投资者经常寻求能够放大收益的工具，希望将微小的市场上涨转化为巨额利润。其中一种工具就是杠杆型交易所交易基金（leveraged ETF），这是一种旨在提供底层资产（如股票指数或单一公司）每日回报数倍收益的金融产品。如果市场上涨了1%，两倍杠杆的基金目标是上涨2%。然而，这些基金在严格的每日重置机制下运作：每天晚上，基金管理人都会调整投资组合，以确保杠杆比例在第二天恢复到目标水平。这种机制为任何持有该基金超过一天的投资者创造了一个复杂的现实。虽然这种数学逻辑在单日内运行完美，但市场在数周或数年内所经历的路径却至关重要。一个剧烈波动、即便最终回到原点的市场，也会因为复利数学效应而侵蚀杠杆型基金的价值。这种现象通常被称为“波动率拖累”（volatility drag），长期以来已知会降低回报，但这仅仅说明了这些基金随时间表现的部分真相。

哈佛商学院的两名研究人员，克里斯·默里（Chris Murray）和马科·萨蒙（Marco Sammon），对我们应该如何衡量这些产品的成功进行了全新的审视。他们认为，投资者和分析师目前评估杠杆型基金的标准方式存在严重缺陷，且往往会导致错误的结论。在他们的分析中，他们证明了目前用于判断表现的最常用指标——算术平均回报率——可能会让亏损的投资看起来像是一个赢家。他们指出，这种方法可能会暗示基金正在增长，而实际上它正在缩水；它甚至可以暗示使用无限杠杆是最佳策略，而这种建议必然会导致彻底的财务毁灭。相反，研究人员提出，衡量成功的唯一真正标准是投资者的实际资金随时间增长了多少。他们主张使用一种基于财富如何复利的不同数学方法，这能准确反映长期持有这些基金的现实情况。

问题的核心在于我们如何计算平均值。想象一个场景，某资产初始价格为100美元。在第一个周期，它上涨了1%，变为101美元。在第二个周期，它下跌了足以使其精确回到100美元的幅度。该资产整体进度为零。现在，考虑一个具有两倍杠杆的基金。在第一个周期，它上涨了2%，变为102美元。在第二个周期，它必须下跌略多一点的百分比才能回到起点，但由于它是杠杆化的，数学逻辑对其不利。该基金最终会略低于100美元。资产本身没有变化，但杠杆投资者却亏损了。尽管如此，如果你计算该杠杆基金每日回报的平均值，你会得到一个正数。如果你随后假定该基金每天都赚取了那个正向平均值，你会计算出一个高于起始点的最终价值。这创造了一个虚假的图景：数学显示投资者获得了财富，而银行账户却显示亏损。这种差异并非微小的误差，而是使用简单平均值来预测长期增长的一个根本性缺陷。

研究人员发现，这种平均值的误导性不仅是一个理论上的奇思妙想，更是一个现实的危险。他们利用基于历史市场数据的计算机模拟，研究了这些基金在二十年等长时段内的表现。在一次涉及高波动性股票的模拟中，他们观察了一个关于三倍杠杆基金的假设性投资，金额为一万美元。依赖于平均每日回报的标准计算法表明，这笔投资将增长到一个天文数字，甚至超过地球的总财富。然而，这一结果是由极少数可能的路径驱动的，即股票价格以一种几乎不可能的方式飙升。实际上，对于市场可能采取的大多数路径，该投资会被清零，导致投资者几乎一无所有。标准指标被这些极端且在经济上几乎不可能发生的场景拉高了，从而掩盖了典型投资者会损失殆尽的事实。这表明，依赖于“预期终值”（expected terminal wealth）——一种金融领域常用的衡量标准——会对投资者预期能保留多少财富给出极其乐观且危险的看法。

另一个关键发现是，即使市场路径保持不变，衡量回报的频率也会改变答案。如果分析师通过查看每日数据来计算基金的预期表现，他们可能会得到一个数字。如果他们查看相同的数据，但将其分为每周或每月块，他们可能会得到一个完全不同的数字，有时甚至会使基金的排名发生反转。这是因为回报分组方式改变了复利数学与市场涨跌之间的相互作用。研究人员认为，一个好的表现衡量标准不应仅仅因为我们改变了观察数据的方式而发生变化。他们提议使用对数收益率（log returns）——一种侧重于增长率而非简单平均值的方法——来解决这个问题。这种方法确保了基金的排名取决于实际产生的财富，而不是取决于数据是如何被切分的。它还正确地解释了波动率如何损害增长，从而防止了“更多杠杆总是更好”这一危险结论。

论文还强调了现实世界的成本以及投资者资金流入和流出的时机如何剧烈改变结果。一个基金可能在一年内显示出正回报，但如果大多数投资者是在大涨之后才投入资金，那么平均而言，投资者可能仍然会亏损。研究人员利用追踪韩国股票的杠杆基金数据清晰地展示了这一点。他们发现，虽然基金本身有正回报，但由于投资者进入和退出市场的时机问题，投资者实际获得或损失的美元却是负数。这种区分至关重要，因为它将产品的表现与购买者的体验分离开来。此外，他们还讨论了那些重置杠杆频率更高（例如按小时重置）的基金风险。虽然这看似是减少每日波动拖累的一种方法，但它引入了与交易成本以及基金能否在不影响自身市场价格的情况下执行交易相关的新风险。

或许来自单一公司英伟达（NVIDIA）的表现最能体现这些基金的力量。2024年，该公司的股价上涨了171%。而一个两倍杠杆的基金回报率为382%，超过了股票涨幅的两倍。这似乎违背了关于波动率拖累的常规警告。研究人员通过识别一种他们称之为“凸性红利”（convexity bonus）的隐藏力量来解释这一点。当资产向一个方向进行极大幅度的移动时，杠杆型基金的数学逻辑会创造出一个增加回报的红利。这个红利可以非常巨大，以至于能够克服由波动率造成的拖累。在英伟达的案例中，这种红利非常显著，以至于即使在计入费用和成本后，杠杆型基金的表现依然超过了其股票收益的简单倍数。这表明，虽然波动通常会对杠杆型基金不利，但一个巨大的、持续向一个方向的移动可以使它们变得极其盈利，这是简单平均值经常忽略的细微差别。

研究人员还指出了那些可能在日内被强制平仓（closed out）的基金的危险。在一次涉及Lucid公司的案例中，传闻导致该股在一天内下跌超过50%。尽管股票随后有所回升，并在收盘时仅下跌了较小幅度，但持有它的杠杆基金在回升发生之前就被交易对手终止了。该基金留下了负值，股东因此血本无归，尽管股票本身在当天幸存了下来。这一事件强调了当日收盘价并不总是故事的全貌；价格在一天之内所经历的路径可能会触发破坏基金价值的机制，甚至在市场有机会自我修正之前就将其摧毁。

最终，默里和萨蒙的工作为如何清晰地思考这些复杂的金融产品提供了指南。他们认为，投资者应该停止关注平均每日回报或所有可能未来的预期财富，因为这些衡量标准往往讲述的故事与现实并不相符。相反，他们应该专注于自己的实际资本如何随时间复利增长。通过使用正确的数学工具，投资者可以看到：波动率是降低增长的惩罚，无限杠杆是通往毁灭之路，而他们自身资金的进出时机与市场表现同样重要。目标不是寻找一个保证财富的魔咒公式，而是理解这些基金运作的真实机制，以便投资者能够基于资金实际发生了什么来做决策，而不是基于一个简化的平均值所暗示可能发生的情况。