pontuação do time da casa sem um efeito correspondente na pontuação do time visitante, reforçando o conceito de vantagem de jogar em casa. Os autores enfatizam que, embora o modelo melhore em relação às suposições tradicionais de independência e capture a dependência estrutural, o efeito de presença de público estimado deve ser interpretado como uma associação ajustada, e não como um efeito causal definitivo, dadas as variáveis de confusão das condições pandêmicas e da composição das equipes ao longo das temporadas selecionadas. O estudo conclui que o framework BCP oferece uma ferramenta robusta e interpretável para analisar a dependência de gols e os impactos de covariáveis na análise de futebol.