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A Bayesian bivariate conditional Poisson regression for goal dependence in the English Premier League

Questo articolo introduce un modello di regressione di Poisson condizionale bivariata bayesiana per analizzare i dati della English Premier League, rivelando una correlazione negativa tra il numero di gol fatti in casa e in trasferta e dimostrando come l'affluenza alle partite e i falli influenzino in modo asimmetrico le dinamiche di punteggio.

Autori originali: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

Pubblicato 2026-08-10

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CC BY 4.0

Autori originali: Marcus Nolan, Wagner Barreto-Souza, Luiza S. C. Piancastelli, Raanju R. Sundararajan

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Immaginate di guardare una partita di calcio. Il punteggio non è solo un generatore di numeri casuali che sputa fuori gol; è la storia di due squadre che danzano, spingono e reagiscono l'una all'altra. Se la squadra di casa segna, la squadra ospite potrebbe farsi prendere dal panico e attaccare selvaggiamente, oppure potrebbe ritirarsi per cercare di proteggere il proprio vantaggio. Ciò significa che il numero di gol segnati da una squadra è probabilmente connesso a quanti ne segnerà l'altra. Per decenni, gli statistici hanno cercato di scrivere equazioni matematiche per prevedere questi punteggi. Il vecchio modo di pensare era come lanciare due dadi separati: uno per la squadra di casa, uno per la squadra ospite, assumendo che ciò che accade a una non abbia assolutamente nulla a che fare con l'altra. Ma chiunque abbia guardato una partita sa che non è così. Le squadre sono nella stessa stanza, reagiscono allo stesso pubblico, allo stesso arbitro e alle mosse l'una dell'altra.

Questo articolo si addentra in questa connessione disordinata ed eccitante. Gli autori volevano costruire una migliore "palla di cristallo" per i punteggi di calcio che non si limiti a indovinare i numeri, ma che comprenda la relazione tra di essi. Hanno utilizzato un nuovo tipo di matematica avanzata chiamata "regressione di Poisson bivariata condizionale bayesiana". Non lasciatevi spaventare dalle parole difficili. Pensate alla "Poisson" come a un modo per contare cose che accadono casualmente nel tempo, come i gol. "Bivariata" significa semplicemente che stanno guardando due cose contemporaneamente (i gol della squadra di casa e quelli della squadra ospite). "Condizionale" è la parte magica: significa che si chiedono: "Se la squadra di casa segna questi gol, cosa ci dice questo su quanti gol segnerà la squadra ospite?". Infine, "Bayesiana" è un modo per usare la matematica per aggiornare le nostre ipotesi man mano che impariamo di più, dandoci un quadro chiaro di quanto possiamo essere sicuri delle nostre previsioni. Perché questo è importante? Perché capire come le squadre interagiscono ci aiuta a vedere le regole nascoste del gioco, come il fatto che un pubblico ruggente possa far giocare meglio la squadra di casa, o come un vantaggio cambi l'intera strategia di gioco.

Il Nuovo Piano di Gioco: Una Strada a Doppio Senso

I ricercatori hanno esaminato con uno sguardo fresco su 1.140 partite della English Premier League (EPL). Hanno scelto tre stagioni specifiche per ottenere un mix perfetto di situazioni: la stagione 2018–19 (pubblico normale), la stagione 2020–21 (quasi nessun pubblico a causa della pandemia) e la stagione 2023–24 (il ritorno del pubblico). Questo ha fornito loro un esperimento naturale per vedere come la presenza dei tifosi cambi la partita. Hanno anche tracciato quanti falli commetteva ogni squadra, trattando i falli come una misura di quanto duramente le squadre stessero cercando di fermarsi a vicenda.

Inveia del vecchio metodo dei "due dadi separati", gli autori hanno costruito un nuovo modello in cui i gol sono collegati. Hanno testato due direzioni per questo legame: la squadra di casa influenza il punteggio della squadra ospite (Casa → Ospite), o la squadra ospite influenza il punteggio della squadra di casa (Ospite → Casa)?

La Grande Scoperta: L'Effetto "Parcheggia l'Autobus"

La scoperta più sorprendente è che la relazione tra i punteggi delle due squadre è in realtà negativa. Nel mondo della matematica del calcio, questo è un grande evento. La maggior parte dei vecchi modelli assumeva che se una squadra segnava molto, l'altra probabilmente avrebbe fatto lo stesso (correlazione positiva), o che fossero totalmente slegate. Ma questo articolo ha scoperto che quando la squadra di casa segna, la squadra ospite tende a segnare meno gol.

Gli autori suggeriscono che questo sia simile a un gioco tattico di "parcheggiare l'autobus". Quando la squadra di casa segna un gol, la squadra ospite potrebbe sentirsi frustrata o spaventata, oppure la squadra di casa potrebbe decidere di ritirarsi per difendere il proprio vantaggio in modo così stretto che la squadra ospite non riesca nemmeno a tirare in porta. La matematica ha mostato un segnale chiaro: per ogni gol extra segnato dalla squadra di casa, il numero atteso di gol per la squadra ospite scende di circa il 10%. Questo legame negativo era abbastanza forte da rendere gli autori sicuri che si tratti di un vero schema, non solo di una coincidenza.

Il Tifo Unilaterale del Pubblico

Lo studio ha anche esaminato come il pubblico influenzi la partita. Hanno trovato un molto chiaro "vantaggio casalingo" asimmetrico. Quando lo stadio era pieno (circa 38.000 persone), la squadra di casa segnava più gol. La matematica ha mostrato che un aumento dell'1% nell'affluenza era collegato a un aumento minimo ma reale dei gol della squadra di casa.

Tuttavia, il pubblico non sembrava aiutare affatto la squadra ospite. Anche quando lo stadio era gremito, il numero di gol segnati dalla squadra ospite non aumentava. Era come se il pubblico fosse un potenziamento speciale solo per la squadra che gioca in casa. Quando i tifosi non c'erano (durante la stagione 2020–21 con una media di soli 462 spettatori), i gol della squadra di casa diminuivano e i gol della squadra ospite aumentavano leggermente, rendendo la partita più equilibrata. Questo conferma che il pubblico è un'arma segreta per la squadra di casa, ma non dà alcun impulso alla squadra ospite.

E i Falli?

I ricercatori hanno anche controllato se il numero di falli commessi da una squadra aiutasse l'altra a segnare. I risultati qui sono stati un po' incerti. I dati suggerivano che quando la squadra ospite commetteva molti falli, la squadra di casa poteva segnare qualche gol in più, ma le prove non erano abbastanza forti da essere sicuri al 100%. È possibile che i falli siano solo il segno di una partita disordinata, ma l'articolo non ha potuto affermare con certezza che il fallo causi direttamente più gol per l'avversario.

Il Verdetto

Gli autori hanno confrontato il loro nuovo modello "collegato" con il vecchio modello dei "due dadi separati". Il nuovo modello è stato un predittore migliore. Non ha solo centrato la media dei punteggi, ma ha anche centrato la relazione tra le due squadre. Il vecchio modello non riusciva a catturare il fatto che quando una squadra segna, l'altra spesso segna meno. Usando questo nuovo metodo, gli autori hanno creato un quadro più realistico di come le partite di calcio si svolgano realmente, mostrando che il gioco è una conversazione dinamica tra due squadre, non due monologhi separati.

In breve, l'articolo dimostra che i gol nel calcio sono connessi, che il pubblico locale è una forza potente solo per la squadra di casa e che quando la squadra di casa segna, la squadra ospite spesso trova più difficoltà a segnare in risposta. È un promemoria del fatto che, nel calcio, ogni gol cambia la storia per entrambe le parti.

Sintesi Tecnica: Un modello di regressione di Poisson condizionale bivariata bayesiana per la dipendenza dei gol nella Premier League inglese

Problematica
Gli esiti delle partite di calcio sono caratterizzati da una coppia di conteggi di interi non negativi: i gol segnati dalla squadra di casa e i gol segnati dalla squadra in trasferta. Sebbene i modelli tradizionali di punteggio, come il lavoro seminale di Maher (1982) e le successive estensioni di Dixon e Coles (1997) e Karlis e Ntzoufras (2003), abbiano stabilito l'importanza del vantaggio in casa e della forza delle squadre, essi spesso si basano sull'assunto che i conteggi dei gol in casa e in trasferta siano indipendenti o, nel caso dei modelli Poisson bivariati standard, limitano la dipendenza a una correlazione non negativa. Questa restrizione rappresenta un limite significativo, poiché le dinamiche di gioco spesso implicano una dipendenza negativa; ad esempio, una squadra che protegge un vantaggio può sopprimere le opportunità di rete dell'avversario ("parcheggiare l'autobus"). Inoltre, i modelli esistenti spesso faticano a catturare simultaneamente la struttura di dipendenza congiunta e gli effetti distinti e asimmetrici delle covariate a livello di partita, come l'affluenza allo stadio e i falli, sui due processi di realizzazione.

Metodologia
Per affrontare queste limitazioni, gli autori propongono un modello di regressione di Poisson condizionale bivariata bayesiana (BCP). La metodologia si basa sulla parametrizzazione introdotta da Berkhout e Plug (2004) e riparametrizzata da Piancastelli et al. (2023a).

Struttura del modello: Il modello definisce la distribuzione congiunta dei gol in casa ( $Y_1$ ) e dei gol in trasferta ( $Y_2$ ) specificando una marginalmente e l'altra condizionatamente. Nello specifico, $Y_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ e $Y_2 | Y_1 = y_1 \sim \text{Poisson}(\mu_2 e^{\phi y_1})$ , dove $\mu_2$ è una funzione di $\lambda_1, \lambda_2$ e del parametro di dipendenza $\phi$ . Questa formulazione permette sia correlazioni positive che negative, determinate dal segno di $\phi$ .
Integrazione delle covariate: Il modello incorpora le covariate specifiche della partita tramite specifiche log-lineari per i parametri di intensità $\lambda_{1,i}$ $λ_{1, i}$ e $\lambda_{2,i}$ $λ_{2, i}$ . Le covariate includono:
- L'affluenza allo stadio trasformata in logaritmo ( $\log(\text{Attendance} + 1)$ ) per gestire le partite a zero spettatori (es. durante la pandemia).
- I falli commessi dalle squadre di casa e in trasferta.
- Vengono stimati coefficienti di regressione separati per i gol in casa e in trasferta, consentendo effetti asimmetrici delle covariate su tali processi.
Framework di inferenza: Lo studio impiega un framework di inferenza bayesiana completa.
- Prior: Viene utilizzato un approccio empirico Bayesiano, in cui le distribuzioni a priori per i coefficienti di regressione e il parametro di dipendenza sono centrate sullo zero con deviazioni standard derivate dalle stime di massima verosimiglianza (MLE) frequentiste.
- Computazione: Le distribuzioni a posteriori sono approssimate utilizzando il campionamento Hamiltonian Monte Carlo (HMC) implementato in Stan. Sono state eseguite quattro catene da 2.000 iterazioni ciascuna.
- Validazione del modello: L'adattamento del modello è valutato tramite Controlli Predittivi Posteriori (PPC), confrontando le statistiche riassuntive osservate (medie, varianze, correlazioni e risultati delle partite) con i dataset replicati generati dalla distribuzione a posteriori.
- Selezione del modello: La performance predittiva è valutata tramite la Validazione Incrociata Leave-One-Out (LOO-CV) e la Densità Predittiva Logaritmica Attesa (ELPD). Gli autori confrontano due specifiche direzionali (Casa $\to$ Trasferta vs. Trasferta $\to$ Casa) e un baseline di Poisson indipendente.

Contributi Chiave

Struttura di dipendenza flessibile: Il documento introduce un framework di regressione BCP che accoglie esplicitamente la correlazione negativa tra i gol in casa e in trasferta, superando il vincolo di correlazione non negativa dei modelli Poisson bivariati standard.
Effetti delle covariate asimmetrici: Il modello consente la stima separata di come l'affluenza e i falli influenzino i tassi di realizzazione sia della squadra di casa che di quella in trasferta, modellando simultaneamente la dipendenza tra le due.
Parametrizzazione trattabile: A differenza di altre recenti specifiche Poisson condizionali (es. Petretta et al., 2025), questo approccio utilizza una parametrizzazione in cui i momenti marginali e le metriche di correlazione sono analiticamente ben definiti e disponibili in forma chiusa.
Applicazione empirica: Il framework è applicato a un dataset di 1.140 partite della Premier League inglese (EPL) attraverso tre periodi distinti: pre-pandemia (2018–19), affluenza ristretta (2020–21) e post-pandemia (2023–24).

Risultati

Dipendenza: La stima a posteriori del parametro di dipendenza $\phi$ nella specifica preferita Casa $\to$ Trasferta è $-0,107$ (95% CI: $[-0,147, -0,066]$ ). Ciò indica una correlazione negativa statisticamente significativa, suggerendo che un aumento dei gol in casa è associato a una riduzione del numero atteso di gol in trasferta.
Performance del modello: Entrambe le specifiche BCP (Casa $\to$ Trasferta e Trasferta $\to$ Casa) hanno superato il modello di Poisson indipendente in termini di accuratezza predittiva congiunta (ELPD-LOO). Tuttavia, la specifica Casa $\to$ Trasferta ha dimostrato una superiore accuratezza predittiva condizionale, giustificando la sua selezione come modello primario.
Effetti delle covariate:
- Affluenza: Esiste un'associazione positiva e significativa tra l'affluenza allo stadio e i gol della squadra di casa (media a posteriori $\approx 0,024$ ). Al contrario, l'associazione tra affluenza e gol in trasferta è centrata sullo zero con un intervallo di credibilità che include lo zero. Ciò conferma l'asimmetria dell'influenza del pubblico.
- Falli: Gli effetti dei falli sono stati meno decisivi. Sebbene i falli della squadra in trasferta mostrino un debole associazione positiva con i gol in casa, gli intervalli di credibilità al 95% per entrambi i coefficienti dei falli includevano lo zero, indicando l'assenza di prove forti di un effetto decisivo dei falli a questo livello di analisi.
Controlli Predittivi Posteriori: Il modello BCP ha riprodotto con successo la correlazione negativa osservata tra i gol e la proporzione di sconfitte in casa, mentre il modello Poisson indipendente non è riuscito a catturare la correlazione dei gol.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene che la regressione BCP fornisce una descrizione congiunta più realistica degli esiti delle partite di calcio, catturando la dipendenza negativa inerente alle interazioni tattiche (es. protezione del vantaggio). I risultati evidenziano come la presenza del pubblico favorisca principalmente la realizzazione della squadra di casa senza un corrispondente effetto sui gol in trasferta, rafforzando il concetto di vantaggio in casa. Gli autori sottolineano che, sebbene il modello migliori rispetto alle tradizionali assunzioni di indipendenza e catturi la dipendenza strutturale, l'effetto stimato dell'affluenza debba essere interpretato come un'associazione aggiustata piuttosto che come un effetto causale definitivo, date le variabili confondenti delle condizioni pandemiche e della composizione delle squadre nei periodi selezionati. Lo studio conclude che il framework BCP offre uno strumento robusto e interpretabile per l'analisi della dipendenza dei gol e degli impatti delle covariate nell'analisi del calcio.