निवेशक अक्सर ऐसे उपकरणों की तलाश में रहते हैं जो उनके लाभ को बढ़ा सकें, इस उम्मीद में कि वे एक मामूली बाजार वृद्धि को एक महत्वपूर्ण मुनाफे में बदल सकें। ऐसा ही एक उपकरण है लीवरेज्ड एक्सचेंज-ट्रेडेड फंड (ETF), जो एक वित्तीय उत्पाद है जिसे किसी अंतर्निहित संपत्ति, जैसे कि स्टॉक इंडेक्स या किसी एकल कंपनी के दैनिक रिटर्न का कई गुना देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यदि बाजार एक प्रतिशत ऊपर जाता है, तो दोगुने लीवरेज वाला फंड दो प्रतिशत ऊपर जाने का लक्ष्य रखता है। हालांकि, ये फंड एक सख्त दैनिक रीसेट (daily reset) पर काम करते हैं: हर रात, फंड मैनेजर पोर्टफोलियो को समायोजित करता है ताकि अगले दिन के लिए लीवरेज अनुपात अपने लक्ष्य पर वापस आ सके। यह तंत्र उन लोगों के लिए एक जटिल वास्तविकता बनाता है जो एक से अधिक दिनों के लिए इस फंड को रखते हैं। जबकि गणित एक एकल दिन के लिए पूरी तरह से काम करता है, लेकिन बाजार जिस पथ पर चलता है वह हफ्तों या वर्षों के दौरान अत्यंत महत्वपूर्ण हो जाता है। एक बाजार जो बहुत अधिक उतार-चढ़ाव करता है, भले ही वह वहीं समाप्त हो जहाँ से शुरू हुआ था, कंपाउंडिंग (चक्रवृद्धि) के गणित के कारण एक लीवरेज्ड फंड के मूल्य को कम कर देगा। यह घटना, जिसे अक्सर 'वोलेटिलिटी ड्रैग' (volatility drag) कहा जाता है, लंबे समय से रिटर्न को कम करने के लिए जानी जाती है, लेकिन यह केवल इस बात की आधी कहानी बताती है कि ये फंड वास्तव में समय के साथ कैसा प्रदर्शन करते हैं।

हार्वर्ड बिजनेस स्कूल के दो शोधकर्ताओं, क्रिस मरे और मार्को सैमोन ने इस बात पर एक नया दृष्टिकोण दिया है कि हमें इन उत्पादों की सफलता को कैसे मापना चाहिए। उनका तर्क है कि निवेशक और विश्लेषक वर्तमान में लीवरेज्ड फंडों का मूल्यांकन करने के लिए जिस मानक तरीके का उपयोग करते हैं, वे गहराई से त्रुटिपूर्ण हैं और अक्सर गलत निष्कर्षों की ओर ले जाते हैं। अपने विश्लेषण में, वे प्रदर्शित करते हैं कि प्रदर्शन को आंकने के लिए उपयोग किया जाने वाला सबसे सामान्य मीट्रिक—अंकगणितीय औसत रिटर्न (arithmetic average return)—एक नुकसान वाले निवेश को भी विजेता जैसा दिखा सकता है। वे दिखाते हैं कि यह विधि यह सुझाव दे सकती है कि एक फंड बढ़ रहा है जबकि वास्तव में वह सिकुड़ रहा है, और यह यहाँ तक संकेत दे सकता है कि अनंत लीवरेज (infinite leverage) का उपयोग करना सबसे अच्छी रणनीति है, एक ऐसी सिफारिश जो अनिवार्य रूप से पूर्ण वित्तीय बर्बादी की ओर ले जाएगी। इसके बजाय, शोधकर्ता प्रस्ताव देते हैं कि सफलता का एकमात्र वास्तविक माप यह है कि एक निवेशक का वास्तविक पैसा समय के साथ कितना बढ़ता है। वे एक अलग गणितीय दृष्टिकोण का समर्थन करते हैं, जो इस बात पर आधारित है कि धन कैसे कंपाउंड होता है, जो दीर्घकाल के लिए इन फंडों को रखने की वास्तविकता को सटीक रूप से दर्शाता है।

समस्या का मूल इस बात में निहित है कि हम औसत की गणना कैसे करते हैं। कल्पना करें कि एक संपत्ति की कीमत एक सौ डॉलर से शुरू होती है। पहले कालखंड (period) में, यह एक प्रतिशत बढ़कर एक सौ एक डॉलर हो जाती है। दूसरे कालखंड में, यह ठीक उतने ही प्रतिशत गिरती है जिससे वह ठीक एक सौ डॉलर पर वापस आ जाए। संपत्ति ने कुल मिलाकर शून्य प्रतिशत प्रगति की है। अब, दोगुने लीवरेज वाले फंड पर विचार करें। पहले कालखंड में, यह दो प्रतिशत बढ़कर एक सौ दो डॉलर हो जाती है। दूसरे कालखंड में, इसे शुरुआती बिंदु पर लौटने के लिए थोड़े बड़े प्रतिशत गिरना होगा, लेकिन क्योंकि यह लीवरेज वाला है, गणित इसके विरुद्ध काम करता है। फंड सौ डॉलर से थोड़ा कम पर समाप्त होता है। संपत्ति अपरिवर्तित है, लेकिन लीवरेज वाले निवेशक ने पैसा खो दिया है। इसके बावजूद, यदि आप लीवरेज्ड फंड के दैनिक रिटर्न का औसत निकालते हैं, तो आपको एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है। यदि आप फिर यह मान लें कि फंड ने हर दिन वही सकारात्मक औसत कमाया था, तो आप एक उच्च प्रारंभिक बिंदु से अधिक अंतिम मूल्य की गणना करेंगे। यह एक गलत तस्वीर बनाता है जहाँ गणित कहता है कि निवेशक ने धन अर्जित किया, जबकि बैंक खाता घाटे को दर्शाता है। यह विसंगति एक मामूली त्रुटि नहीं है; यह दीर्घकालिक विकास की भविष्यवाणी करने के लिए सरल औसत का उपयोग करने में एक मौलिक दोष है।

शोधकर्ताओं ने पाया कि औसत की यह भ्रामक प्रकृति केवल एक सैद्धांतिक जिज्ञासा नहीं बल्कि एक व्यावहारिक खतरा है। उन्होंने कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग करके ऐतिहासिक बाजार डेटा के आधार पर यह जांचा कि ये फंड लंबे समय तक, जैसे कि बीस वर्षों तक, कैसे व्यवहार करते हैं। एक अत्यधिक उतार-चढ़ाव वाले स्टॉक से जुड़े एक सिमुलेशन में, उन्होंने तीन गुना लीवरेज वाले फंड में दस हजार डॉलर के काल्पनिक निवेश का परीक्षण किया। मानक गणना, जो औसत दैनिक रिटर्न पर निर्भर करती है, यह सुझाव देती है कि निवेश एक खगोलीय राशि तक बढ़ जाएगा, जो पूरी दुनिया की कुल संपत्ति से भी कहीं अधिक है। हालांकि, यह परिणाम संभावित परिणामों के एक बहुत छोटे अंश से प्रेरित था जहाँ स्टॉक की कीमत लगभग असंभव तरीके से आसमान छू गई थी। वास्तव में, बाजार द्वारा लिए जा सकने वाले अधिकांश पथों के लिए, निवेश पूरी तरह से खत्म हो जाएगा, जिससे निवेशक के पास लगभग कुछ भी नहीं बचेगा। मानक मीट्रिक इन चरम, आर्थिक रूप से असंभव परिदृश्यों द्वारा ऊपर खींचा जा रहा था, जिससे यह तथ्य छिप गया कि एक विशिष्ट निवेशक सब कुछ खो देगा। यह सुझाव देता है कि 'एक्सपेक्टेड टर्मिनल वेल्थ' (expected terminal wealth) पर भरोसा करना, जो वित्त में एक सामान्य माप है, एक निवेशक को क्या रखने की उम्मीद है, इसका खतरनाक रूप से आशावादी दृष्टिकोण देता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि रिटर्न को मापने की आवृत्ति (frequency) उत्तर बदल देती है, भले ही वास्तविक बाजार पथ समान रहे। यदि कोई विश्लेषक दैनिक डेटा देखकर फंड के अपेक्षित प्रदर्शन की गणना करता है, तो उसे एक संख्या मिल सकती है। यदि वह उसी डेटा को देखता है लेकिन उसे साप्ताहिक या मासिक ब्लॉकों में समूहित करता है, तो उसे पूरी तरह से अलग संख्या मिल सकती है, जो कभी-कभी फंडों को विपरीत क्रम में भी रख सकती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि रिटर्न को समूहित करने का तरीका यह बदल देता है कि कंपाउंडिंग का गणित बाजार के उतार-चढ़ाव के साथ कैसे इंटरैक्ट करता है। शोधकर्ताओं का तर्क है कि प्रदर्शन का एक अच्छा माप केवल इसलिए नहीं बदलना चाहिए क्योंकि हमने डेटा को अलग तरह से देखने का निर्णय लिया है। वे प्रस्ताव देते हैं कि 'लॉग रिटर्न्स' (log returns) का उपयोग करना, जो विकास की दर पर ध्यान केंद्रित करता है न कि सरल औसत पर, इस समस्या को हल करता है। यह दृष्टिकोण सुनिश्चित करता है कि फंडों की रैंकिंग वास्तविक धन उत्पादन पर निर्भर करती है, न कि इस पर कि डेटा को कैसे विभाजित किया गया था। यह इस तथ्य को भी सही ढंग से स्पष्ट करता है कि अस्थिरता (volatility) विकास को नुकसान पहुँचाती है, जिससे यह खतरनाक निष्कर्ष नहीं निकलता कि अधिक लीवरेज हमेशा बेहतर होता है।

यह शोध पत्र यह भी रेखांकित करता है कि कैसे वास्तविक दुनिया की लागतें और इन फंडों में निवेशकों के पैसे का प्रवाह नाटकीय रूप से परिणाम को बदल सकता है। एक फंड एक वर्ष में सकारात्मक रिटर्न दिखा सकता है, लेकिन यदि अधिकांश निवेशकों ने अपना पैसा बड़ी बढ़त के बाद लगाया है, तो औसत निवेशक को अभी भी नुकसान हो सकता है। शोधकर्ताओं ने कोरियाई शेयरों को ट्रैक करने वाले लीवरेज्ड फंडों के डेटा का उपयोग करके इसे स्पष्ट रूप से दिखाया। उन्होंने पाया कि जबकि फंडों का रिटर्न सकारात्मक था, निवेशकों द्वारा वास्तव में कमाया या गंवाया गया धन नकारात्मक था क्योंकि यह इस पर निर्भर था कि वे बाजार में कब प्रवेश करते हैं और कब बाहर निकलते हैं। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उत्पाद के प्रदर्शन को खरीदने वाले व्यक्ति के अनुभव से अलग करता है। इसके अलावा, उन्होंने उन फंडों के जोखिमों पर भी चर्चा की जो प्रति घंटा जैसे बार-बार लीवरेज को रीसेट करते हैं। हालांकि यह दैनिक उतार-चढ़ाव के प्रभाव को कम करने का एक तरीका लग सकता है, लेकिन यह ट्रेडिंग लागत और बाजार की कीमत को अपने विरुद्ध बदले बिना अपने ट्रेडों को निष्पादित करने की क्षमता से संबंधित नए जोखिम भी पेश करता है।

शायद इन फंडों की शक्ति का सबसे आश्चर्यजनक उदाहरण NVIDIA जैसी एकल कंपनी का प्रदर्शन है। 2024 में, इस कंपनी का स्टॉक 171 प्रतिशत बढ़ा। दोगुने लीवरेज वाले फंड ने 382 प्रतिशत का रिटर्न दिया, जो स्टॉक के लाभ के दोगुने से भी अधिक है। यह अस्थिरता के प्रभाव (volatility drag) की सामान्य चेतावनियों को चुनौती देता हुआ प्रतीत होता है। शोधकर्ता इसे एक छिपी हुई शक्ति के रूप में पहचानकर समझाते हैं जिसे वे 'कॉन्वेक्सिटी बोनस' (convexity bonus) कहते हैं। जब कोई संपत्ति एक दिशा में बहुत बड़ा कदम उठाती है, तो लीवरेज वाले फंड का गणित एक बोनस बनाता है जो रिटर्न में जोड़ देता है। यह बोनस इतना बड़ा हो सकता है कि यह अस्थिरता के कारण होने वाले नुकसान (drag) को भी पार कर जाए। NVIDIA के मामले में, बोनस इतना महत्वपूर्ण था कि लीवरेज वाले फंड ने फीस और लागतों को समायोजित करने के बाद भी, स्टॉक के साधारण रिटर्न के गुणक से बेहतर प्रदर्शन किया। यह दर्शाता है कि जबकि अस्थिरता आमतौर पर लीवरेज वाले फंडों को नुकसान पहुँचाती है, एक दिशा में निरंतर और बड़ी हलचल उन्हें अविश्वसनीय रूप से लाभदायक बना सकती है, जो एक सूक्ष्म पहलू है जिसे सरल औसत अक्सर छोड़ देते हैं।

शोधकर्ता उन फंडों के खतरों की ओर भी इशारा करते हैं जिन्हें दिन के दौरान बंद किया जा सकता है। ल्यूसिड (Lucid) नामक कंपनी से जुड़े एक मामले में, अफवाहों के कारण स्टॉक दिन के दौरान 50 प्रतिशत से अधिक गिर गया। हालांकि स्टॉक ने सुधार किया और दिन के अंत में बहुत कम गिरावट के साथ बंद हुआ, लेकिन लीवरेज्ड फंड को सुधार होने से पहले ही उसके ट्रेडिंग पार्टनर्स द्वारा समाप्त कर दिया गया। फंड का मूल्य नकारात्मक हो गया, और शेयरधारकों ने सब कुछ खो दिया, भले ही स्टॉक स्वयं उस दिन बच गया था। यह घटना इस बात को रेखांकित करती है कि दैनिक समापन मूल्य (closing price) हमेशा पूरी कहानी नहीं होता है; मूल्य जिस पथ पर चलता है वह उन तंत्रों को सक्रिय कर सकता है जो बाजार के सुधार होने से पहले ही फंड के मूल्य को नष्ट कर सकते हैं।

अंततः, मरे और सैमसन का कार्य इस बारे में स्पष्ट रूप से सोचने के लिए एक मार्गदर्शिका के रूप में कार्य करता है कि इन जटिल वित्तीय उत्पादों के बारे में क्या सोचा जाए। वे तर्क देते हैं कि निवेशकों को औसत दैनिक रिटर्न या सभी संभावित भविष्य के अपेक्षित धन को देखना बंद कर देना चाहिए, क्योंकि ये माप अक्सर एक ऐसी कहानी बताते हैं जो वास्तविकता से मेल नहीं खाती। इसके बजाय, उन्हें इस बात पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए कि उनकी वास्तविक पूंजी समय के साथ कैसे कंपाउंड होती है। सही गणितीय उपकरणों का उपयोग करके, निवेशक देख सकते हैं कि अस्थिरता एक दंड है जो विकास को कम करता है, अनंत लीवरेज विनाश का मार्ग है, और उनके अपने पैसे का समय उतना ही महत्वपूर्ण है जितना कि बाजार का प्रदर्शन। लक्ष्य एक ऐसे जादू के सूत्र को खोजना नहीं है जो धन की गारंटी देता हो, बल्कि यह समझना है कि ये फंड वास्तव में कैसे काम करते हैं, ताकि निवेशक उन निर्णयों को ले सकें जो वास्तव में उनके पैसे के साथ होता है, न कि उस पर जो एक सरलीकृत औसत भविष्य में होने की संभावना बताता है।