An End-to-End Encrypted Control Pipeline for Multi-Agent Coordination via CKKS Homomorphic Encryption

Sintesi Tecnica: Pipeline di Controllo End-to-End Criptato per la Coordinazione Multi-Agente

Definizione del Problema
La coordinazione di sistemi multi-agente basata su cloud offre significativi vantaggi computazionali, come la fusione dei sensori centralizzata e l'ottimizzazione globale. Tuttavia, questa architettura richiede che gli agenti trasmettano dati di stato grezzi (posizioni, velocità, letture dei sensori) a un server centrale in chiaro. Ciò crea un conflitto fondamentale tra l'efficienza della coordinazione e la privacy, particolarmente in ambienti avversari, operazioni militari di coalizione o contesti che coinvolgono organizzazioni concorrenti. La Crittografia Completamente Omomorfica (FHE) risolve teoricamente questo problema permettendo il calcolo su dati cifrati senza decrittazione, ma i suoi severi vincoli aritmetici — specificamente la mancanza di supporto nativo per divisioni, confronti e operazioni matriciali complesse — hanno storicamente impedito l'implementazione di un ciclo di controllo completo. Gli studi esistenti hanno affrontato singoli componenti (controllori, stimatori o ottimizzazione) in isolamento, ma un framework unificato ed end-to-end per il controllo di formazione multi-agente è rimasto fino ad ora indisponibile.

Metodologia
Gli autori propongono una pipeline di controllo end-to-end criptata per sistemi multi-agente Lineari Tempo-Invarianti (LTI) che opera interamente su dati cifrati tramite CKKS. Il design aderisce rigorosamente alle tre operazioni primitive native dello schema CKKS: addizione elemento per elemento, moltiplicazione elemento per elemento (Hadamard) e rotazione ciclica.

Le principali adattamenti metodologici includono:

1. Pre-computazione dei Guadagni: Per evitare operazioni non compatibili con CKKS come l'inversione di matrici e la risoluzione online dell'equazione di Riccati, il sistema impiega guadagni di Kalman a regime stazionario ($K_{ss}$) e guadagni di feedback ($K, K_r$) pre-computati. Questi vengono applicati come operandi in chiaro ai ciphertext, sfruttando la significativa asimmetria di costo dove le operazioni ciphertext-plaintext sono molto più economiche e introducono meno rumore rispetto alle operazioni ciphertext-ciphertext.
2. Il Metodo Diagonale per i Laplaciani: La legge di controllo del consenso richiede l'applicazione del Laplaciano del grafo ($L \otimes I_n$) al vettore di stato cifrato. Gli autori utilizzano il "metore diagonale", scomponendo il Laplaciano in una somma di diagonali cicliche. Ogni diagonale viene applicata tramite una singola rotazione CKKS seguita da una maschera in chiaro. Ciò consente che il costo dello stadio di consenso scali con il numero di diagonali cicliche non nulle piuttosto che con la dimensione della matrice, accogliendo topologie a anello (ring), toro (torus) e grafo completo entro un framework unificato.
3. Architettura della Pipeline: Il ciclo di controllo è realizzato in cinque stadi:
   • Sensori (Sensing): Gli agenti cifrano le misurazioni e le trasmettono al coordinatore.
   • Stima dello Stato (State Estimation): Il coordinatore aggiorna le stime dello stato cifrate utilizzando un filtro di Kalman a regime stazionario (prodotti matrice-vettore tramite il metodo diagonale).
   • Propagazione dello Stato (State Propagation): La matrice di sistema $A$ viene applicata allo stato cifrato.
   • Controllo del Consenso (Consensus Control): Il Laplaciano del grafo viene applicato per calcolare il termine di accoppiamento del consenso.
   • Attuazione (Actuation): Il coordinatore restituisce input di controllo cifrati, che gli agenti decifrano ed eseguono.
4. Gestione del Bootstrapping: Per gestire la profondità moltiplicativa finita di CKKS, il sistema esegue periodicamente il bootstrapping (aggiornamento del ciphertext). Gli autori modellano questo refresh periodico come un disturbo impulsivo nella dinamica dell'errore.

Contributi Chiave
Il documento presenta due contributi primari:

1. Pipeline Criptata Unificata: Presenta la prima catena di controllo completa per il controllo di formazione multi-agente che integra sensing, stima, propagazione e consenso in un'unica pipeline compatibile con CKKS. Dimostra che il metodo diagonale può gestire topologie non circolari (come i grafi a toro) in modo efficiente, non solo quelle circolari (come gli anelli).
2. Analisi dell'Errore End-to-End: Gli autori derivano un'analisi di stabilità formale e un limite di errore a regime stazionario in forma chiusa. Applicando il principio di separazione per disaccoppiare la dinamica del controllore e dell'osservatore, modellano il bootstrapping periodico come un disturbo impulsivo a tempo discreto. Derivano il ball di errore a regime stazionario $\varepsilon_{ss} = \bar{\delta}_{eff} / (1 - \rho_{cl}^{T_{boot}})$, dove $\rho_{cl}$ è il raggio spettrale a ciclo chiuso e $T_{boot}$ è il periodo di bootstrapping. Questo fornisce un'equazione di design diretta che collega i parametri CKKS, la topologia di comunicazione e l'accuratezza di tracciamento.

Risultati
Il framework è stato validato utilizzando OpenFHE.jl su uno scenario di controllo di formazione con $M=9$ agenti a doppio integratore attraverso tre topologie: un anello, un toro $3 \times 3$ e un grafo completo.

• Stabilità: Il sistema ha mantenuto un'operazione a ciclo chiuso stabile sotto cifratura per tutte le topologie.
• Accuratezza: Le traiettorie cifrate erano visivamente indistinguibili dalle traiettorie in chiaro. L'errore di tracciamento è rimasto limitato, con il gap indotto dalla cifratura che si stabilizza a circa $10^{-6}$, dominato dal rumore di bootstrapping piuttosto che dall'accumulo aritmetico.
• Costo Computazionale: Il costo dello stadio di consenso è scalato linearmente con il numero di diagonali cicliche non nulle (3 per l'anello, 7 per il toro, 9 per il grafo completo). Il tempo di step totale della pipeline è stato di circa 5,5 secondi, producendo una frequenza di aggiornamento di circa 0,18 Hz. Gli autori osservano che, sebbene questo ritmo sia lento, è praticabile per applicazioni di coordinamento supervisionato con dinamiche nell'ordine dei secondi.
• Comportamento del Rumore: Il feedback a ciclo chiuso ha gestito con successo l'accumulo di rumore CKKS, impedendo all'errore di divergere, mentre il consenso in open-loop mostrava una crescita dell'errore senza misurazioni correttive.

Significatività
Il lavoro sostiene di aver chiuso il cerchio del controllo criptato collegando tutti gli stadi del ciclo di controllo in un'unica pipeline con una garanzia di errore end-to-end. Stabilisce che la FHE è praticamente applicabile alla coordinazione multi-agente, a patto che il design del controllo tenga conto dei vincoli aritmetici specifici e delle caratteristiche del rumore di CKKS. Il limite di errore derivato offre ai professionisti uno strumento per quantificare il compromesso tra privacy e accuratezza, consentendo di sintonizzare i parametri CKKS (dimensione dell'anello) e i guadagni di controllo (raggio spettrale) per soddisfare specifici requisiti di prestazione. Il lavoro suggerisce che, sebbene gli attuali limiti della FHE restringano il framework ad applicazioni a dinamica lenta, gli sforzi di accelerazione in corso potrebbero rendere pratico il controllo criptato più veloce in futuro.