Beyond Display: From Dynamic Representation to Generative Representational Activity with Large Language Models

数学一直是一种由图像、符号和故事组成的语言。几个世纪以来，学生们学习如何将书面文字描述的问题转化为绘图，或将绘图转化为一组数字，并进行反向转换。这些转换工作非常艰辛，要求大脑能够同时维持同一个想法的不同版本。近几十年来，计算机改变了这一格局。它们引入了能够瞬间绘制图形或在无需人工动手绘图的情况下求解方程的工具。这些工具并没有发明新型数学，但它们改变了人们与旧数学交互的方式。它们让人们能够看到当你拉动一个角时形状如何变化，或者当你微调一个数值时图形如何移动，从而在用户与数学之间创造了一种动态关系。现在，一种被称为大语言模型的新型计算机程序进入了课堂。这些系统可以进行对话、回答问题，并编写看起来像是人类所写的文本。教育者和研究人员面临的一个重大问题是：这些会说话的机器仅仅是另一种数学工具，还是从根本上改变了数学表征的本质。

东卡罗来纳大学的研究员夸库·阿杜-加姆菲（Kwaku Adu-Gyamfi）通过仔细观察这些新机器实际在做什么，试图回答这个问题。该论文指出，虽然大语言模型功能强大，但它们并未创造出一种新型的数学对象。你不能要求计算机画一张图，而得到的结果并不是一种新型的图形；它仍然是一个图形。同样，由机器生成的方程也不是一种新型的方程。真正的变化在于数学是如何被指定的，以及人类与机器之间的分工是如何分配的。研究表明，我们不应再将这些模型仅仅视为动态工具（如图形计算器或几何软件）的下一步演进。相反，它们引入了一种被称为“生成式表征活动”（generative representational activity）的独特工作方式。这个词听起来很拗口，但通俗地说，这意味着这样一个过程：一个人用日常语言描述一个数学概念，计算机构建出该概念的一个候选版本，然后人可以通过讨论这个版本来改变它、完善它，或要求一个不同的版本，而整个过程无需学习任何特殊的代码或命令语言。

论文仔细排除了几种看似显而易见但并不完全正确的观点。计算机从自然语言生成答案并不是新鲜事；存在了十多年的系统就可以根据“展示人口增长情况”之类的句子生成图表。计算机创建数学对象也并非新鲜事；图形计算器和几何程序多年来一直在做这件事。真正新颖的是这些对话式环境中所包含的特征组合。在过去，如果学生想要改变一个图形，他们通常需要回到原始命令，或者使用滑块来调整数值。在使用大语言模型时，学生只需说：“保持起点不变，但让第二条线向下走而不是向上走，”系统就会根据这段描述生成一个新版本。关键在于，对话本身成为了指定数学内容的工具。学生不需要知道精确的形式化规则来进行修改，他们只需要描述他们想要看到的某种关系即可。

然而，论文警告说，这种生成的便捷性隐藏着一个陷ü。当计算机响应对话并产生一个看起来完美的图形或一个看起来正确的表格时，人们很容易假设学生理解其背后的数学原理。研究者认为，这是一种危险的假设。仅仅因为机器成功构建了该对象，并不意味着学生在脑海中协调了该想法的不同部分。在传统环境下，如果学生画了一个图形然后写出匹配的方程，那么绘图的行为证明了他们将这两个想法联系了起来。而在生成式环境下，机器完成了这种连接。学生可能提出了正确的要求，但他们可能并不理解为什么机器的答案是正确的，或者他们可能没有注意到机器犯下的细微错误。论文指出，一个看起来正确的产品并不是理解能力的证明，它仅仅是证明了机器遵循了指令。

为了说明这一点，论文探讨了学生如何处理几何问题。想象一个学生要求计算机创建一个特定的形状，比如一个具有某些属性的四边形。在传统的动态几何程序中，学生通过拖动点来构建形状，而计算机则确保形状符合规则，例如保持对边平行。如果学生拖动了一个点导致形状破损，他们就会知道自己违反了某项规则。在使用大语言模型时，学生可能会用文字描述这个形状，然后计算机生成一张图片。如果计算机出错导致边并不平行，除非学生在积极检查数学逻辑，否则他们可能不会注意到。机器完成了构建的工作，但学生未必完成了对约束条件的理解工作。论文指出，真正的学习发生在学生必须观察机器的输出，检查其是否符合自己的心理图像，并在出错时描述如何修复的过程中。

研究还强调，这种新的工作方式改变了什么才算作一项技能。在过去，学生绘制图形或求解方程的能力是其技能的直接衡量标准。现在，如果学生可以通过与计算机对话来获得正确答案，我们无法确定他们是学会了这项技能，还是仅仅学会了如何提出正确的问题。论文建议，我们需要寻找不同的学习证据。我们需要观察学生是否能解释为什么计算机的答案是正确的，或者他们能否发现计算机何时出错了。我们需要看他们是否能利用机器生成的例子来理解更深层的规则。提问（prompting）计算机是一种新技能，但这并不等同于做数学的能力。论文认为，过程中最重要的部分不再是产出答案，而是对想法的协调。学生必须仍然是那个在脑海中将数学的不同版本整合在一起，并验证其合理性的人。

最终，论文得出结论：大语言模型既不是解决数学教育问题的魔杖，也不是取代人类理解能力的威胁。它们是一种改变了工作平衡的新型环境。它们接管了绘图和计算等繁重任务，从而释放了人类的心智，使其能够专注于描述、评判和完善想法。但这种转变需要一种新的警觉。教师和学生必须小心，不要将机器生成正确答案的能力与人类理解数学的能力混为一谈。论文建议，未来利用这些工具进行数学教育的关键在于，保持对想法之间关系的关注，而非仅仅关注最终产物。目标是利用机器来生成可能性，但要让作为“决策者”的人类始终参与其中——由人类来决定什么是真实的、什么是连贯的，以及什么是值得学习的。机器可以建造房屋，但人类必须仍然理解蓝图。