An End-to-End Encrypted Control Pipeline for Multi-Agent Coordination via CKKS Homomorphic Encryption

Technische Samenvatting: End-to-End Versleutelde Controlepijplijn voor Multi-Agent Coördinatie

Probleemstelling
Cloud-gebaseerde coördinatie van multi-agentsystemen biedt aanzienlijke computationele voordelen, zoals gecentraliseerde sensorfusie en globale optimalisatie. Deze architectuur vereist echter dat agenten ruwe toestandsgegevens (posities, snelheden, sensormetingen) in klare tekst naar een centrale server verzenden. Dit creëert een fundamenteel conflict tussen coördinatie-efficiëntie en privacy, met name in vijandige omgevingen, militaire coalitie-operaties of situaties met concurrerende organisaties. Hoewel Fully Homomorphic Encryption (FHE) dit theoretisch oplost door berekeningen op versleutelde gegevens mogelijk te maken zonder decryptie, hebben de strikte rekenkundige beperkingen ervan — specifiek het gebrek aan natuurlijke ondersteuning voor deling, vergelijkingen en complexe matrixoperaties — historisch gezien de implementatie van een volledige regelkring verhinderd. Bestaande werken hebben individuele componenten (regelaars, estimators of optimalisatie) geïsoleerd aangepakt, maar een uniforme, end-to-end versleutelde framework voor multi-agent formatiecontrole is tot nu toe niet beschikbaar geweest.

Methodologie
De auteurs stellen een end-to-end versleutelde controlepijplijn voor Lineaire Tijd-Invariante (LTI) multi-agentsystemen voor die volledig opereert op CKKS-versleutelde gegevens. Het ontwerp houdt zich strikt aan de drie primitieve operaties die inherent zijn aan het CKKS-schema: elementgewijze optelling, elementgewijze (Hadamard) vermenigvuldiging en cyclische rotatie.

Belangrijke methodologische aanpassingen omvatten:

1. Pre-computatie van Gains: Om operaties te vermijden die niet compatibel zijn met CKKS, zoals matrixinversie en online Riccati-vergelijking oplossen, maakt het systeem gebruik van vooraf berekende stationaire Kalman-gains ($K_{ss}$) en feedback-gains ($K, K_r$). Deze worden toegepast als plaintext-operanden op de ciphertexts, waarbij gebruik wordt gemaakt van de significante kostenasymmetrie waarbij operaties tussen ciphertext en plaintext veel goedkoper zijn en minder ruis introduceren dan operaties tussen twee ciphertexts.
2. De Diagonaalmethode voor Laplacians: De consensuscontrolewet vereist het toepassen van de graaf-Laplacian ($L \otimes I_n$) op de versleutelde toestandsvector. De auteurs maken gebruik van de "diagonaalmethode", waarbij de Laplacian wordt gedecomposeerd in een som van cyclische diagonalen. Elke diagonaal wordt toegepast via een enkele CKKS-rotatie gevolgd door een plaintext-masker. Hierdoor schaalt de kosten van de consensusfase met het aantal niet-nul cyclische diagonalen in plaats van de matrixdimensie, wat ring-, torus- en complete-graaftopologieën binnen een uniform kader mogelijk maakt.
3. Pijplijnarchitectuur: De controlelus wordt gerealiseerd in vijf stadia:
   • Sensing: Agenten versleutelen metingen en verzenden deze naar de coördinator.
   • State Estimation: De coördinator werkt de versleutelde toestandschattingen bij met behulp van een stationaire Kalman-filter (matrix-vectorproducten via de diagonaalmethode).
   • State Propagation: De systeemmatrix $A$ wordt toegepast op de versleutelde toestand.
   • Consensus Control: De graaf-Laplacian wordt toegepast om de consensuskoppelingsterm te berekenen.
   • Actuation: De coördinator retourneert versleutelde controle-inputs, die de agenten decoderen en uitvoeren.
4. Bootstrapping Management: Om de eindige multiplicatieve diepte van CKKS te beheren, voert het systeem periodieke bootstrapping uit (het verversen van de ciphertext). De auteurs modelleren deze periodieke verversing als een impulsieve verstoring in de foutdynamica.

Belangrijkste Bijdragen
Het artikel levert twee primaire bijdragen:

1. Uniforme Versleutelde Pijplijn: Het presenteert de eerste volledige controleketen voor multi-agent formatiecontrole die sensing, schatting, propagatie en consensus integreert in een enkele CKKS-compatibele pijplijn. Het demonstreert dat de diagonaalmethode efficiënt niet-circulant topologieën (zoals torus-grafen) kan afhandelen, en niet alleen circulant topologieën (zoals ringen).
2. End-to-End Foutanalyse: De auteurs leiden een formele stabiliteitsanalyse en een gesloten vorm van de stationaire foutgrenzen af. Door het scheidingsprincipe (separation principle) toe te passen om de regelaar- en waarnemerdynamica te ontkoppelen, modelleren zij periodieke bootstrapping als een discrete-tijd impulsieve verstoring. Zij leiden de stationaire foutbal $\varepsilon_{ss} = \bar{\delta}_{eff} / (1 - \rho_{cl}^{T_{boot}})$ af, waarbij $\rho_{cl}$ de spectrale radius van de closed-loop is en $T_{boot}$ de bootstrapping-periode. Dit biedt een directe ontwerpregel die CKKS-parameters, communicatietopologie en nauwkeurigheid aan elkaar koppelt.

Resultaten
Het framework werd gevalideerd met OpenFHE.jl in een formatiecontrole-scenario met $M=9$ dubbele-integrator agenten over drie topologieën: een ring, een $3 \times 3$ torus en een complete graaf.

• Stabiliteit: Het systeem behield een stabiele closed-loop operatie onder versleuteling voor alle topologieën.
• Nauwkeurigheid: De versleutelde trajecten waren visueel niet te onderscheiden van de plaintext-trajecten. De fout in het volgen van het traject bleef begrensd, waarbij de door versleuteling geïnduceerde kloof stabiliseerde op ongeveer $10^{-6}$, gedomineerd door bootstrapping-ruis in plaats van rekenkundige accumulatie.
• Computationele Kosten: De kosten van de consensusfase schalen lineair met het aantal niet-nul cyclische diagonalen (3 voor de ring, 7 voor de torus, 9 voor de complete graaf). De totale pijplijnstap-tijd was ongeveer 5,5 seconden, wat een updatefrequentie van ~0,18 Hz oplevert. De auteurs merken op dat hoewel deze snelheid laag is, het bruikbaar is voor supervisie-coördinatie toepassingen met dynamica op de orde van seconden.
• Ruisgedrag: De closed-loop feedback slaagde erin de accumulatie van CKKS-ruis te onderdrukken, waardoor de fout niet divergeerde, terwijl open-loop consensus foutgroei vertoonde zonder corrigerende metingen.

Betekenis
Het artikel beweert de cirkel rond te maken voor versleutelde controle door alle stadia van de controlecyclus in een enkele pijplijn te verbinden met een end-to-end foutgarantie. Het stelt vast dat FHE praktisch toepasbaar is voor multi-agent coördinatie, mits het controledesign rekening houdt met de specifieke rekenkundige beperkingen en ruiskenmerken van CKKS. De afgeleide foutgrens biedt beoefenaars een instrument om de trade-off tussen privacy en nauwkeurigheid te kwantificeren, waardoor zij CKKS-parameters (ringdimensie) en controle-gains (spectrale radius) kunnen afstemmen om aan specifieke prestatie-eisen te voldoen. Het werk suggereert dat hoewel de huidige FHE-beperkingen het framework beperken tot toepassingen met trage dynamica, voortdurende versnellingsinspanningen versleutelde controle in de toekomst praktisch kunnen maken.