Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

Résumé technique : Champ de phase cohésif pour la fracture avec une surface de résistance explicite

Énoncé du problème
Les méthodes standard de champ de phase pour la fracture sont fondamentalement ancrées dans la théorie de la rupture fragile de Griffith. Par conséquent, elles manquent d'une prescription inhérente pour la résistance du matériau, rendant la nucléation de fissures dépendante de critères ad hoc ou du paramètre de régularisation (échelle de longueur du champ de phase) plutôt que d'une surface d'écoulement physique. De plus, ces méthodes peinent à capturer le comportement de fracture cohésive et les réponses ductiles, car les fonctions de dégradation sont généralement calibrées pour la traction uniaxiale et ne s'étendent pas naturellement aux chargements multiaxiaux ou au durcissement dépendant de la pression. Bien que des formulations récentes basées sur les eigencontraintes (par exemple, Vicentini et al., Bourdin et al.) réussissent à découpler la résistance du matériau de l'énergie de fracture en introduisant des eigencontraintes de fracture, leur mise en œuvre repose sur des cadres de minimisation globale de l'énergie. Cette approche traite les eigencontraintes comme des variables de champ supplémentaires, introduisant des degrés de liberté globaux supplémentaires et nécessitant des logiciels spécialisés, ce qui entrave leur intégration dans des codes éléments finis (EF) standards qui évaluent les modèles constitutifs point par point aux points d'intégration.

Méthodologie
Ce travail reformule le modèle de champ de phase cohésif basé sur les eigencontraintes comme un modèle constitutif local, analogue aux schémas de retour-mapping en plasticité, afin de permettre son intégration dans des codes EF standards sans degrés de liberté globaux supplémentaires.

• Équations gouvernantes : Le cadre utilise un fonctionnel d'énergie totale comprenant l'énergie élastique (basée sur le déplacement et les eigencontraintes de fracture), l'énergie de fracture (distribuée via un paramètre de champ de phase $\phi$) et un potentiel de résistance. La déformation élastique est définie par $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$, où $\eta$ représente l'eigencontrainte de fracture.
• Formulation constitutive locale : Une innovation clé réside dans la résolution de l'évolution des eigencontraintes entièrement au niveau du point d'intégration. Les eigencontraintes sont définies par $\eta = \lambda G(\varepsilon)$, où $\lambda$ est un multiplicateur et $G$ une fonction de direction dépendante de l'état de déformation. Cela permet de résoudre la mise à jour constitutive localement à l'aide d'un schéma de Newton-Raphson, similaire à la plasticité, plutôt que globalement.
• Critères de résistance : Deux potentiels de résistance distincts sont mis en œuvre :
  1. Critère non lisse $r_1$ : Présente des résistances en traction ($f_t$) et en cisaillement ($f_s$) indépendantes, avec une haute résistance en compression pour imposer la non-pénétration.
  2. Critère lisse de type Drucker-Prager : Capture le durcissement dépendant de la pression sous compression. Il utilise un paramètre de déformation de référence ($\varepsilon_{ref}$) pour dicter la transition entre les régimes de traction et de compression, assurant une surface de rupture lisse.
• Implémentation algorithmique : Les auteurs dérivent des opérateurs tangents consistants pour les critères lisses et non lisses afin d'assurer une convergence robuste du solveur Newton-Raphson global. Un schéma de résolution décalé est employé, résolvant d'abord les déplacements et les eigencontraintes, suivi de la variable de champ de phase, en itérant jusqu'à convergence. L'implémentation utilise des éléments de Lagrange quadratiques et est codée dans FEniCSx.

Contributions clés

1. Formulation de retour-mapping local : La contribution principale est la reformulation de l'évolution des eigencontraintes en un modèle constitutif local. Cela élimine le besoin de degrés de liberté globaux supplémentaires, permettant au modèle de champ de phase cohésif d'être implémenté comme un remplacement « plug-and-play » des modèles de champ de phase standards dans les codes EF existants.
2. Surface de résistance explicite : La méthode prescrit explicitement une surface de résistance matérielle pour la nucléation de fissures, la découplant du taux de libération d'énergie de fracture ($G_c$). Cela permet un contrôle indépendant de la contrainte de nucléation et de l'énergie de propagation.
3. Opérateurs tangents consistants : La dérivation d'opérateurs tangents consistants sous forme fermée pour les surfaces de résistance lisses et non lisses assure la stabilité numérique et des taux de convergence quadratiques dans le solveur global.
4. Critère dépendant de la pression : L'introduction d'un critère lisse de type Drucker-Prager permet la modélisation du durcissement dépendant de la pression sous compression, une fonctionnalité souvent absente dans les formulations de champ de phase standards.

Résultats et validation
Le cadre est validé contre trois problèmes de référence :

• Plaque avec trou (Traction/Compression) : Le modèle démontre un comportement indépendant du maillage lorsque la taille des éléments est suffisamment petite par rapport à l'échelle de longueur du champ de phase ($\ell/dx \geq 2$). Il capture correctement la transition du comportement fragile au comportement cohésif à mesure que $G_c$ augmente. Sous compression, le modèle impose la non-pénétration et prédit correctement la formation de bandes de cisaillement, bien qu'une compétition entre la fissuration en traction horizontale et la fissuration en cisaillement diagonale soit observée à faible $G_c$.
• Plaque entaillée sur un bord (Cisaillement) : Le modèle capture avec succès la fracture en mode mixte. En utilisant le critère de type Drucker-Prager avec de faibles déformations de référence (haute résistance en compression), le trajet de fissure passe d'un régime piloté par le cisaillement à un régime piloté par la traction, démontrant la capacité du modèle à gérer des états de contrainte complexes sans schémas de séparation ad hoc.
• Fracture dynamique : Dans des scénarios de chargement dynamique, le modèle capture naturellement les phénomènes de ramification de fissures. Les résultats montrent qu'augmenter $G_c$ supprime la ramification de fissures et réduit la vitesse de propagation, tandis que la surface de résistance régit la nucléation initiale. Le modèle produit des résultats indépendants du maillage et de l'échelle de longueur concernant la charge maximale et les trajets de fissures.

Signification et affirmations
L'article affirme que ce cadre fournit un outil puissant et flexible pour simuler les processus de fracture cohésive. En découplant la surface de résistance de l'énergie de fracture et de l'échelle de longueur du champ de phase, la méthode permet :

• La prédiction de la nucléation de fissures basée sur une résistance matérielle prescrite.
• Le contrôle de la propagation des fissures et de la transition fragile-cohésive uniquement par le taux de libération d'énergie de fracture ($G_c$).
• La simulation de phénomènes complexes, tels que la ramification de fissures et la propagation en mode mixte, sans nécessiter de critères ad hoc.
• Une intégration transparente dans les codes éléments finis standards sans modifier les solveurs globaux ou les formulations d'éléments.

Les auteurs soulignent que l'échelle de longueur $\ell$ agit uniquement comme un paramètre de régularisation numérique pour la largeur de la distribution du champ de phase et n'influence pas la résistance matérielle physique ni la dissipation d'énergie, à condition que le maillage soit suffisamment raffiné. Le code source est rendu ouvertement disponible pour faciliter de nouvelles applications et vérifications.