Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

Resumen Técnico: Fractura de Campo de Fase Cohesiva con una Superficie de Resistencia Explícita

Planteamiento del Problema
Los métodos estándar de fractura de campo de fase se fundamentan esencialmente en la teoría de fractura frágil de Griffith. En consecuencia, carecen de una prescripción inherente para la resistencia del material, lo que hace que la nucleación de grietas dependa de criterios ad hoc o del parámetro de regularización (escala de longitud del campo de fase) en lugar de una superficie de fluencia física. Además, estos métodos tienen dificultades para capturar el comportamiento de fractura cohesiva y las respuestas dúctiles, ya que las funciones de degradación suelen estar calibradas para tracción uniaxial y no se extienden naturalmente a cargas multiaxiales o al endurecimiento dependiente de la presión. Aunque las formulaciones recientes basadas en eigenstrains (por ejemplo, Vicentini et al., Bourdin et al.) desvinculan con éxito la resistencia del material de la energía de fractura mediante la introducción de eigenstrains de fractura, su implementación depende de marcos de minimización global de energía. Este enfoque trata las eigenstrains como variables de campo adicionales, introduciendo grados de libertad globales extra y requiriendo software especializado, lo que dificulta su integración en códigos estándar de elementos finitos (EF) que evalúan modelos constitutivos punto a punto en los puntos de integración.

Metodología
Este trabajo reformula el modelo de campo de fase cohesivo basado en eigenstrains como un modelo constitutivo local, análogo a los esquemas de mapeo de retorno de plasticidad, para permitir su integración en códigos estándar de EF sin grados de libertad globales adicionales.

• Ecuaciones Gobernantes: El marco utiliza un funcional de energía total que comprende energía elástica (basada en desplazamientos y eigenstrains de fractura), energía de fractura (distribuida mediante un parámetro de campo de fase $\phi$) y un potencial de resistencia. La deformación elástica se define como $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$, donde $\eta$ representa la eigenstrain de fractura.
• Formulación Constitutiva Local: Una innovación clave es la resolución de la evolución de eigenstrains completamente a nivel del punto de integración. Las eigenstrains se definen como $\eta = \lambda G(\varepsilon)$, donde $\lambda$ es un multiplicador y $G$ es una función direccional dependiente del estado de deformación. Esto permite que la actualización constitutiva se resuelva localmente utilizando un esquema de Newton-Raphson, similar a la plasticidad, en lugar de globalmente.
• Criterios de Resistencia: Se implementan dos potenciales de resistencia distintos:
  1. Criterio no suave $r_1$: Presenta resistencias a tracción ($f_t$) y a cortante ($f_s$) independientes con una alta resistencia a compresión para imponer la no penetración.
  2. Criterio suave tipo Drucker-Prager: Captura el endurecimiento dependiente de la presión bajo compresión. Utiliza un parámetro de deformación de referencia ($\varepsilon_{ref}$) para dictar la transición entre los regímenes de tracción y compresión, asegurando una superficie de falla suave.
• Implementación Algorítmica: Los autores derivan operadores tangentes consistentes para criterios tanto suaves como no suaves para garantizar una convergencia robusta del solucionador global de Newton-Raphson. Se emplea un esquema de solución escalonada, resolviendo primero desplazamientos y eigenstrains, seguido por la variable de campo de fase, iterando hasta la convergencia. La implementación utiliza elementos de Lagrange cuadráticos y está codificada en FEniCSx.

Contribuciones Clave

1. Formulación de Mapeo de Retorno Local: La contribución principal es la reformulación de la evolución de eigenstrains en un modelo constitutivo local. Esto elimina la necesidad de grados de libertad globales adicionales, permitiendo que el modelo de campo de fase cohesivo se implemente como un reemplazo "plug-and-play" de los modelos de campo de fase estándar en códigos de EF existentes.
2. Superficie de Resistencia Explícita: El método prescribe explícitamente una superficie de resistencia del material para la nucleación de grietas, desvinculándola de la tasa de liberación de energía de fractura ($G_c$). Esto permite el control independiente del estrés de nucleación y la energía de propagación.
3. Operadores Tangentes Consistentes: La derivación de operadores tangentes consistentes en forma cerrada para superficies de resistencia tanto suaves como no suaves garantiza la estabilidad numérica y tasas de convergencia cuadrática en el solucionador global.
4. Criterio Dependiente de la Presión: La introducción de un criterio suave tipo Drucker-Prager permite modelar el endurecimiento dependiente de la presión bajo compresión, una característica a menudo ausente en las formulaciones estándar de campo de fase.

Resultados y Validación
El marco se valida frente a tres problemas de referencia:

• Placa con Orificio (Tracción/Compresión): El modelo demuestra un comportamiento independiente de la malla cuando el tamaño del elemento es suficientemente pequeño en relación con la escala de longitud del campo de fase ($\ell/dx \geq 2$). Captura correctamente la transición de comportamiento frágil a cohesivo a medida que aumenta $G_c$. Bajo compresión, el modelo impone la no penetración y predice correctamente la formación de bandas de corte, aunque se observa una competencia entre la fisuración por tracción horizontal y la fisuración por corte diagonal a bajos valores de $G_c$.
• Placa con Entalla de Borde Único (Corte): El modelo captura con éxito la fractura de modo mixto. Utilizando el criterio tipo Drucker-Prager con bajas deformaciones de referencia (alta resistencia a compresión), la trayectoria de la grieta transita de impulsada por corte a impulsada por tracción, demostrando la capacidad del modelo para manejar estados de tensión complejos sin esquemas de división ad hoc.
• Fractura Dinámica: En escenarios de carga dinámica, el modelo captura fenómenos de ramificación de grietas de manera natural. Los resultados muestran que aumentar $G_c$ suprime la ramificación de grietas y reduce la velocidad de propagación, mientras que la superficie de resistencia gobierna la nucleación inicial. El modelo produce resultados independientes de la malla y de la escala de longitud en cuanto a la carga máxima y las trayectorias de grietas.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que este marco proporciona una herramienta poderosa y flexible para simular procesos de fractura cohesiva. Al desvincular la superficie de resistencia de la energía de fractura y de la escala de longitud del campo de fase, el método permite:

• La predicción de la nucleación de grietas basada en una resistencia del material prescrita.
• El control de la propagación de grietas y la transición de frágil a cohesiva únicamente a través de la tasa de liberación de energía de fractura ($G_c$).
• La simulación de fenómenos complejos, como la ramificación de grietas y la propagación de modo mixto, sin requerir criterios ad hoc.
• Una integración fluida en códigos estándar de elementos finitos sin modificar solucionadores globales ni formulaciones de elementos.

Los autores enfatizan que la escala de longitud $\ell$ actúa únicamente como un parámetro de regularización numérica para el ancho de la distribución del campo de fase y no influye en la resistencia física del material ni en la disipación de energía, siempre que la malla esté suficientemente refinada. El código fuente se pone a disposición de forma abierta para facilitar su aplicación y verificación adicionales.