Beyond Display: From Dynamic Representation to Generative Representational Activity with Large Language Models

数学は常に、図、記号、そして物語の言語であり続けてきました。何世紀もの間、学生たちは言葉で書かれた問題を絵に翻訳したり、絵を数値の集合へと、あるいはその逆へと翻訳することを学んできました。これらの翻訳作業は大変な重労働であり、同じアイデアの異なるバージョンを同時に頭の中に保持することを必要としました。ここ数十年の間に、コンピュータはこの風景を変えました。コンピュータは、人間が鉛筆で手を動かすことなく、即座にグラフを描いたり方程式を解いたりできるツールを導入しました。これらのツールは新しい種類の数学を発明したわけではありませんが、人々が古い数学とどのように関わるかを変えました。それによって、角を引っ張ったときに形がどのように変化するか、あるいは数値を微調整したときにグラフがどのようにシフトするかを視覚化することが可能になり、ユーザーと数学との間にダイナミックな関係性が生まれました。現在、大規模言語モデルとして知られる新しい種類のコンピュータプログラムが教室に登場しています。これらは、会話を行い、質問に答え、人間が書いたかのようなテキストを書くことができるシステムです。教育者や研究者にとっての大きな疑問は、これらの「話す機械」が単なる数学のための道具の一つなのか、それとも数学的表現の本質そのものを根本的に変えてしまったのか、ということです。

イーストカロライナ大学の研究者、クワク・アドゥ＝ギャムフィ（Kwaku Adu-Gyamfi）は、これらの新しい機械が実際に何を行っているのかを詳細に調査することで、この問いに答えようと試みました。論文では、大規模言語モデルは強力ではあるものの、新しい種類の数学的対象を作り出しているわけではないと論じています。コンピュータにグラフを描くよう頼むことはできますが、その結果は新しい種類のグラフではなく、依然としてグラフなのです。同様に、機械によって生成された方程式も、新しい種類の数学的方程式ではありません。真の変化は、数学がいかに指定されるか、そして人間と機械の間でどのように作業が分担されるかにあります。この研究は、これらのモデルを、グラフ計算機や幾何学ソフトウェアのようなダイナミックなツールの系譜における単なる次のステップとして考えるべきではないことを示唆しています。代わりに、これらは「生成的表象活動（generative representational activity）」と呼ばれる、明確に異なる働き方を導入しているのです。これは少し難しい言葉ですが、平易に言えば、人が日常的な会話の中で数学的なアイデアを記述し、コンピュータがそのアイデアの候補となるバージョンを構築し、その後、人は特別なコードやコマンド言語を学ぶことなく、そのバージョンについて話し合い、変更したり、洗練させたり、あるいは別のものを要求したりできるプロセスを意味します。

論文は、一見すると明白に思えるものの、完全には正しくないいくつかのアイデアを慎重に排除しています。コンピュータが自然言語から回答を生成することは新しいことではありません。10年以上前から存在するシステムでも、「人口の成長を示して」といった文章を受け取ってチャートを作成することができます。また、コンピュータが数学的対象を作成することも新しいことではありません。グラフ計算機や幾何学プログラムは、長年それを行ってきました。新しいのは、これらの対話型環境に見られる特定の機能の組み合わせです。かつて、学生がグラフを変更したい場合、元のコマンドに戻るか、スライダーを使用して数値を調整する必要がありました。大規模言語モデルを用いると、学生は単に「始点は同じにして、2本目の線を上ではなく下に向かうようにして」と言うだけで、システムはその記述に基づいて新しいバージョンを作成してくれます。鍵となるのは、会話自体が数学を指定するためのツールになることです。学生は変更を行うために正確な形式的ルールを知る必要はなく、ただ自分が望む関係性を記述すればよいのです。

しかし、論文は、この生成の容易さには隠れた罠があることを警告しています。コンピュータが会話に応じて完璧に見えるグラフや正しそうな表を作成したとき、学生がその背後にある数学を理解していると仮定してしまうことは非常に魅力的です。研究者は、これが危険な仮定であると論じています。機械がオブジェクトを構築することに成功したからといって、学生が自分自身の心の中でアイデアの異なる部分を調整できたとは限らないからです。伝統的な設定では、もし学生がグラフを描き、次にそれに対応する方程式を書くならば、描画するという行為が、二つのアイデアを結びつけた証拠となります。生成的環境においては、機械がその結びつけを行います。学生は正しいことを求めたかもしれませんが、なぜ機械の答えが正しいのかを理解していないかもしれませんし、機械が微妙な間違いをしたことに気づかないかもしれません。論文は、正しそうに見える成果物は、理解の証明ではないと指摘しています。それは単に、機械が指示に従ったという証明に過ぎません。

これを説明するために、論文では学生が幾何学の問題に取り組む様子を見ていきます。例えば、学生が特定の性質を持つ四角形のような特定の形をコンピュータに作成させる場面を想像してください。従来のダイナミック幾何学プログラムでは、学生は点をドラッグして形を作り、コンピュータは向かい合う辺が平行であるといったルールが維持されるようにします。もし学生が点をドラッグして形が崩れたなら、ルールに違反したことがわかります。大規模言語モデルを使用する場合、学生は言葉で形を記述し、コンピュータはその絵を生成します。もしコンピュータがミスをして、辺が実際には平行でない場合、学生が数学的なチェックを積極的に行わない限り、気づかない可能性があります。機械は構築の作業を行っていますが、学生は制約の理解という作業を行っていないのです。論文は、真の学習は、学生が機械の出力を見て、それが自分のメンタルイメージと一致しているかを確認し、もし間違っていればどのように修正すべきかを記述しなければならない時に起こると示唆しています。

また、この研究は、この新しい働き方が「何がスキルとしてカウントされるか」を変えることも強調しています。かつては、グラフを描いたり方程式を解いたりする能力が、学生のスキルの直接的な尺度でした。今、もし学生がコンピュータと会話することで正しい答えを得られるのであれば、彼らがスキルを学んだのか、それとも単に正しい問い方（プロンプト）を学んだのかを判断することはできません。論文は、異なる学習の証拠を見る必要があると提案しています。学生がなぜコンピュータの答えが正しいのかを説明できるか、あるいはコンピュータが間違っているときにそれを見抜けるかどうかを見る必要があります。機械が生成した例を取り上げ、それを深いルールを理解するために使えるかどうかを見る必要があります。コンピュータにプロンプトを出す能力は新しいスキルですが、それは数学ができることと同じではありません。論文は、最も重要な部分はもはや答えの生成ではなく、アイデアの調整（コーディネーション）であると論じています。学生は依然として、異なるバージョンの数学を頭の中で一つにまとめ、それが理にかなっているかを検証する役割を担わなければなりません。

最終的に、論文は、大規模言語モデルは数学教育の問題を解決する魔法の杖でもなければ、人間の理解を置き換える脅威でもないと結論づけています。それらは、作業のバランスを変化させる新しい種類の環境です。それらは描画や計算といった重労働を引き受け、人間の精神を、アイデアの記述、批評、および洗練に集中させるための自由を与えます。しかし、この転換には新しい種類の警戒が必要です。教師と学生は、機械が正しい答えを生成する能力と、人間が数学を理解する能力を混同しないよう注意しなければなりません。論文は、これらのツールを用いた数学教育の未来は、最終的な成果物ではなく、アイデア間の関係性に焦点を当て続けることにかかっていると示唆しています。目標は、機械を使って可能性を生成させることですが、何が真実であり、何が一貫しており、何が学ぶ価値があるのかを決定する存在として、人間をループの中に留めておくことです。機械は家を建てることはできますが、人間は依然として設計図を理解していなければならないのです。