Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

Riepilogo Tecnico: Frattura a Campo di Fase Coesiva con Superficie di Resistenza Esplicita

Enunciato del Problema
I metodi standard di frattura a campo di fase sono fondamentalmente radicati nella teoria della frattura fragile di Griffith. Di conseguenza, mancano di una prescrizione intrinseca per la resistenza del materiale, rendendo la nucleazione delle cricche dipendente da criteri ad hoc o dal parametro di regolarizzazione (scala di lunghezza del campo di fase) piuttosto che da una superficie di snervamento fisica. Inoltre, questi metodi faticano a catturare il comportamento di frattura coesiva e le risposte duttili, poiché le funzioni di degradazione sono tipicamente calibrate per la trazione uniassiale e non si estendono naturalmente al carico multiassiale o al rinforzo dipendente dalla pressione. Sebbene recenti formulazioni basate sulle auto-deformazioni (ad esempio, Vicentini et al., Bourdin et al.) abbiano decouplato con successo la resistenza del materiale dall'energia di frattura introducendo auto-deformazioni di frattura, la loro implementazione si basa su framework di minimizzazione globale dell'energia. Questo approccio tratta le auto-deformazioni come variabili di campo aggiuntive, introducendo gradi di libertà globali extra e richiedendo software specializzati, il che ostacola l'integrazione nei codici standard agli elementi finiti (FE) che valutano i modelli costitutivi punto per punto nei punti di integrazione.

Metodologia
Questo lavoro riformula il modello a campo di fase coesivo basato su auto-deformazioni come un modello costitutivo locale, analogo agli schemi di mappatura di ritorno della plasticità, per consentire l'integrazione nei codici FE standard senza gradi di libertà globali aggiuntivi.

• Equazioni Governing: Il framework utilizza un funzionale energetico totale comprendente energia elastica (basata su spostamenti e auto-deformazioni di frattura), energia di frattura (distribuita tramite un parametro di campo di fase $\phi$) e un potenziale di resistenza. La deformazione elastica è definita come $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$, dove $\eta$ rappresenta l'auto-deformazione di frattura.
• Formulazione Costitutiva Locale: Un'innovazione chiave è la risoluzione dell'evoluzione delle auto-deformazioni interamente a livello del punto di integrazione. Le auto-deformazioni sono definite come $\eta = \lambda G(\varepsilon)$, dove $\lambda$ è un moltiplicatore e $G$ è una funzione di direzione dipendente dallo stato di deformazione. Ciò permette di risolvere l'aggiornamento costitutivo localmente utilizzando uno schema di Newton-Raphson, simile alla plasticità, piuttosto che globalmente.
• Criteri di Resistenza: Sono implementati due potenziali di resistenza distinti:
  1. Criterio Non Liscio $r_1$: Presenta resistenze indipendenti alla trazione ($f_t$) e al taglio ($f_s$) con un'alta resistenza a compressione per imporre la non-penetrazione.
  2. Criterio Liscio Simile a Drucker-Prager: Cattura il rinforzo dipendente dalla pressione sotto compressione. Utilizza un parametro di deformazione di riferimento ($\varepsilon_{ref}$) per dettare la transizione tra regimi di trazione e compressione, garantendo una superficie di rottura liscia.
• Implementazione Algoritmica: Gli autori derivano operatori tangenti consistenti per entrambi i criteri lisci e non lisci per garantire una convergenza robusta del solver globale Newton-Raphson. Viene adottato uno schema di soluzione sfalsata, risolvendo prima per gli spostamenti e le auto-deformazioni, seguito dalla variabile di campo di fase, iterando fino alla convergenza. L'implementazione utilizza elementi di Lagrange quadratici ed è codificata in FEniCSx.

Contributi Chiave

1. Formulazione Locale di Mappatura di Ritorno: Il contributo principale è la riformulazione dell'evoluzione delle auto-deformazioni in un modello costitutivo locale. Questo elimina la necessità di gradi di libertà globali aggiuntivi, permettendo al modello a campo di fase coesivo di essere implementato come sostituto "drop-in" dei modelli a campo di fase standard nei codici FE esistenti.
2. Superficie di Resistenza Esplicita: Il metodo prescrive esplicitamente una superficie di resistenza del materiale per la nucleazione delle cricche, decouplandola dal tasso di rilascio dell'energia di frattura ($G_c$). Ciò permette il controllo indipendente della tensione di nucleazione e dell'energia di propagazione.
3. Operatori Tangenti Consistenti: La derivazione di operatori tangenti consistenti in forma chiusa per entrambe le superfici di resistenza lisce e non lisce garantisce stabilità numerica e tassi di convergenza quadratica nel solver globale.
4. Criterio Dipendente dalla Pressione: L'introduzione di un criterio liscio simile a Drucker-Prager permette la modellazione del rinforzo dipendente dalla pressione sotto compressione, una caratteristica spesso assente nelle formulazioni standard a campo di fase.

Risultati e Validazione
Il framework è validato contro tre problemi di riferimento:

• Lastra con Foro (Trazione/Compressione): Il modello dimostra un comportamento indipendente dalla mesh quando la dimensione dell'elemento è sufficientemente piccola rispetto alla scala di lunghezza del campo di fase ($\ell/dx \geq 2$). Cattura correttamente la transizione da comportamento fragile a coesivo all'aumentare di $G_c$. Sotto compressione, il modello impone la non-penetrazione e predice correttamente la formazione di bande di taglio, sebbene si osservi una competizione tra cricche da trazione orizzontali e cricche da taglio diagonali a bassi valori di $G_c$.
• Lastra con Intaglio sul Bordo Singolo (Taglio): Il modello cattura con successo la frattura in modalità mista. Utilizzando il criterio simile a Drucker-Prager con basse deformazioni di riferimento (alta resistenza a compressione), il percorso della cricca transita da guidato dal taglio a guidato dalla trazione, dimostrando la capacità del modello di gestire stati di sforzo complessi senza schemi di separazione ad hoc.
• Frattura Dinamica: In scenari di carico dinamico, il modello cattura naturalmente i fenomeni di ramificazione delle cricche. I risultati mostrano che l'aumento di $G_c$ sopprime la ramificazione delle cricche e riduce la velocità di propagazione, mentre la superficie di resistenza governa la nucleazione iniziale. Il modello produce risultati indipendenti dalla mesh e dalla scala di lunghezza riguardo al carico di picco e ai percorsi delle cricche.

Significato e Affermazioni
Il documento afferma che questo framework fornisce uno strumento potente e flessibile per simulare processi di frattura coesiva. Decouplando la superficie di resistenza dall'energia di frattura e dalla scala di lunghezza del campo di fase, il metodo permette:

• La previsione della nucleazione delle cricche basata su una resistenza del materiale prescritta.
• Il controllo della propagazione delle cricche e della transizione da fragile a coesiva esclusivamente attraverso il tasso di rilascio dell'energia di frattura ($G_c$).
• La simulazione di fenomeni complessi, come la ramificazione delle cricche e la propagazione in modalità mista, senza richiedere criteri ad hoc.
• Un'integrazione senza soluzione di continuità nei codici standard agli elementi finiti senza modificare i solver globali o le formulazioni degli elementi.

Gli autori sottolineano che la scala di lunghezza $\ell$ agisce esclusivamente come parametro di regolarizzazione numerica per la larghezza della distribuzione del campo di fase e non influenza la resistenza fisica del materiale o la dissipazione di energia, a condizione che la mesh sia sufficientemente raffinata. Il codice sorgente è reso pubblicamente disponibile per facilitare ulteriori applicazioni e verifiche.