Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

Resumo Técnico: Fratura de Campo de Fase Coesiva com Superfície de Resistência Explícita

Enunciado do Problema
Os métodos padrão de fratura de campo de fase estão fundamentalmente enraizados na teoria da fratura frágil de Griffith. Consequentemente, eles carecem de uma prescrição inerente para a resistência do material, tornando a nucleação de trincas dependente de critérios ad hoc ou do parâmetro de regularização (escala de comprimento do campo de fase) em vez de uma superfície de escoamento física. Além disso, esses métodos têm dificuldade em capturar o comportamento de fratura coesiva e respostas dúcteis, pois as funções de degradação são tipicamente calibradas para tração uniaxial e não se estendem naturalmente a carregamentos multiaxiais ou ao fortalecimento dependente de pressão. Embora formulações recentes baseadas em eigenstrains (por exemplo, Vicentini et al., Bourdin et al.) tenham desacoplado com sucesso a resistência do material da energia de fratura ao introduzir eigenstrains de fratura, sua implementação depende de estruturas de minimização global de energia. Essa abordagem trata as eigenstrains como variáveis de campo adicionais, introduzindo graus de liberdade globais extras e exigindo software especializado, o que dificulta a integração em códigos padrão de elementos finitos (EF) que avaliam modelos constitutivos ponto a ponto nos pontos de integração.

Metodologia
Este trabalho reformula o modelo de campo de fase coesivo baseado em eigenstrain como um modelo constitutivo local, análogo a esquemas de mapeamento de retorno da plasticidade, para permitir a integração em códigos padrão de EF sem graus de liberdade globais adicionais.

• Equações Governantes: O framework utiliza um funcional de energia total compreendendo energia elástica (baseada em deslocamentos e eigenstrains de fratura), energia de fratura (distribuída via um parâmetro de campo de fase $\phi$) e um potencial de resistência. A deformação elástica é definida como $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$, onde $\eta$ representa a eigenstrain de fratura.
• Formulação Constitutiva Local: Uma inovação chave é a resolução da evolução da eigenstrain inteiramente no nível do ponto de integração. As eigenstrains são definidas como $\eta = \lambda G(\varepsilon)$, onde $\lambda$ é um multiplicador e $G$ é uma função de direção dependente do estado de deformação. Isso permite que a atualização constitutiva seja resolvida localmente usando um esquema de Newton-Raphson, similar à plasticidade, em vez de globalmente.
• Critérios de Resistência: Dois potenciais de resistência distintos são implementados:
  1. Critério Não Suave $r_1$: Apresenta resistências à tração ($f_t$) e ao cisalhamento ($f_s$) independentes, com alta resistência à compressão para impor a não-penetração.
  2. Critério Suave Tipo Drucker-Prager: Captura o fortalecimento dependente de pressão sob compressão. Utiliza um parâmetro de deformação de referência ($\varepsilon_{ref}$) para ditar a transição entre os regimes de tração e compressão, garantindo uma superfície de falha suave.
• Implementação Algorítmica: Os autores derivam operadores tangentes consistentes para ambos os critérios suaves e não suaves para garantir a convergência robusta do solucionador global de Newton-Raphson. Um esquema de solução escalonada é empregado, resolvendo primeiro para deslocamentos e eigenstrains, seguido pela variável de campo de fase, iterando até a convergência. A implementação utiliza elementos de Lagrange quadráticos e é codificada em FEniCSx.

Principais Contribuições

1. Formulação Local de Mapeamento de Retorno: A contribuição principal é a reformulação da evolução da eigenstrain em um modelo constitutivo local. Isso elimina a necessidade de graus de liberdade globais adicionais, permitindo que o modelo de campo de fase coesivo seja implementado como um substituto "plug-and-play" para modelos de campo de fase padrão em códigos de EF existentes.
2. Superfície de Resistência Explícita: O método prescreve explicitamente uma superfície de resistência do material para a nucleação de trincas, desacoplando-a da taxa de liberação de energia de fratura ($G_c$). Isso permite o controle independente da tensão de nucleação e da energia de propagação.
3. Operadores Tangentes Consistentes: A derivação de operadores tangentes consistentes de forma fechada para superfícies de resistência suaves e não suaves garante estabilidade numérica e taxas de convergência quadrática no solucionador global.
4. Critério Dependente de Pressão: A introdução de um critério suave tipo Drucker-Prager permite a modelagem do fortalecimento dependente de pressão sob compressão, uma característica frequentemente ausente em formulações padrão de campo de fase.

Resultados e Validação
O framework é validado contra três problemas de referência:

• Placa com Furo (Tração/Compressão): O modelo demonstra comportamento independente da malha quando o tamanho do elemento é suficientemente pequeno em relação à escala de comprimento do campo de fase ($\ell/dx \geq 2$). Ele captura corretamente a transição de comportamento frágil para coesivo à medida que $G_c$ aumenta. Sob compressão, o modelo impõe a não-penetração e prevê corretamente a formação de bandas de cisalhamento, embora uma competição entre trincas de tração horizontais e trincas de cisalhamento diagonais seja observada em baixos valores de $G_c$.
• Placa com Entalhe de Borda Única (Cisalhamento): O modelo captura com sucesso a fratura em modo misto. Utilizando o critério tipo Drucker-Prager com baixas deformações de referência (alta resistência à compressão), o caminho da trinca transita de impulsionado por cisalhamento para impulsionado por tração, demonstrando a capacidade do modelo de lidar com estados de tensão complexos sem esquemas de divisão ad hoc.
• Fratura Dinâmica: Em cenários de carregamento dinâmico, o modelo captura fenômenos de ramificação de trincas naturalmente. Os resultados mostram que o aumento de $G_c$ suprime a ramificação de trincas e reduz a velocidade de propagação, enquanto a superfície de resistência governa a nucleação inicial. O modelo produz resultados independentes da malha e da escala de comprimento em relação à carga máxima e aos caminhos de trinca.

Significado e Alegações
O artigo afirma que este framework fornece uma ferramenta poderosa e flexível para simular processos de fratura coesiva. Ao desacoplar a superfície de resistência da energia de fratura e da escala de comprimento do campo de fase, o método permite:

• A previsão da nucleação de trincas baseada em uma resistência do material prescrita.
• O controle da propagação de trincas e da transição frágil-coesiva exclusivamente através da taxa de liberação de energia de fratura ($G_c$).
• A simulação de fenômenos complexos, como ramificação de trincas e propagação em modo misto, sem exigir critérios ad hoc.
• Integração perfeita em códigos padrão de elementos finitos sem modificar solucionadores globais ou formulações de elementos.

Os autores enfatizam que a escala de comprimento $\ell$ atua apenas como um parâmetro de regularização numérica para a largura da distribuição do campo de fase e não influencia a resistência física do material ou a dissipação de energia, desde que a malha seja suficientemente refinada. O código-fonte é disponibilizado abertamente para facilitar aplicações e verificações futuras.