Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

기술적 요약: 명시적 강도 표면을 가진 결속 위상장 파괴

문제 제기
표준 위상장 파괴 방법은 근본적으로 그리피스 (Griffith) 의 취성 파괴 이론에 기반하고 있습니다. 결과적으로 이러한 방법들은 재료 강도에 대한 고유한 처방이 부재하여, 균열 핵생성이 임의의 기준이나 정규화 매개변수 (위상장 길이 척도) 에 의존하게 되며 물리적 항복 표면에는 의존하지 않습니다. 또한, 이러한 방법들은 결속 파괴 거동과 연성 응답을 포착하는 데 어려움을 겪는데, 그 이유는 열화 함수가 일반적으로 단축 인장에 대해 보정되어 다축 하중이나 압력 의존성 강화로 자연스럽게 확장되지 않기 때문입니다. 최근의 고유변형 기반 공식화 (예: Vicentini 등, Bourdin 등) 는 파괴 고유변형을 도입하여 재료 강도와 파괴 에너지를 성공적으로 분리했지만, 그 구현은 전역 에너지 최소화 프레임워크에 의존합니다. 이 접근법은 고유변형을 추가적인 장 변수로 취급하여 추가적인 전역 자유도를 도입하고 특수한 소프트웨어를 요구하므로, 적분점에서 점별적으로 구성 모델을 평가하는 표준 유한요소 (FE) 코드와의 통합을 방해합니다.

방법론
본 연구는 고유변형 기반 결속 위상장 모델을 국소 구성 모델로 재구성하여, 추가적인 전역 자유도 없이 표준 FE 코드에 통합될 수 있도록 합니다. 이는 소성 반전 매핑 (return-mapping) 방식과 유사합니다.

• 지배 방정식: 이 프레임워크는 탄성 에너지 (변위와 파괴 고유변형에 기반), 위상장 매개변수 $\phi$를 통해 분포된 파괴 에너지, 그리고 강도 포텐셜로 구성된 총 에너지 범함수를 활용합니다. 탄성 변형은 $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$로 정의되며, 여기서 $\eta$는 파괴 고유변형을 나타냅니다.
• 국소 구성 공식화: 핵심 혁신은 고유변형 진화를 완전히 적분점 수준에서 해결하는 데 있습니다. 고유변형은 $\eta = \lambda G(\varepsilon)$로 정의되며, 여기서 $\lambda$는 승수이고 $G$는 변형 상태에 의존하는 방향 함수입니다. 이를 통해 구성 업데이트는 전역적으로가 아니라 소성과 유사하게 국소적으로 뉴턴 - 랩슨 (Newton-Raphson) 방식을 사용하여 해결될 수 있습니다.
• 강도 기준: 두 가지 구별되는 강도 포텐셜이 구현되었습니다:
  1. 비연속 $r_1$ 기준: 인장 ($f_t$) 및 전단 ($f_s$) 강도가 독립적이며, 침투를 방지하기 위해 높은 압축 강도를 갖습니다.
  2. 연속 드루커 - 프라거 (Drucker-Prager) 유사 기준: 압축 하에서의 압력 의존성 강화를 포착합니다. 인장 및 압축 영역 간의 전이를 지시하기 위해 기준 변형 매개변수 ($\varepsilon_{ref}$) 를 사용하여 매끄러운 파괴 표면을 보장합니다.
• 알고리즘 구현: 저자들은 전역 뉴턴 - 랩슨 솔버의 견고한 수렴을 보장하기 위해 매끄럽고 비연속적인 기준 모두에 대한 일관된 접선 연산자를 유도했습니다. 변위와 고유변형을 먼저 풀고 그 다음 위상장 변수를 풀며 수렴할 때까지 반복하는 교차 해법 (staggered solution scheme) 이 사용되었습니다. 구현은 2 차 라그랑주 요소를 사용하며 FEniCSx 로 코딩되었습니다.

주요 기여

1. 국소 반전 매핑 공식화: 주요 기여는 고유변형 진로를 국소 구성 모델로 재구성한 것입니다. 이는 추가적인 전역 자유도의 필요성을 제거하여, 기존 FE 코드에서 표준 위상장 모델의 '대체 (drop-in)'로 결속 위상장 모델을 구현할 수 있게 합니다.
2. 명시적 강도 표면: 이 방법은 균열 핵생성을 위한 재료 강도 표면을 명시적으로 처방하여, 이를 파괴 에너지 방출률 ($G_c$) 로부터 분리합니다. 이를 통해 핵생성 응력과 전파 에너지를 독립적으로 제어할 수 있습니다.
3. 일관된 접선 연산자: 매끄럽고 비연속적인 강도 표면에 대한 폐쇄형 일관된 접선 연산자의 유도는 전역 솔버에서의 수치적 안정성과 2 차 수렴 속도를 보장합니다.
4. 압력 의존성 기준: 매끄러운 드루커 - 프라거 유사 기준의 도입은 압축 하에서의 압력 의존성 강화를 모델링할 수 있게 하며, 이는 표준 위상장 공식화에서 종종 결여된 기능입니다.

결과 및 검증
이 프레임워크는 세 가지 벤치마크 문제에 대해 검증되었습니다:

• 구멍이 있는 판 (인장/압축): 요소 크기가 위상장 길이 척도에 비해 충분히 작을 때 ($\ell/dx \geq 2$), 모델은 메쉬 독립적인 거동을 보입니다. $G_c$가 증가함에 따라 취성에서 결속 거동으로의 전이를 정확히 포착합니다. 압축 하에서 모델은 침투를 방지하고 전단대 형성을 정확히 예측하지만, 낮은 $G_c$에서는 수평 인장 균열과 대각 전단 균열 사이의 경쟁이 관찰됩니다.
• 단일 에지 노치 판 (전단): 모델은 혼합 모드 파괴를 성공적으로 포착합니다. 낮은 기준 변형 (높은 압축 강도) 을 가진 드루커 - 프라거 유사 기준을 사용하면, 균열 경로가 전단 주도에서 인장 주로 전환되어 임의의 기준 없이 복잡한 응력 상태를 처리할 수 있음을 보여줍니다.
• 동적 파괴: 동적 하중 시나리오에서 모델은 균열 분기 현상을 자연스럽게 포착합니다. 결과는 $G_c$를 증가시키면 균열 분기가 억제되고 전파 속도가 감소하며, 강도 표면이 초기 핵생성을 지배함을 보여줍니다. 모델은 최대 하중 및 균열 경로와 관련하여 메쉬 독립적이고 길이 척도 독립적인 결과를 생성합니다.

의의 및 주장
이 논문은 이 프레임워크가 결속 파괴 과정을 시뮬레이션하기 위한 강력하고 유연한 도구를 제공한다고 주장합니다. 강도 표면을 파괴 에너지 및 위상장 길이 척도로부터 분리함으로써, 이 방법은 다음을 가능하게 합니다:

• 처방된 재료 강도에 기반한 균열 핵생성 예측.
• 파괴 에너지 방출률 ($G_c$) 을 통해서만 균열 전파 및 취성 - 결속 전이를 제어.
• 임의의 기준 없이 균열 분기 및 혼합 모드 전파와 같은 복잡한 현상 시뮬레이션.
• 전역 솔버 또는 요소 공식을 수정하지 않고 표준 유한요소 코드에 원활하게 통합.

저자들은 길이 척도 $\ell$이 위상장 분포 폭을 위한 수치적 정규화 매개변수로서만 작용하며, 메쉬가 충분히 세분화되어 있다면 물리적 재료 강도나 에너지 소산에는 영향을 미치지 않는다고 강조합니다. 소스 코드는 추가적인 적용 및 검증을 촉진하기 위해 공개적으로 제공됩니다.