Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

Technisches Fazit: Kohäsive Phasenfeld-Rissbildung mit expliziter Festigkeitsoberfläche

Problemstellung
Standard-Phasenfeld-Rissmethoden sind grundlegend in der Griffithschen Theorie der spröden Bruchmechanik verankert. Folglich fehlt ihnen eine inhärente Vorschrift für die Materialfestigkeit, wodurch die Risskeimbildung von ad-hoc-Kriterien oder dem Regularisierungsparameter (Phasenfeld-Längenskala) abhängt, anstatt von einer physikalischen Fließfläche. Darüber hinaus haben diese Methoden Schwierigkeiten, kohäsives Bruchverhalten und duktile Antworten zu erfassen, da die Degradationsfunktionen typischerweise für einachsige Zugbelastung kalibriert sind und sich nicht natürlich auf mehrachsige Belastungen oder druckabhängige Verstärkung erstrecken. Während neuere formulationsbasierte Ansätze (z. B. Vicentini et al., Bourdin et al.) die Materialfestigkeit erfolgreich von der Bruchenergie entkoppeln, indem sie Bruch-Eigenverzerrungen einführen, beruht ihre Implementierung auf globalen Energie-Minimierungsrahmen. Dieser Ansatz behandelt Eigenverzerrungen als zusätzliche Feldvariablen, führt zusätzliche globale Freiheitsgrade ein und erfordert spezialisierte Software, was die Integration in Standard-Finite-Elemente-(FE)-Codes behindert, die konstitutive Modelle punktweise an Integrationspunkten auswerten.

Methodik
Diese Arbeit reformuliert das eigenverzerrungsbasierte kohäsive Phasenfeldmodell als lokales konstitutives Modell, analog zu Rückprojektionsverfahren der Plastizität, um eine Integration in Standard-FE-Codes ohne zusätzliche globale Freiheitsgrade zu ermöglichen.

• Steuerungsgleichungen: Das Framework nutzt ein Gesamtenergie-Funktional, das elastische Energie (basierend auf Verschiebung und Bruch-Eigenverzerrungen), Bruchenergie (verteilt über einen Phasenfeld-Parameter $\phi$) und ein Festigkeitspotential umfasst. Die elastische Dehnung ist definiert als $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$, wobei $\eta$ die Bruch-Eigenverzerrung darstellt.
• Lokale konstitutive Formulierung: Eine Schlüsselinnovation ist die Auflösung der Eigenverzerrungsentwicklung vollständig auf Ebene der Integrationspunkte. Die Eigenverzerrungen sind definiert als $\eta = \lambda G(\varepsilon)$, wobei $\lambda$ ein Multiplikator und $G$ eine Richtungsfunktion ist, die vom Dehnungszustand abhängt. Dies ermöglicht die lokale Lösung des konstitutiven Updates mittels eines Newton-Raphson-Verfahrens, ähnlich wie bei der Plastizität, anstatt global.
• Festigkeitskriterien: Zwei verschiedene Festigkeitspotentiale werden implementiert:
  1. Nicht-glatte $r_1$-Kriterium: Verfügt über unabhängige Zugfestigkeit ($f_t$) und Scherfestigkeit ($f_s$) mit einer hohen Druckfestigkeit, um ein Durchdringen zu verhindern.
  2. Glatte Drucker-Prager-ähnliche Kriterium: Erfasst druckabhängige Verstärkung unter Druck. Es verwendet einen Referenzdehnungsparameter ($\varepsilon_{ref}$), um den Übergang zwischen Zug- und Druckbereichen vorzugeben und eine glatte Versagensfläche sicherzustellen.
• Algorithmische Implementierung: Die Autoren leiten konsistente Tangentenoperatoren für sowohl glatte als auch nicht-glatte Kriterien ab, um eine robuste Konvergenz des globalen Newton-Raphson-Lösers zu gewährleisten. Ein gestaffeltes Lösungsverfahren wird angewendet, bei dem zuerst Verschiebungen und Eigenverzerrungen und anschließend die Phasenfeldvariable gelöst werden, bis zur Konvergenz iteriert wird. Die Implementierung verwendet quadratische Lagrange-Elemente und ist in FEniCSx codiert.

Hauptbeiträge

1. Lokale Rückprojektionsformulierung: Der primäre Beitrag ist die Reformulierung der Eigenverzerrungsentwicklung in ein lokales konstitutives Modell. Dies eliminiert die Notwendigkeit zusätzlicher globaler Freiheitsgrade und ermöglicht es, das kohäsive Phasenfeldmodell als „Drop-in"-Ersatz für Standard-Phasenfeldmodelle in bestehenden FE-Codes zu implementieren.
2. Explizite Festigkeitsoberfläche: Das Verfahren schreibt explizit eine Materialfestigkeitsoberfläche für die Risskeimbildung vor und entkoppelt sie von der Bruchenergie-Freisetzungsrate ($G_c$). Dies ermöglicht die unabhängige Steuerung der Keimbildungsspannung und der Ausbreitungsenergie.
3. Konsistente Tangentenoperatoren: Die Herleitung geschlossener konsistenter Tangentenoperatoren für sowohl glatte als auch nicht-glatte Festigkeitsoberflächen gewährleistet numerische Stabilität und quadratische Konvergenzraten im globalen Löser.
4. Druckabhängiges Kriterium: Die Einführung eines glatten Drucker-Prager-ähnlichen Kriteriums ermöglicht die Modellierung druckabhängiger Verstärkung unter Druck, eine Eigenschaft, die in Standard-Phasenfeldformulierungen oft fehlt.

Ergebnisse und Validierung
Das Framework wird gegen drei Benchmark-Probleme validiert:

• Platte mit Loch (Zug/Druck): Das Modell zeigt mesh-unabhängiges Verhalten, wenn die Elementgröße ausreichend klein im Verhältnis zur Phasenfeld-Längenskala ist ($\ell/dx \geq 2$). Es erfasst korrekt den Übergang von sprödem zu kohäsivem Verhalten, wenn $G_c$ zunimmt. Unter Druck erzwingt das Modell ein Nicht-Durchdringen und sagt korrekt die Bildung von Scherbändern voraus, obwohl bei niedrigem $G_c$ eine Konkurrenz zwischen horizontaler Zugrissbildung und diagonaler Scherrissbildung beobachtet wird.
• Platte mit einseitigem Riss (Scherung): Das Modell erfasst erfolgreich Mischmodus-Brüche. Unter Verwendung des Drucker-Prager-ähnlichen Kriteriums mit niedrigen Referenzdehnungen (hohe Druckfestigkeit) geht der Risspfad von scherungsgetrieben zu zuggetrieben über, was die Fähigkeit des Modells demonstriert, komplexe Spannungszustände ohne ad-hoc-Trennschemata zu handhaben.
• Dynamische Bruchmechanik: In dynamischen Belastungsszenarien erfasst das Modell Rissverzweigungsphänomene auf natürliche Weise. Die Ergebnisse zeigen, dass eine Erhöhung von $G_c$ die Rissverzweigung unterdrückt und die Ausbreitungsgeschwindigkeit reduziert, während die Festigkeitsoberfläche die initiale Keimbildung steuert. Das Modell liefert mesh-unabhängige und längenskalenunabhängige Ergebnisse hinsichtlich der Spitzenlast und der Risspfade.

Bedeutung und Behauptungen
Die Autoren behaupten, dass dieses Framework ein leistungsfähiges und flexibles Werkzeug zur Simulation kohäsiver Bruchprozesse bietet. Durch die Entkopplung der Festigkeitsoberfläche von der Bruchenergie und der Phasenfeld-Längenskala ermöglicht das Verfahren:

• Die Vorhersage der Risskeimbildung basierend auf einer vorgeschriebenen Materialfestigkeit.
• Die Steuerung der Rissausbreitung und des Übergangs von spröde zu kohäsiv ausschließlich durch die Bruchenergie-Freisetzungsrate ($G_c$).
• Die Simulation komplexer Phänomene, wie Rissverzweigung und Mischmodus-Ausbreitung, ohne ad-hoc-Kriterien.
• Eine nahtlose Integration in Standard-Finite-Elemente-Codes ohne Modifikation globaler Löser oder Elementformulierungen.

Die Autoren betonen, dass die Längenskala $\ell$ ausschließlich als numerischer Regularisierungsparameter für die Breite der Phasenfeldverteilung wirkt und die physikalische Materialfestigkeit oder die Energiedissipation nicht beeinflusst, sofern das Netz ausreichend verfeinert ist. Der Quellcode wird offen zur Verfügung gestellt, um weitere Anwendungen und Verifizierungen zu erleichtern.