Beyond Display: From Dynamic Representation to Generative Representational Activity with Large Language Models

गणित हमेशा से चित्रों, प्रतीकों और कहानियों की एक भाषा रहा है। सदियों तक, छात्रों ने शब्दों में लिखे गए एक प्रश्न को एक चित्र में, या एक चित्र को संख्याओं के एक समूह में, और इसके विपरीत अनुवाद करना सीखा। ये अनुवाद कठिन कार्य थे, जिनमें मस्तिष्क को एक ही विचार के विभिन्न संस्करणों को एक साथ थामे रखने की आवश्यकता होती थी। हाल के दशकों में, कंप्यूटरों ने इस परिदृश्य को बदल दिया। उन्होंने ऐसे उपकरण पेश किए जो तुरंत ग्राफ बना सकते थे या बिना किसी मानवीय हाथ द्वारा पेंसिल चलाए समीकरणों को हल कर सकते थे। इन उपकरणों ने नए प्रकार के गणित का आविष्कार नहीं किया, बल्कि उन्होंने पुराने गणित के साथ लोगों के संवाद करने के तरीके को बदल दिया। उन्होंने यह देखना संभव बना दिया कि जब आप एक कोने को खींचते हैं तो एक आकृति कैसे बदलती है, या जब आप एक संख्या को थोड़ा बदलते हैं तो एक ग्राफ कैसे खिसकता है, जिससे उपयोगकर्ता और गणित के बीच एक गतिशील संबंध बन जाता है। अब, एक नए प्रकार का कंप्यूटर प्रोग्राम, जिसे 'लार्ज लैंग्वेज मॉडल' (large language model) के रूप में जाना जाता है, कक्षा में प्रवेश कर चुका है। ये वे प्रणालियाँ हैं जो बातचीत कर सकती हैं, प्रश्नों के उत्तर दे सकती हैं, और ऐसा पाठ लिख सकती हैं जो ऐसा लगता है जैसे किसी व्यक्ति द्वारा लिखा गया हो। शिक्षकों और शोधकर्ताओं के लिए बड़ा प्रश्न यह है कि क्या ये बात करने वाली मशीनें गणित करने के लिए बस एक और उपकरण हैं, या उन्होंने गणितीय प्रतिनिधित्व की प्रकृति को मौलिक रूप से बदल दिया है।

ईस्ट कैरोलिना यूनिवर्सिटी के एक शोधकर्ता, क्वाकु अदु-ग्याम्फी (Kwaku Adu-Gyamfi) ने यह देखने के लिए कि ये नई मशीनें वास्तव में क्या करती हैं, इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास किया। यह शोध पत्र तर्क देता है कि हालांकि लार्ज लैंग्वेज मॉडल शक्तिशाली हैं, वे एक नए प्रकार का गणितीय ऑब्जेक्ट (mathematical object) नहीं बनाते हैं। आप कंप्यूटर से एक ग्राफ बनाने के लिए नहीं कह सकते, और परिणाम एक नया प्रकार का ग्राफ नहीं है; वह अभी भी एक ग्राफ ही है। इसी तरह, मशीन द्वारा उत्पन्न किया गया समीकरण एक नया प्रकार का समीकरण नहीं है। वास्तविक परिवर्तन इस बात में है कि गणित को कैसे निर्दिष्ट (specify) किया जाता है और मानव तथा मशीन के बीच कार्य का विभाजन कैसे होता है। अध्ययन सुझाव देता है कि हमें इन मॉडलों को केवल गतिशील उपकरणों, जैसे ग्राफ़िंग कैलकुलेटर या ज्यामिति सॉफ़्टवेयर की एक अगली कड़ी के रूप में देखना बंद कर देना चाहिए। इसके बजाय, वे "जनरेटिव रिप्रेजेंटेशनल एक्टिविटी" (generative representational activity) नामक एक अलग कार्य पद्धति पेश करते हैं। यह एक कठिन शब्द है, लेकिन सरल शब्दों में, इसका अर्थ एक ऐसी प्रक्रिया है जहाँ एक व्यक्ति साधारण बातचीत में एक गणितीय विचार का वर्णन करता है, कंप्यूटर उस विचार का एक संभावित संस्करण बनाता है, और फिर व्यक्ति उस संस्करण के बारे में बात करके उसे बदल सकता है, परिष्कृत कर सकता है, या किसी अन्य संस्करण के लिए पूछ सकता है, और यह सब बिना किसी विशेष कोड या कमांड भाषा को सीखे किया जा सकता है।

यह शोध पत्र कई उन विचारों को सावधानीपूर्वक खारिज करता है जो स्पष्ट लग सकते हैं लेकिन पूरी तरह सही नहीं हैं। यह नया नहीं है कि कंप्यूटर प्राकृतिक भाषा से उत्तर उत्पन्न करते हैं; एक दशक से अधिक पुराने सिस्टम भी एक वाक्य जैसे "मुझे जनसंख्या की वृद्धि दिखाएं" को लेकर चार्ट बना सकते हैं। यह भी नया नहीं है कि कंप्यूटर गणितीय वस्तुओं का निर्माण करते हैं; ग्राफ़िंग कैलकुलेटर और ज्यामिति कार्यक्रम वर्षों से ऐसा कर रहे हैं। नया क्या है, वह इन संवादात्मक वातावरणों में पाए जाने वाले विशिष्ट विशेषताओं का संयोजन है। अतीत में, यदि कोई छात्र एक ग्राफ बदलना चाहता था, तो उसे अक्सर मूल कमांड पर वापस जाना पड़ता था या संख्या को समायोजित करने के लिए एक स्लाइडर का उपयोग करना पड़ता था। एक लार्ज लैंग्वेज मॉडल के साथ, छात्र बस कह सकता है, "शुरुआती बिंदु को समान रखें, लेकिन दूसरी रेखा को ऊपर जाने के बजाय नीचे की ओर ले जाएं," और सिस्टम उस विवरण के आधार पर एक नया संस्करण तैयार करेगा। मुख्य बात यह है कि स्वयं बातचीत ही गणित को निर्दिष्ट करने का उपकरण बन जाती है। छात्र को परिवर्तन करने के लिए सटीक औपचारिक नियमों को जानने की आवश्यकता नहीं है; उन्हें बस उस संबंध का वर्णन करने की आवश्यकता है जिसे वे देखना चाहते हैं।

हालाँकि, शोध पत्र चेतावनी देता है कि पीढ़ी (generation) की यह सुगमता एक छिपे हुए जाल के साथ आती है। जब एक कंप्यूटर बातचीत के जवाब में एक आदर्श दिखने वाला ग्राफ या एक सही दिखने वाली तालिका बनाता है, तो यह मान लेना बहुत लुभावना हो सकता है कि छात्र उस गणित को समझता है। शोधकर्ता का तर्क है कि यह एक खतरनाक धारणा है। केवल इसलिए कि मशीन ने सफलतापूर्वक वस्तु का निर्माण किया है, इसका मतलब यह नहीं है कि छात्र ने अपने मन में उस विचार के विभिन्न हिस्सों को समन्वित किया है। पारंपरिक सेटिंग में, यदि एक छात्र एक ग्राफ बनाता है और फिर उससे मेल खाने वाला समीकरण लिखता है, तो चित्र बनाने का कार्य यह सिद्ध करता है कि उसने दोनों विचारों को जोड़ दिया है। एक जनरेटिव सेटिंग में, मशीन यह जुड़ाव करती है। छात्र ने सही चीज़ के लिए पूछा होगा, लेकिन हो सकता है कि वह यह न समझ पाया हो कि मशीन का उत्तर क्यों सही है, या वह यह नोटिस न कर पाया हो कि मशीन ने कोई सूक्ष्म गलती की है। शोध पत्र बताता है कि एक सही दिखने वाला उत्पाद समझ का प्रमाण नहीं है। यह केवल इस बात का प्रमाण है कि मशीन ने निर्देशों का पालन किया है।

इसे समझाने के लिए, शोध पत्र इस बात पर गौर करता है कि छात्र ज्यामिति की समस्या के साथ कैसे काम कर सकते हैं। कल्पना कीजिए कि एक छात्र कंप्यूटर से एक विशिष्ट आकृति बनाने के लिए कहता है, जैसे कि कुछ गुणों वाली एक चार भुजाओं वाली आकृति। एक पारंपरिक डायनेमिक ज्योमेट्री प्रोग्राम में, छात्र बिंदुओं को खींचकर आकृति बनाएगा, और कंप्यूटर यह सुनिश्चित करेगा कि आकृति नियमों के प्रति सत्य रहे, जैसे कि विपरीत भुजाओं को समानांतर रखना। यदि छात्र एक बिंदु खींचता है और आकृति टूट जाती है, तो उसे पता चल जाएगा कि उसने किसी नियम का उल्लंघन किया है। एक लार्ज लैंग्वेज मॉडल के साथ, छात्र शब्दों में आकृति का वर्णन कर सकता है, और कंप्यूटर एक चित्र उत्पन्न करेगा। यदि कंप्यूटर गलती करता है और भुजाएँ वास्तव में समानांतर नहीं हैं, तो छात्र तब तक नहीं देख पाएगा जब तक कि वह सक्रिय रूप से गणित की जाँच न कर रहा हो। मशीन ने निर्माण का कार्य किया है, लेकिन छात्र ने अनिवार्य रूप से बाधाओं (constraints) को समझने का कार्य नहीं किया है। शोध पत्र सुझाव देता है कि वास्तविक सीखना तब होता है जब छात्र को मशीन के आउटपुट को देखना पड़ता है, यह जांचना पड़ता है कि क्या वह उसकी मानसिक छवि से मेल खाता है, और यदि वह गलत है तो उसे ठीक करने के लिए वर्णन करना पड़ता है।

शोध यह भी रेखांकित करता है कि काम करने का यह नया तरीका यह बदल देता है कि क्या कौशल माना जाता है। अतीत में, एक छात्र की ग्राफ बनाने या समीकरण हल करने की क्षमता उनके कौशल का सीधा माप थी। अब, यदि कोई छात्र कंप्यूटर से बात करके सही उत्तर प्राप्त कर सकता है, तो हम सुनिश्चित नहीं हो सकते कि उन्होंने कौशल सीखा है या केवल सही प्रश्न पूछना सीखा है। शोध पत्र का प्रस्ताव है कि हमें सीखने के विभिन्न साक्ष्यों को खोजने की आवश्यकता है। हमें यह देखने की आवश्यकता है कि क्या छात्र यह समझा सकते हैं कि कंप्यूटर का उत्तर क्यों सही है, या क्या वे यह पहचान सकते हैं कि कंप्यूटर कब गलत है। हमें यह देखने की आवश्यकता है कि क्या वे मशीन द्वारा उत्पन्न उदाहरण को ले सकते हैं और उसका उपयोग किसी गहरे नियम को समझने के लिए कर सकते हैं। कंप्यूटर को प्रॉम्प्ट (prompt) करने की क्षमता एक नया कौशल है, लेकिन यह गणित करने की क्षमता के समान नहीं है। शोध पत्र का तर्क है कि प्रक्रिया का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा अब उत्तर का उत्पादन करना नहीं है, बल्कि विचारों का समन्वय (coordination) है। छात्र को अभी भी अपने दिमाग में गणित के विभिन्न संस्करणों को एक साथ रखना होगा और यह सत्यापित करना होगा कि वे अर्थपूर्ण हैं।

अंततः, शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि लार्ज लैंग्वेज मॉडल गणित शिक्षा की समस्याओं को हल करने वाली कोई जादुई छड़ी नहीं हैं, न ही वे मानवीय समझ की आवश्यकता को बदलने वाला कोई खतरा हैं। वे एक प्रकार का वातावरण हैं जो कार्य के संतुलन को बदल देते हैं। वे चित्रण और गणना के भारी काम को संभाल लेते हैं, जिससे मानव मस्तिष्क को विचारों का वर्णन करने, आलोचना करने और उन्हें परिष्कृत करने पर ध्यान केंद्रित करने के लिए मुक्त किया जा सके। लेकिन यह बदलाव एक नए प्रकार की सतर्कता की मांग करता है। शिक्षकों और छात्रों को एक सही उत्तर उत्पन्न करने की मशीन की क्षमता को गणित समझने की मानवीय क्षमता के साथ भ्रमित करने से बचना चाहिए। शोध पत्र का सुझाव है कि इन उपकरणों के साथ गणित शिक्षा का भविष्य विचारों के बीच के संबंधों पर ध्यान केंद्रित करने पर निर्भर करता है, न कि केवल अंतिम उत्पाद पर। लक्ष्य मशीन का उपयोग संभावनाओं को उत्पन्न करने के लिए करना है, लेकिन मानव को प्रक्रिया के भीतर यह तय करने वाले के रूप में बनाए रखना है कि क्या सत्य है, क्या सुसंगत है, और क्या सीखने योग्य है। मशीन घर बना सकती है, लेकिन मनुष्य को अभी भी ब्लूप्रिंट (blueprint) को समझना होगा।