Beyond Display: From Dynamic Representation to Generative Representational Activity with Large Language Models

Wiskunde is altijd een taal van plaatjes, symbolen en verhalen geweest. Eeuwenlang leerden studenten een probleem dat in woorden was geschreven te vertalen naar een tekening, of een tekening naar een reeks getallen, en weer terug. Deze vertalingen waren zwaar werk; ze vereisten dat de geest verschillende versies van hetzelfde idee tegelijkertijd in stand hield. In de afgelopen decennia hebben computers dit landschap veranderd. Ze introduceerden hulpmiddelen die direct grafieken konden tekenen of vergelijkingen konden oplossen zonder dat een menselijke hand een potlood bewoog. Deze hulpmiddelen hebben geen nieuwe soorten wiskunde uitgevonden, maar ze hebben veranderd hoe mensen met de oude vormen omgaan. Ze maakten het mogelijk om te zien hoe een vorm verandert wanneer je aan een hoek trekt, of hoe een grafiek verschuift wanneer je een getal aanpast, waardoor een dynamische relatie ontstond tussen de gebruiker en de wiskunde. Nu is er een nieuw soort computerprogramma, bekend als een groot taalmodel, de klas binnengekomen. Dit zijn de systemen die een gesprek kunnen voeren, vragen kunnen beantwoorden en tekst kunnen schrijven die lijkt alsof deze door een mens is geschreven. De grote vraag voor onderwijzers en onderzoekers is of deze pratende machines slechts een ander hulpmiddel zijn voor het doen van wiskunde, of dat ze de aard van wiskundige representatie fundamenteel hebben veranderd.

Een onderzoeker aan de East Carolina University, Kwaku Adu-Gyamfi, zette zich in om deze vraag te beantwoorden door nauwkeurig te kijken naar wat deze nieuwe machines daadwerkelijk doen. Het artikel betoogt dat hoewel grote taalmodellen krachtig zijn, ze geen nieuw type wiskundig object creëren. Je kunt een computer niet vragen om een grafiek te tekenen, en het resultaat is geen nieuw soort grafiek; het is nog steeds een grafiek. Evenzo is een door een machine gegenereerde vergelijking geen nieuw soort vergelijking. De echte verandering ligt in de manier waarop de wiskunde wordt gespecificeerd en hoe het werk wordt verdeeld tussen de mens en de machine. De studie suggereert dat we moeten stoppen met het beschouwen van deze modellen als simpelweg de volgende stap in een lijn van dynamische hulpmiddelen, zoals grafische rekenmachines of geometrische software. In plaats daarvan introduceren ze een duidelijke andere manier van werken, genaamd "generatieve representationele activiteit". Dit is een mondvol, maar in gewone taal betekent het een proces waarbij een persoon een wiskundig idee beschrijft in een gewone conversatie, de computer een kandidaatversie van dat idee bouwt, en de persoon vervolgens over die versie kan praten om het te veranderen, te verfijnen of om om een andere versie te vragen, en dat alles zonder ooit een speciale code of commandotaal te hoeven leren.

Het artikel sluit zorgvuldig enkele ideeën uit die misschien voor de hand liggend lijken maar niet helemaal juist zijn. Het is niet nieuw dat computers antwoorden genereren vanuit natuurlijke taal; systemen die al meer dan een decennium bestaan kunnen een zin als "laat me de groei van een populatie zien" nemen en een grafiek produceren. Het is ook niet nieuw dat computers wiskundige objecten creëren; grafische rekenmachines en geometrische programma's doen dat al jaren. Wat nieuw is, is de specifieke combinatie van kenmerken die in deze conversationele omgevingen worden gevonden. In het verleden, als een student een grafiek wilde veranderen, moest hij vaak terug naar de oorspronkelijke opdracht of een schuifregelaar gebruiken om een getal aan te passen. Met een groot taalmodel kan de student simpelweg zeggen: "houd het startpunt hetzelfde, maar laat de tweede lijn naar beneden gaan in plaats van omhoog," en het systeem produceert een nieuwe versie op basis van die beschrijving. De sleutel is dat het gesprek zelf het instrument wordt om de wiskunde te specificeren. De student hoeft niet de exacte formele regels te kennen om de verandering door te voeren; hij hoeft alleen de relatie te beschrijven die hij wil zien.

Echter, het artikel waarschuwt dat deze gemakkelijke generatie gepaard gaat met een verborgen valstrik. Wanneer een computer een perfect uitziende grafiek of een correct uitziende tabel produceert als reactie op een gesprek, is het heel verleidelijk om aan te nemen dat de student de wiskunde erachter begrijpt. De onderzoeker betoogt dat dit een gevaarlijke aanname is. Alleen omdat de machine het object succesvol heeft gebouwd, betekent dit niet dat de student de verschillende onderdelen van het idee in zijn eigen geest heeft gecoördineerd. In een traditionele setting, als een student een grafiek tekent en vervolgens de bijbehorende vergelijking opschrijft, bewijst de handeling van het tekenen dat hij de twee ideeën met elkaar heeft verbonden. In een generatieve setting doet de machine de verbinding. De student kan om het juiste gevraagd hebben, maar hij begrijpt misschien niet waarom het antwoord van de machine juist is, of hij merkt misschien niet op als de machine een subtiele fout maakt. Het artikel wijst erop dat een correct uitziend product geen bewijs is van begrip. Het is slechts een bewijs dat de machine instructies heeft opgevolgd.

Om dit te illustreren, kijkt het artikel naar hoe studenten met een geometrieprobleem kunnen werken. Stel je voor dat een student een computer vraagt om een specifieke vorm te maken, zoals een vierzijdige figuur met bepaalde eigenschappen. In een traditioneel dynamisch geometrieprogramma bouwt de student de vorm door punten te slepen, en de computer zorgt ervoor dat de vorm trouw blijft aan de regels, zoals het parallel houden van tegenoverliggende zijden. Als de student een punt sleept en de vorm breekt, weet hij dat hij een regel heeft geschonden. Met een groot taalmodel kan de student de vorm in woorden beschrijven, en de computer genereert een plaatje. Als de computer een fout maakt en de zijden zijn in werkelijkheid niet parallel, merkt de student dit misschien niet op, tenzij hij actief de wiskunde controleert. De machine heeft het werk van de constructie gedaan, maar de student heeft niet noodzakelijkerwijs het werk van het begrijpen van de beperkingen gedaan. Het artikel suggereert dat het echte leren plaatsvindt wanneer de student de output van de machine moet bekijken, moet controleren of deze overeenkomt met zijn mentale beeld, en vervolgens moet beschrijven hoe hij het moet repareren als het fout is.

Het onderzoek benadrukt ook dat deze nieuwe manier van werken verandert wat als een vaardigheid telt. In het verleden was het vermogen van een student om een grafiek te tekenen of een vergelijking op te lossen een directe maatstaf voor hun vaardigheid. Nu, als een student het juiste antwoord kan krijgen door met een computer te praten, kunnen we niet zeker weten of ze de vaardigheid hebben geleerd of alleen hebben geleerd hoe ze de juiste vragen moeten stellen. Het artikel stelt voor dat we moeten zoeken naar ander bewijs van leren. We moeten zien of studenten kunnen uitleggen waarom het antwoord van de computer correct is, of of ze kunnen zien wanneer de computer fout zit. We moeten zien of ze een door een machine gegenereerd voorbeeld kunnen nemen en het kunnen gebruiken om een diepere regel te begrijpen. Het vermogen om een computer te instrueren (prompten) is een nieuwe vaardigheid, maar het is niet hetzelfde als het vermogen om de wiskunde te doen. Het artikel betoogt dat het belangrijkste deel van het proces niet langer de productie van het antwoord is, maar de coördinatie van de ideeën. De student moet nog steeds degene zijn die de verschillende versies van de wiskunde in zijn hoofd bij elkaar houdt en verifieert of ze kloppen.

Uiteindelijk concludeert het artikel dat grote taalmodellen geen toverstaf zijn die de problemen van het wiskundeonderwijs oplossen, noch zijn ze een bedreiging die de noodzaak van menselijk begrip vervangt. Het zijn een nieuw soort omgeving die de balans van het werk verschuift. Ze nemen het zware werk van het tekenen en rekenen over, waardoor de menselijke geest vrijkomt om zich te concentreren op het beschrijven, bekritiseren en verfijnen van ideeën. Maar deze verschuiving vereist een nieuwe vorm van waakzaamheid. Docenten en studenten moeten voorzichtig zijn dat ze het vermogen van een machine om een correct antwoord te genereren niet verwarren met het vermogen van een mens om de wiskunde te begrijpen. Het artikel suggereert dat de toekomst van het wiskundeonderwijs met deze hulpmiddelen afhangt van het behouden van de focus op de relaties tussen ideeën, in plaats van alleen op het eindproduct. Het doel is om de machine te gebruiken om mogelijkheden te genereren, maar om de mens in de loop te houden als degene die beslist wat waar is, wat consistent is en wat het waard is om geleerd te worden. De machine kan het huis bouwen, maar de mens moet nog steeds de blauwdruk begrijpen.