A New Insight into Mathematical modeling for sand production prediction due to high-speed fluid flow in loosely Consolidated Sandstones

技术摘要：砂粒生产预测数学建模的新见解

问题陈述
在弱固结油气储层（单轴压缩强度 < 1000 psi）中，砂粒生产是一个关键挑战。它会导致井筒不稳定、设备侵蚀、生产停工，并造成显著的环境和经济成本。虽然存在砂控制方法（机械、化学及限制生产速率），但有效的控制高度依赖于准确的预测。现有的建模方法通常分为应变驱动型、侵蚀驱动型或基于颗粒型的类别。然而，目前需要一种综合模型，能够整合高流速流体作用下颗粒脱离、输送及重新粘附的物理过程，以预测体积砂粒生产量以及由此引起的储层属性变化。

方法论
本文提出了一种结合侵蚀驱动与颗粒驱动的数值模型，用于预测一维（线性）和轴对称（径向）流动几何结构下的砂粒生产。该方法论结构如下：

1. 颗粒脱离物理机制： 研究开发了一种新型的砂粒产生准则，该准则基于附着在孔隙壁上的颗粒所受力的力矩平衡。考虑的力包括拖拽力、升力、浮力和 DLVO（德里亚金-兰道-弗里德里安-奥弗里-贝尔）力。分析得出，对于典型的砂粒尺寸，DLVO 力与流体动力学力相比可以忽略不计。研究推导出了一个临界速度 ($U_{cr}$ )：只有当流体速度超过该阈值时，才会发生砂粒生产，从而破坏力矩平衡并导致颗粒脱离。
2. 数学公式化：
   • 线性流动 (1D)： 建立了涉及流态化颗粒、附着颗粒和重新粘附颗粒的质量平衡控制方程。该模型引入了三个关键调节参数：过滤系数 ($\lambda_1$)、由悬浮颗粒通量驱动的第一侵蚀系数 ($\lambda_2$)，以及由流体流速驱动的第二侵蚀系数 ($\lambda_3$)。孔隙度变化通过改进的 Vardoulakis 方程与侵蚀联系起来，渗透率则使用 Carman-Kozeny 方程进行更新。
   • 径向流动 (轴对称)： 将线性方程改编为径向坐标，以模拟生产井，并考虑流体速度随距离井筒变化的现象。
3. 数值解法： 采用显式有限差分方案来求解颗粒浓度和孔隙度随时间变化的控制方程。模型假设流体为不可压缩，颗粒尺寸均匀，且流体与悬浮颗粒的速度相等。
4. 校准与验证： 通过在 MATLAB 中使用最小二乘法，将模型参数 ($\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$) 与 Papamichos 等人 [40] 的实验数据进行匹配进行校准。
5. 敏感性分析： 通过改变体积流量和三个侵蚀/过滤系数来评估模型的行为，以观察其对累计砂粒生产量、颗粒浓度、孔隙度、渗透率和压降的影响。

主要贡献

• 新型砂粒产生准则： 引入了基于流体动力学力和颗粒间作用力力矩平衡的临界速度公式，为颗粒脱离提供了物理阈值。
• 集成数值模型： 开发了一个统一的模型，该模型能够解释颗粒的脱离、输送及重新粘附，并耦合了孔隙度和渗透率的动态更新。
• 双几何结构方法： 提出了 1D 线性及轴对称径向解，使得从实验室数据到现场规模井预测的转化成为可能。
• 参数识别： 成功地通过调整模型系数来匹配实验数据，证明了该模型复制观测到的砂粒生产动力学特征的能力。

结果

• 模型准确性： 数值模型与实验数据表现出高度一致性，在两个不同的测试案例中分别实现了 0.9735 和 0.9961 的 $R^2$ 值。
• 流速影响： 敏感性分析显示，虽然提高生产速率会加速砂粒生产的开始和速率，但总累计砂粒生产量受限于地层的容量。一旦可侵蚀材料耗尽或由于孔隙度变化导致速度降至临界水平以下，生产便趋于稳定。
• 近井地带效应： 在径向模型中发现，由于流体速度最高，砂粒侵蚀在井筒附近最为严重。侵蚀区被限制在距离井筒几米范围内。
• 属性变化： 由于砂粒侵蚀，在近井地带观察到孔隙度和渗透率显著增加。
• 压降： 研究发现，对于典型的模型系数，砂粒生产可使近井地带的压降降低约 36%。这种降低归因于渗透率的增加，其增幅超过了悬浮颗粒导致的密度增加。
• 缓解措施： 结果表明，通过降低生产速率使流体速度保持在临界脱离阈值以下，可以显著缓解砂粒生产。

意义与主张
本文声称其主要意义在于提供了一种实用的数学工具，用于预测砂粒生产，从而填补了实验室实验与现场应用之间的空白。通过匹配实验数据，可以确定模型的调节参数，随后可用于预测径向系统中的现场规模砂粒生产。作者断言，该模型有效地捕捉了颗粒脱离及随之而来的储层属性（孔隙度和渗透率）演化的动力学过程。

该研究保持了适度的研究范围，指出模型并未考虑复杂的物理现象，如蠕虫孔（wormhole）的发展。此外，作者建议，虽然目前的显式数值解表现出良好的符合度，但未来的工作可以侧重于开发隐式或解析解，以进一步提高准确性。研究结论认为，降低生产速率是缓解砂粒生产的一种可行策略，这得到了模型所展示的流体速度与颗粒脱离之间关系的有力支持。