Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

Technische Samenvatting: Cohesief Faseveld-Model voor Breuk met een Expliciete Sterkteoppervlakte

Probleemstelling
Standaard faseveld-methoden voor breuk zijn fundamenteel geworteld in Griffiths theorie voor brosse breuk. Bijgevolg ontbreekt er een inherente voorschrift voor materiaalsterkte, waardoor nucleatie van scheuren afhankelijk is van ad-hoc criteria of de regularisatieparameter (fasedveldlengteschaal) in plaats van een fysiek vloeigebied. Bovendien worstelen deze methoden om cohesief breukgedrag en ductiel respons te vangen, aangezien de degradatiefuncties doorgaans zijn gekalibreerd voor uniaxiale trek en zich niet van nature uitbreiden tot multiaxiale belasting of drukafhankelijke versterking. Hoewel recente formuleringen op basis van eigenvervormingen (bijv. Vicentini et al., Bourdin et al.) succesvol de materiaalsterkte ontkoppelen van breukenergie door breuk-eigenvervormingen in te voeren, rust hun implementatie op globale energie-minimalisatiekaders. Deze aanpak behandelt eigenvervormingen als extra veldvariabelen, introduceert extra globale vrijheidsgraden en vereist gespecialiseerde software, wat de integratie in standaard eindige-elementen (FE) codes belemmert die constitutieve modellen puntsgewijs op integratiepunten evalueren.

Methodologie
Dit werk herformuleert het eigenvervormingsgebaseerde cohesieve faseveldmodel als een lokaal constitutief model, analoog aan plasticiteits-return-mapping-schema's, om integratie in standaard FE-codes mogelijk te maken zonder extra globale vrijheidsgraden.

• Besturende Vergelijkingen: Het kader maakt gebruik van een totale energiefunctionaal die bestaat uit elastische energie (gebaseerd op verplaatsing en breuk-eigenvervormingen), breukenergie (verdeeld via een faseveldparameter $\phi$) en een sterktepotentiaal. De elastische rek wordt gedefinieerd als $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$, waarbij $\eta$ de breuk-eigenvervorming voorstelt.
• Lokale Constitutieve Formulerings: Een belangrijke innovatie is de resolutie van de evolutie van eigenvervormingen volledig op het niveau van het integratiepunt. De eigenvervormingen worden gedefinieerd als $\eta = \lambda G(\varepsilon)$, waarbij $\lambda$ een multiplier is en $G$ een richtingsfunctie die afhankelijk is van de rektoestand. Dit maakt het mogelijk om de constitutieve update lokaal op te lossen met een Newton-Raphson-schema, vergelijkbaar met plasticiteit, in plaats van globaal.
• Sterktecriteria: Twee verschillende sterktepotentialen worden geïmplementeerd:
  1. Niet-glad $r_1$ Criterium: Kenmerkt onafhankelijke treksterkte ($f_t$) en schuifsterkte ($f_s$) met een hoge druksterkte om niet-doordringing af te dwingen.
  2. Glad Drucker-Prager-achtig Criterium: Vangt drukafhankelijke versterking onder compressie. Het maakt gebruik van een referentierekparameter ($\varepsilon_{ref}$) om de overgang tussen trek- en drukregimes te dicteren, waarbij een glad falingsoppervlak wordt gewaarborgd.
• Algoritmische Implementatie: De auteurs leiden consistente tangent-operatoren af voor zowel gladde als niet-gladde criteria om een robuuste convergentie van de globale Newton-Raphson-oplosser te waarborgen. Een gestaggerde oplossingsmethode wordt toegepast, waarbij eerst wordt opgelost voor verplaatsingen en eigenvervormingen, gevolgd door de faseveldvariabele, met iteratie tot convergentie. De implementatie gebruikt kwadratische Lagrange-elementen en is gecodeerd in FEniCSx.

Belangrijkste Bijdragen

1. Lokale Return-Mapping Formulerings: De primaire bijdrage is de herformulering van de evolutie van eigenvervormingen tot een lokaal constitutief model. Dit elimineert de behoefte aan extra globale vrijheidsgraden, waardoor het cohesieve faseveldmodel kan worden geïmplementeerd als een "drop-in" vervanging voor standaard faseveldmodellen in bestaande FE-codes.
2. Expliciete Sterkteoppervlakte: De methode schrijft expliciet een materiaalsterkteoppervlak voor voor scheurnucleatie, en ontkoppelt dit van de breukenergie-afgifte ($G_c$). Dit maakt onafhankelijke controle van nucleatiespanning en voortplantingsenergie mogelijk.
3. Consistente Tangent Operatoren: De afleiding van gesloten-vorm consistente tangent-operatoren voor zowel gladde als niet-gladde sterkteoppervlakken zorgt voor numerieke stabiliteit en kwadratische convergentiesnelheden in de globale solver.
4. Drukafhankelijk Criterium: De introductie van een glad Drucker-Prager-achtig criterium maakt het modelleren van drukafhankelijke versterking onder compressie mogelijk, een eigenschap die vaak ontbreekt in standaard faseveldformulerings.

Resultaten en Validatie
Het kader wordt gevalideerd tegen drie benchmarkproblemen:

• Plaat met Gat (Trek/Compressie): Het model vertoont mesh-onafhankelijk gedrag wanneer de elementgrootte voldoende klein is ten opzichte van de faseveldlengteschaal ($\ell/dx \geq 2$). Het vangt correct de overgang van broos naar cohesief gedrag naarmate $G_c$ toeneemt. Onder compressie dwingt het model niet-doordringing af en voorspelt het correct de vorming van schuifbanden, hoewel er bij lage $G_c$ een concurrentie wordt waargenomen tussen horizontale trekkraken en diagonale schuifkraken.
• Plaat met Enkele Randkerf (Schuif): Het model vangt succesvol gemengde-modus breuk. Met behulp van het Drucker-Prager-achtige criterium met lage referentierekken (hoge druksterkte) gaat het scheurpad over van schuifgedreven naar trekgedreven, wat de capaciteit van het model aantoont om complexe spanningsstaten te hanteren zonder ad-hoc splitsingschema's.
• Dynamische Breuk: In dynamische belastingscenario's vangt het model scheurbuigingsverschijnselen op natuurlijke wijze. De resultaten tonen aan dat het verhogen van $G_c$ scheurbuiging onderdrukt en de voortplantingssnelheid verlaagt, terwijl het sterkteoppervlak de initiële nucleatie regelt. Het model levert mesh-onafhankelijke en lengteschaal-onafhankelijke resultaten op voor piekbelasting en scheurpaden.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat dit kader een krachtig en flexibel hulpmiddel biedt voor het simuleren van cohesieve breukprocessen. Door het sterkteoppervlak te ontkoppelen van de breukenergie en de faseveldlengteschaal, maakt de methode het mogelijk om:

• De voorspelling van scheurnucleatie op basis van een voorgeschreven materiaalsterkte.
• De controle van scheurvoortplanting en de overgang van broos naar cohesief uitsluitend via de breukenergie-afgifte ($G_c$).
• De simulatie van complexe verschijnselen, zoals scheurbuiging en voortplanting in gemengde modus, zonder ad-hoc criteria.
• Naadloze integratie in standaard eindige-elementen-codes zonder globale oplossers of elementformulerings te wijzigen.

De auteurs benadrukken dat de lengteschaal $\ell$ uitsluitend fungeert als een numerieke regularisatieparameter voor de breedte van de faseveldverdeling en geen invloed heeft op de fysieke materiaalsterkte of de energie-dissipatie, mits het mesh voldoende is verfijnd. De broncode is openbaar beschikbaar gesteld om verdere toepassing en verificatie te faciliteren.