An End-to-End Encrypted Control Pipeline for Multi-Agent Coordination via CKKS Homomorphic Encryption

기술 요약: 다중 에이전트 협업을 위한 엔드 투 엔드 암호화 제어 파이프라인

문제 정의
클라우드 기반의 다중 에이전트 시스템 협업은 중앙 집중식 센서 융합 및 전역 최적화와 같은 상당한 계산적 이점을 제공한다. 그러나 이러한 아키텍처는 에이전트가 가공되지 않은 상태 데이터(위치, 속도, 센서 측정값)를 평문(plaintext) 형태로 중앙 서버에 전송해야 함을 의미한다. 이는 적대적 환경, 연합 군사 작전, 또는 경쟁 관계에 있는 조직들이 포함된 설정에서 프라이버시와 협업 효율성 사이의 근본적인 충돌을 야기한다. 완전 동형 암호(Fully Homomorphic Encryption, FHE)는 복호화 없이 암호문에 대한 연산을 가능하게 함으로써 이론적으로 이 문제를 해결하지만, 심각한 산술적 제약 조건—특히 나눗셈, 비교 연산, 복잡한 행렬 연산에 대한 네이티브 지원의 부재—로 인해 역사적으로 완전한 제어 루프를 구현하는 데 걸림돌이 되어 왔다. 기존 연구들은 개별 구성 요소(제어기, 추정기 또는 최적화)를 분리하여 다루었으나, 다중 에이전트 형성 제어를 위한 통합된 엔드 투 엔드 암호화 프레임워크는 여전히 부재한 상태였다.

방법론
저자들은 CKKS 암호화된 데이터 상에서만 작동하는 선형 시불변(LTI) 다중 에이전트 시스템을 위한 엔드 투 엔드 암호화 제어 파이프라인을 제안한다. 이 설계는 CKKS 스킴의 네이티브 연산인 세 가지 기본 연산인 요소별 덧셈, 요소별(Hadamard) 곱셈, 그리고 순환 회전(cyclic rotation)을 엄격히 준수한다.

주요 방법론적 적응 사항은 다음과 같다:

1. 이득(Gains)의 사전 계산: 비(non)-CKKS 연산인 행렬 역행렬 및 온라인 리카티 방정식(Riccati equation) 풀기를 피하기 위해, 시스템은 사전 계산된 정상 상태 칼만 이득($K_{ss}$)과 피드백 이득($K, K_r$)을 사용한다. 이는 암호문-암호문 연산보다 암호문-평문 연산이 훨씬 저렴하고 노이즈가 적게 발생한다는 비용 비대칭성을 활용하여, 이들을 암호문에 평문 피연산자로 적용한다.
2. 라플라시안을 위한 대각선 방법(Diagonal Method): 합의 제어 법칙(consensus control law)은 그래프 라플라시안($L \otimes I_n$)을 암호화된 상태 벡터에 적용해야 한다. 저자들은 라플라시안을 순환 대각선(cyclic diagonals)의 합으로 분해하는 "대각선 방법"을 활용한다. 각 대각선은 단일 CKKS 회전과 평문 마스크를 통해 적용된다. 이를 통해 합의 단계의 비용이 행렬 차원이 아닌 0이 아닌 순환 대각선의 수에 따라 스케일링되도록 하며, 링(ring), 토러스(torus), 완전 그래프(complete-graph) 위상 구조를 통합된 프레임워크 내에서 수용할 수 있게 한다.
3. 파이프라인 아키텍처: 제어 루프는 다음 다섯 단계로 실현된다:
   • 센싱(Sensing): 에이전트들이 측정값을 암호화하여 코디네이터에게 전송한다.
   • 상태 추정(State Estimation): 코디데이터는 정상 상태 칼만 필터를 사용하여 암호화된 상태 추정치를 업데이트한다(대각선 방법을 통한 행렬-벡터 곱).
   • 상태 전파(State Propagation): 시스템 행렬 $A$가 암호화된 상태에 적용된다.
   • 합의 제어(Consensus Control): 그래프 라플라시안이 적용되어 합의 결합 항을 계산한다.
   • 구동(Actuation): 코디네이터는 암호화된 제어 입력을 반환하고, 에이전트들은 이를 복호화하여 실행한다.
4. 부트스트래핑 관리: CKKS의 유한한 곱셈 깊이를 관리하기 위해, 시스템은 주기적인 부트스트래핑(암호문 갱신)을 수행한다. 저자들은 이 주기적인 리프레시를 오차 역학에서의 충격적 교란(impulsive disturbance)으로 모델링한다.

주요 기여
본 논문은 두 가지 주요 기여를 한다:

1. 통합된 암호화 파이프라인: 센싱, 추정, 전파, 합의를 하나의 CKKS 호환 파이프라인으로 통합한 다중 에이전트 형성 제어를 위한 최초의 완전한 제어 체인을 제시한다. 또한, 대각선 방법이 단순 순환 그래프(링 등)뿐만 아니라 비순환 위상(토러스 등)도 효율적으로 처리할 수 있음을 입증한다.
2. 엔드 투 엔드 오차 분석: 저자들은 정식 안정성 분석과 폐쇄형 정상 상태 오차 경계(closed-form steady-state error bound)를 도출한다. 제어기와 관측기 역학을 분리하기 위해 분리 원리(separation principle)를 적용하여, 주기적 부트스트래핑을 이산 시간 충격 교란으로 모델링한다. 저자들은 정상 상태 오차 볼(error ball) $\varepsilon_{ss} = \bar{\delta}_{eff} / (1 - \rho_{cl}^{T_{boot}})$을 도출하며, 여기서 $\rho_{cl}$은 폐쇄 루프 스펙트럼 반경이고 $T_{boot}$는 부트스트래핑 주기이다. 이는 CKKS 파라미터, 통신 위상, 추적 정확도를 직접 연결하는 설계 방정식을 제공한다.

결과
프레임워크는 $M=9$의 이중 적분기(double-integrator) 에이전트를 가진 링(ring), $3 \times 3$ 토러스(torus), 완전 그래프(complete graph)의 세 가지 위상 구조에 대해 OpenFHE.jl을 사용하여 검증되었다.

• 안정성: 시스템은 모든 위상 구조에서 암호화된 상태에서도 안정적인 폐쇄 루프 동작을 유지했다.
• 정확도: 암호화된 궤적은 평문 궤적과 시각적으로 구분이 불가능했다. 추적 오차는 유계(bounded) 상태를 유지했으며, 암호화로 인한 격차는 산술적 누적보다는 부트스트래핑 노이즈에 의해 지배되어 약 $10^{-6}$ 수준에서 안정화되었다.
• 계산 비용: 합의 단계의 비용은 0이 아닌 순환 대각선의 수(링은 3개, 토러스는 7개, 완전 그래프는 9개)에 따라 선형적으로 스케일링되었다. 전체 파이프라인 단계 시간은 약 5.5초였으며, 이는 약 0.18 Hz의 업데이트 속도를 생성했다. 저자들은 이 속도가 느리지만, 초 단위의 역학을 가진 감독 협업(supervisory coordination) 애플리케이션에는 실행 가능하다는 점을 언급했다.
• 노이즈 동작: 폐쇄 루프 피드백은 CKKS 노이즈의 누적을 성공적으로 억제하여 오차가 발산하는 것을 방지한 반면, 개방 루프 합의(open-loop consensus)는 교정적 측정 없이 오차가 증가하는 모습을 보였다.

의의
본 논문은 제어 주기의 모든 단계를 단일 파이프라인으로 연결하여 엔드 투 엔드 오차 보장을 갖춘 암호화 제어의 루프를 완성했다고 주장한다. 이는 FHE가 제어 설계가 CKKS의 특정 산술적 제약과 노이즈 특성을 고려하도록 설계된다면 다중 에이전트 협업에 실질적으로 적용 가능하다는 것을 입증한다. 도출된 오차 경계는 실무자들에게 프라이버시와 정확도 사이의 트레이드오프를 정량화할 수 있는 도구를 제공하며, 이를 통해 특정 성능 요구 사항을 충족하도록 CKKS 파라미터(링 차원)와 제어 이득(스펙트럼 반경)을 조정할 수 있게 한다. 본 연구는 현재의 FHE 한계가 프레임워크를 느린 역학 애플리케이션으로 제한하고 있지만, 지속적인 가속화 노력이 향-후 더 빠른 암호화 제어를 실용적으로 만들 수 있음을 시사한다.