An End-to-End Encrypted Control Pipeline for Multi-Agent Coordination via CKKS Homomorphic Encryption

技术摘要：用于多智能体协同的端到端加密控制流水线

问题陈述
基于云端的多智能体系统协同能够提供显著的计算优势，例如集中式传感器融合和全局优化。然而，这种架构要求智能体必须向中央服务器传输明文形式的原始状态数据（位置、速度、传感器读数）。这在对抗性环境、联盟军事行动或涉及竞争组织的情境下，造成了协调效率与隐私保护之间的根本冲突。虽然全同态加密（FHE）在理论上通过允许在不解密的情况下对密文进行计算解决了这一问题，但其严苛的算术限制——特别是缺乏对除法、比较运算和复杂矩阵运算的原生支持——在历史上阻碍了完整控制环路的实现。现有研究仅针对单个组件（控制器、估计器或优化器）进行孤立处理，而一个统一的、用于多智能体编队控制的端到端加密框架一直处于空白状态。

方法论
作者提出了一种针对线性时不变（LTI）多智能体系统的端到端加密控制流水线，该流水线完全在 CKKS 加密数据上运行。其设计严格遵循 CKKS 方案中三种原生的基本操作：逐元素加法、逐元素（Hadamard）乘法以及循环旋转。

关键的方法论改进包括：

1. 增益预计算： 为了避免非 CKKS 操作（如矩阵求逆和在线 Riccati 方程求解），系统采用了预计算的稳态卡尔曼增益（$K_{ss}$）和反馈增益（$K, K_r$）。这些增益作为明文操作数应用于密文，利用了密文-明文运算比密文-密文运算成本更低且引入噪声更少的显著不对称性。
2. 拉普拉斯矩阵的对角法： 一致性控制律需要将图拉普拉斯矩阵（$L \otimes I_n$）应用于加密的状态向量。作者利用“对角法”，将拉普拉斯矩阵分解为若干个循环对角阵之和。每个对角阵通过一次 CKKS 旋转结合一个明文掩码来应用。这使得一致性阶段的成本随非零循环对角线的数量而非矩阵维度进行缩放，从而在一个统一的框架内兼容环形、环面（torus）和完全图拓扑结构。
3. 流水线架构： 控制环路由五个阶段组成：
   • 感知： 智能体加密测量值并将其传输至协调器。
   • 状态估计： 协调器使用稳态卡尔曼滤波器更新加密的状态估计（通过对角法进行矩阵-向量乘法）。
   • 状态传播： 系统矩阵 $A$ 被应用于加密的状态。
   • 一致性控制： 应用图拉普拉斯矩阵以计算一致性耦合项。
   • 执行： 协调器返回加密的控制输入，智能体对其进行解密并执行。
4. 自举管理（Bootstrapping Management）： 为了管理 CKKS 有限的乘法深度，系统执行周期性的自举（刷新密文）。作者将这种周期性刷新建模为误差动力学中的脉冲扰动。

核心贡献
本文有两个主要贡献：

1. 统一的加密流水线： 提出了第一个完整的用于多智能体编队控制的控制链，它将感知、估计、传播和一致性整合进一个单一的、兼容 CKKS 的流水线中。研究表明，对角法不仅能高效处理循环拓扑（如环形图），还能处理非循环拓扑（如环面图）。
2. 端到端误差分析： 作者推导了形式化的稳定性分析和闭合形式的稳态误差界限。通过应用分离原理来解耦控制器和观测器动力学，他们将周期性自举建模为离散时间脉冲扰动。他们推导出了稳态误差球 $\varepsilon_{ss} = \bar{\delta}_{eff} / (1 - \rho_{cl}^{T_{boot}})$，其中 $\rho_{cl}$ 是闭环谱半径，$T_{boot}$ 是自举周期。这提供了一个直接的设计方程，将 CKKS 参数、通信拓扑和跟踪精度联系起来。

结果
该框架使用 OpenFHE.jl 在包含 $M=9$ 个双积分器智能体的编队控制场景下进行了验证，涵盖了三种拓扑结构：环形图、$3 \times 3$ 环面图和完全图。

• 稳定性： 在加密条件下，系统在所有拓扑结构下均保持了稳定的闭环运行。
• 准确性： 加密轨迹在视觉上与明文轨迹无法区分。跟踪误差保持在有界范围内，加密引起的差距稳定在约 $10^{-6}$，这主要由自举噪声而非算术累积引起。
• 计算成本： 一致性阶段的成本随非零循环对角线的数量线性缩放（环形图为 3，环面图为 7，完全图为 9）。总流水线单步耗时约为 5.5 秒，产生约 0.18 Hz 的更新频率。作者指出，虽然该速率较慢，但对于秒级动态的监督协调应用是可行的。
• 噪声行为： 闭环反馈成功抑制了 CKKS 噪声的累积，防止了误差发散；相比之下，开环一致性显示出由于缺乏纠正性测量而导致的误差增长。

意义
本文声称通过将控制周期的所有阶段连接到单一流水线中，完成了对加密控制的闭环，并提供了端到端的误差保证。它证明了 FHE 在实践中可以应用于多智能体协调，前提是控制设计必须考虑到 CKKS 特有的算术约束和噪声特性。推导出的误差界限为从业者提供了一个量化隐私-精度权衡的工具，使其能够根据特定的性能需求来调整 CKKS 参数（环维度）和控制增益（谱半径）。这项工作表明，虽然目前的 FHE 局限性将该框架限制在慢动态应用领域，但持续的加速努力可能会使更快速的加密控制变得切实可行。