Beyond Display: From Dynamic Representation to Generative Representational Activity with Large Language Models

수학은 언제나 그림, 기호, 그리고 이야기의 언어였습니다. 수 세기 동안 학생들은 글로 쓰인 문제를 그림으로 바꾸거나, 그림을 숫자의 집합으로, 그리고 다시 그 반대로 바꾸는 법을 배웠습니다. 이러한 번역 작업은 동일한 아이디어의 서로 다른 버전들을 동시에 머릿속에 담아두어야 하는 고된 일이었습니다. 최근 수십 년 동안 컴퓨터는 이러한 풍경을 바꾸어 놓았습니다. 컴퓨터는 즉각적으로 그래프를 그리거나 사람의 손으로 연필을 움직이지 않고도 방정식을 풀 수 있는 도구들을 도입했습니다. 이 도구들은 새로운 종류의 수학을 발명한 것은 아니지만, 사람들이 기존의 수학과 상호작용하는 방식을 바꾸었습니다. 이 도구들은 사용자가 모서리를 잡아당길 때 모양이 어떻게 변하는지, 혹은 숫자를 조절할 때 그래프가 어떻게 이동하는지를 볼 수 있게 함으로써, 사용자와 수학 사이의 역동적인 관계를 만들어냈습니다. 이제, 대규모 언어 모델(LLM)이라 불리는 새로운 종류의 컴퓨터 프로그램이 교실에 등장했습니다. 이들은 대화를 나누고, 질문에 답하며, 사람이 쓴 것처럼 보이는 텍스트를 작성할 수 있는 시스템입니다. 교육자와 연구자들의 큰 의문은 이 '말하는 기계'들이 단순히 수학을 수행하기 위한 또 다른 도구인지, 아니면 수학적 표현의 본질 자체를 근본적으로 변화시켰는지 하는 점입니다.

이스트 캐롤라이나 대학교의 연구자 콰쿠 아두-걄피(Kwaku Adu-Gyamfi)는 이 질문에 답하기 위해 이 새로운 기계들이 실제로 무엇을 하는지 면밀히 조사했습니다. 논문은 대규모 언어 모델이 강력하기는 하지만, 새로운 유형의 수학적 객체를 만들어내는 것은 아니라고 주장합니다. 컴퓨터에게 그래프를 그려달라고 요청할 수는 있지만, 그 결과물은 새로운 종류의 그래프가 아니라 여전히 하나의 그래프일 뿐입니다. 마찬가지로, 기계가 생성한 방정식 또한 새로운 종류의 방정식이 아닙니다. 진짜 변화는 수학이 어떻게 명시되는지, 그리고 인간과 기계 사이에 작업이 어떻게 분담되는지에 있습니다. 이 연구는 우리가 이 모델들을 그래프 계산기나 기하 소프트웨어와 같은 역동적 도구들의 다음 단계로 단순히 생각하는 것을 멈춰야 한다고 제안합니다. 대신, 이들은 "생성적 표상 활동(generative representational activity)"이라는 구별되는 작업 방식을 도입합니다. 이는 다소 어려운 용어이지만, 쉽게 말해 사람이 일상적인 대화로 수학적 아이디어를 설명하면, 컴퓨터가 그 아이디어의 후보 버전을 구축하고, 그러면 사람이 그 버전에 대해 이야기하며 수정하거나 정교하게 만들거나 혹은 다른 것을 요청할 수 있는 과정, 즉 특수한 코드나 명령어를 배울 필요 없이 이루어지는 과정을 의미합니다.

논문은 당연해 보이지만 정확하지 않은 몇 가지 아이디어들을 신중하게 배제합니다. 컴퓨터가 자연어로 답을 생성하는 것은 새로운 일이 아닙니다. 10년 넘게 존재해 온 시스템들은 "인구 성장을 보여줘"와 같은 문장을 받아 차트를 만들어낼 수 있습니다. 또한 컴퓨터가 수학적 객체를 만드는 것도 새로운 일이 아닙니다. 그래프 계산기와 기하 프로그램들은 수년 동안 그 일을 해왔습니다. 새로운 것은 이러한 대화형 환경에서 발견되는 특징들의 구체적인 조합입니다. 과거에는 학생이 그래프를 바꾸고 싶다면 종종 원래의 명령어로 돌아가거나 슬라이더를 사용하여 숫자를 조정해야 했습니다. 대규모 언어 모델을 사용하는 학생은 단순히 "시작점은 그대로 두되, 두 번째 선은 위로 가는 대신 아래로 가게 해줘"라고 말할 수 있으며, 시스템은 그 묘사에 기반하여 새로운 버전을 만들어냅니다. 핵심은 대화 자체가 수학을 명시하는 도구가 된다는 점입니다. 학생은 변화를 만들기 위해 정확한 형식적 규칙을 알 필요가 없습니다. 그저 자신이 보고 싶은 관계를 설명하기만 하면 됩니다.

하지만 논문은 이러한 생성의 용이함이 숨겨진 함정을 동반한다고 경고합니다. 컴퓨터가 대화에 응답하여 완벽해 보이는 그래프나 올바르게 보이는 표를 만들어낼 때, 학생이 그 뒤에 숨겨진 수학을 이해하고 있다고 가정하기 매우 쉽습니다. 연구자는 이것이 위험한 가정이라고 주장합니다. 기계가 성공적으로 객체를 구축했다고 해서 학생이 자신의 마음속에서 그 아이디어의 다양한 부분들을 조율했다는 뜻은 아닙니다. 전통적인 환경에서 학생이 그래프를 그린 후 그에 맞는 방정식을 쓴다면, 그래프를 그리는 행위 자체가 두 아이디어를 연결했음을 증명합니다. 생성적 환경에서는 기계가 그 연결을 수행합니다. 학생은 올바른 것을 요청했을 수는 있지만, 왜 기계의 답이 옳은지 이해하지 못할 수도 있고, 기계가 미묘한 실수를 저질렀을 때 이를 알아차리지 못할 수도 있습니다. 논문은 올바르게 보이는 결과물이 이해의 증거는 아니라고 지적합니다. 그것은 단지 기계가 지시를 따랐다는 증거일 뿐입니다.

이를 설명하기 위해, 논문은 학생들이 기하학 문제와 어떻게 작업할 수 있는지 살펴봅니다. 학생이 컴퓨터에게 특정 속성을 가진 사각형과 같은 특정 도형을 만들어 달라고 요청한다고 가정해 봅시다. 전통적인 동적 기하 프로그램에서 학생은 점을 드래그하여 도형을 만들 것이며, 컴퓨터는 마주 보는 변이 평행하다는 것과 같은 규칙을 유지하도록 보장할 것입니다. 만약 학생이 점을 드래그하여 도형이 깨진다면, 학생은 자신이 규칙을 위반했음을 알게 될 것입니다. 대규모 언어 모델을 사용하면, 학생은 말로 도형을 설명할 수 있고 컴퓨터는 그림을 생성할 것입니다. 만약 컴퓨터가 실수를 하여 변들이 실제로 평행하지 않더라도, 학생이 수학적으로 검증하지 않는다면 이를 알아차리지 못할 수 있습니다. 기계가 구축의 작업을 수행했지만, 학생은 제약 조건을 이해하는 작업을 수행하지 않은 것입니다. 논문은 진정한 학습은 학생이 기계의 출력을 보고, 그것이 자신의 정신적 이미지와 일치하는지 확인하고, 만약 틀렸다면 어떻게 수정할지 설명해야 할 때 일어난다고 제안합니다.

또한 연구는 이 새로운 방식의 작업이 무엇을 기술로 간주하는지를 바꾼다는 점을 강조합니다. 과거에는 그래프를 그리거나 방정식을 푸는 능력이 학생의 기술을 직접적으로 측정하는 척도였습니다. 이제 학생이 컴퓨터와 대화하여 정답을 얻을 수 있다면, 우리는 그들이 기술을 배웠는지 아니면 단지 올바른 질문을 던지는 법을 배웠는지 확신할 수 없습니다. 논문은 우리는 다른 형태의 학습 증거를 찾아야 한다고 제안합니다. 우리는 학생들이 컴퓨터의 답이 왜 옳은지 설명할 수 있는지, 혹은 컴퓨터가 틀렸을 때 이를 찾아낼 수 있는지 확인해야 합니다. 우리는 그들이 기계가 생성한 예시를 가져와 더 깊은 규칙을 이해하는 데 사용할 수 있는지 확인해야 합니다. 컴퓨터에 프롬프트를 주는 능력은 새로운 기술이지만, 그것은 수학을 하는 능력과는 다릅니다. 논문은 과정에서 가장 중요한 부분은 더 이상 답을 생산하는 것이 아니라 아이디어의 조율이라고 주장합니다. 학생은 여전히 머릿속에 수학의 다양한 버전들을 담아두고 그것이 타당한지 검증하는 역할을 해야 합니다.

결국, 논문은 대규모 언어 모델이 수학 교육의 문제를 해결하는 마법 지팡이도 아니고, 인간의 이해를 대체하는 위협도 아니라고 결론짓습니다. 이들은 작업의 균형을 이동시키는 새로운 종류의 환경입니다. 이들은 그리기와 계산이라는 무거운 짐을 대신 짊어짐으로써, 인간의 정신이 아이디어를 설명하고 비판하고 정교화하는 데 집중할 수 있도록 자유롭게 해줍니다. 그러나 이러한 변화에는 새로운 종류의 경계심이 필요합니다. 교사와 학생은 기계의 정답 생성 능력과 인간의 수학적 이해 능력을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 논문은 이러한 도구들과 함께하는 수학 교육의 미래가 최종 결과물보다는 아이디어 사이의 관계에 초점을 맞추는 데 달려 있다고 제안합니다. 목표는 기계를 사용하여 가능성을 생성하되, 무엇이 참인지, 무엇이 일관적인지, 그리고 무엇을 배울 가치가 있는지를 결정하는 주체로서 인간을 과정 속에 계속 머물게 하는 것입니다. 기계는 집을 지을 수 있지만, 청사진을 이해해야 하는 것은 여전히 인간입니다.