Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

技術的サマリー：明示的強度面を有する凝集相場破壊

問題提起
標準的な相場破壊法は、本質的にグリフィスの脆性破壊理論に根ざしている。その結果、これらは材料強度に対する内在的な規定を持たず、き裂核生成が物理的な降伏面ではなく、アドホックな基準または正則化パラメータ（相場長さスケール）に依存することとなる。さらに、これらの手法は、降伏関数が通常、一軸引張に対して較正され、多軸負荷や圧力依存性の強化へ自然に拡張されないため、凝集破壊挙動や延性応答の捕捉に苦慮する。最近の固有ひずみに基づく定式化（Vicentini ら、Bourdin らなど）は、破壊固有ひずみの導入により材料強度を破壊エネルギーから分離することに成功しているが、その実装は全体的なエネルギー最小化フレームワークに依存している。このアプローチは固有ひずみを追加の場変数として扱い、追加の全体的な自由度を導入し、特殊なソフトウェアを必要とするため、積分点で構成モデルを点ごとに評価する標準的な有限要素（FE）コードへの統合を妨げている。

手法
本研究は、追加の全体的な自由度を必要とせずに標準的な FE コードへの統合を可能にするため、固有ひずみに基づく凝集相場モデルを、塑性の戻りマッピングスキームに類似した局所的な構成モデルとして再定式化する。

• 支配方程式: このフレームワークは、弾性エネルギー（変位と破壊固有ひずみに基づく）、相場パラメータ $\phi$ によって分布される破壊エネルギー、および強度ポテンシャルからなる全エネルギー汎関数を利用する。弾性ひずみは $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$ と定義され、ここで $\eta$ は破壊固有ひずみを表す。
• 局所的構成定式化: 主要な革新は、固有ひずみの進化を完全に積分点レベルで解くことである。固有ひずみは $\eta = \lambda G(\varepsilon)$ と定義され、ここで $\lambda$ は乗数、$G$ はひずみ状態に依存する方向関数である。これにより、構成更新は塑性と同様に、全体的ではなく局所的にニュートン・ラプソン法を用いて解くことができる。
• 強度基準: 2 つの異なる強度ポテンシャルが実装されている。
  1. 非滑らか $r_1$ 基準: 非貫通を強制する高い圧縮強度を備え、独立した引張強度 ($f_t$) とせん断強度 ($f_s$) を特徴とする。
  2. 滑らかなドクター・プラガー様基準: 圧縮下の圧力依存性強化を捕捉する。これは、引張領域と圧縮領域間の遷移を決定する基準ひずみパラメータ ($\varepsilon_{ref}$) を使用し、滑らかな破壊面を確保する。
• アルゴリズム的実装: 著者は、グローバルなニュートン・ラプソンソルバーの堅牢な収束を確保するため、滑らかおよび非滑らかな基準の両方に対する一貫した接線演算子を導出した。段差解法が採用され、まず変位と固有ひずみを解き、次に相場変数を解き、収束するまで反復する。実装は二次ラグランジ要素を使用し、FEniCSx でコード化されている。

主要な貢献

1. 局所的戻りマッピング定式化: 主な貢献は、固有ひずみの進化を局所的な構成モデルとして再定式化することである。これにより、追加の全体的な自由度の必要性が排除され、既存の FE コードにおける標準的な相場モデルの「ドロップイン」置換として凝集相場モデルを実装可能にする。
2. 明示的強度面: この手法は、き裂核生成のための材料強度面を明示的に規定し、それを破壊エネルギー解放率 ($G_c$) から分離する。これにより、核生成応力と伝播エネルギーを独立して制御することが可能となる。
3. 一貫した接線演算子: 滑らかおよび非滑らかな強度面に対する閉形式の一貫した接線演算子の導出は、グローバルソルバーにおける数値的安定性と二次収束率を確保する。
4. 圧力依存性基準: 滑らかなドクター・プラガー様基準の導入により、圧縮下の圧力依存性強化のモデリングが可能となり、これは標準的な相場定式化においてしばしば欠落している機能である。

結果と検証
このフレームワークは、3 つのベンチマーク問題に対して検証されている。

• 穴あきプレート（引張/圧縮）: モデルは、要素サイズが相場長さスケールに対して十分に小さい場合 ($\ell/dx \geq 2$)、メッシュに依存しない挙動を示す。$G_c$ が増加するにつれて、脆性から凝集挙動への遷移を正しく捉える。圧縮下では、モデルは非貫通を強制し、せん断帯の形成を正しく予測するが、低 $G_c$ において水平方向の引張き裂と斜めせん断き裂との競合が観察される。
• 片側切欠きプレート（せん断）: モデルは、混合モード破壊を成功裡に捕捉する。低基準ひずみ（高い圧縮強度）を有するドクター・プラガー様基準を使用すると、き裂経路はせん断駆動から引張駆動へ遷移し、モデルがアドホックな分割スキームなしに複雑な応力状態を処理できることを示す。
• 動的破壊: 動的負荷シナリオにおいて、モデルはき裂分岐現象を自然に捕捉する。結果は、$G_c$ の増加がき裂分岐を抑制し、伝播速度を低下させることを示しており、一方、強度面は初期核生成を支配する。モデルは、ピーク荷重およびき裂経路に関して、メッシュに依存せず、長さスケールに依存しない結果を生成する。

意義と主張
本論文は、このフレームワークが凝集破壊過程のシミュレーションのための強力かつ柔軟なツールを提供すると主張している。強度面を破壊エネルギーおよび相場長さスケールから分離することにより、この手法は以下を可能にする。

• 規定された材料強度に基づいたき裂核生成の予測。
• 破壊エネルギー解放率 ($G_c$) のみを通じたき裂伝播および脆性から凝集への遷移の制御。
• アドホックな基準を必要としない、き裂分岐や混合モード伝播などの複雑な現象のシミュレーション。
• グローバルソルバーや要素定式化を変更することなく、標準的な有限要素コードへのシームレスな統合。

著者は、長さスケール $\ell$ は相場分布幅の数値的正則化パラメータとしてのみ機能し、メッシュが十分に微細化されていれば、物理的な材料強度やエネルギー散逸に影響を与えないことを強調している。ソースコードは、さらなる応用と検証を促進するために公開されている。