A New Insight into Mathematical modeling for sand production prediction due to high-speed fluid flow in loosely Consolidated Sandstones

Résumé Technique : Un nouvel aperçu de la modélisation mathématique pour la prédiction de la production de sable

Énoncé du problème
La production de sable dans les réservoirs de pétrole et de gaz mal consolidés (résistance à la compression uniaxiale < 1000 psi) représente un défi critique pour l'industrie pétrolière. Elle entraîne l'instabilité des puits, l'érosion des équipements, des temps d'arrêt de la production, ainsi que des coûts environnementaux et économiques importants. Bien que des méthodes de contrôle du sable existent (mécaniques, chimiques et taux de production restrictifs), un contrôle efficace repose largement sur une prédiction précise. Les approches de modélisation existantes se classent généralement dans les catégories basées sur la déformation, l'érosion ou les particules. Cependant, il est nécessaire de disposer d'un modèle complet intéisant la physique du détachement, du transport et de la réadhérence des particules sous un écoulement de fluide à haute vélocité afin de prédire la production volumétrique de sable et les modifications de propriétés résultantes du réservoir.

Méthodologie
L'article propose un modèle numérique combinant l'érosion et les particules pour prédire la production de sable dans des géométries d'écoulement unidimensionnelles (linéaires) et axisymétriques (radiales). La méthodologie est structurée comme suit :

1. Physique du détachement des particules : L'étude développe un nouveau critère de sablage basé sur un équilibre de moments des forces agissant sur une particule attachée à une paroi de pore. Les forces considérées incluent la traînée, la portance, la flottabilité et les forces DLVO (Derjagin–Landau–Verwey–Overbeek). L'analyse conclut que pour des tailles de sable typiques, les forces DLVO sont négligeables par rapport aux forces hydrodynamiques. Une vitesse critique ($U_{cr}$) est dérivée ; la production de sable ne se produit que lorsque la vitesse du fluide dépasse ce seuil, perturbant l'équilibre du couple et détachant la particule.
2. Formulation mathématique :
   • Écoulement linéaire (1D) : Les équations de conservation sont établies pour le bilan de masse impliquant les particules fluidisées, attachées et réadhérées. Le modèle introduit trois paramètres de réglage clés : un coefficient de filtration ($\lambda_1$), un premier coefficient d'érosion ($\lambda_2$) piloté par le flux de particules en suspension, et un second coefficient d'érosion ($\lambda_3$) piloté par la vitesse de l'écoulement du fluide. Les changements de porosité sont liés à l'érosion via une équation de Vardoulakis modifiée, et la perméabilité est mise à jour à l'aide de l'équation de Carman-Kozeny.
   • Écoulement radial (axisymétrique) : Les équations linéaires sont adaptées en coordonnées radiales pour simuler un puits de production, en tenant compte de la variation de la vitesse du fluide avec la distance par rapport au puits.
3. Solution numérique : Un schéma de différences finies explicite est employé pour résoudre les équations régissant la concentration des particules et la porosité au cours du temps. Le modèle suppose un écoulement incompressible, une taille de particule uniforme et des vitesses égales pour le fluide et les particules en suspension.
4. Calibration et validation : Les paramètres du modèle ($\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$) ont été calibrés en faisant correspondre les résultats numériques aux données expérimentales de Papamichos et al. [40] en utilisant une méthode de moindres carrés dans MATLAB.
5. Analyse de sensibilité : Le comportement du modèle a été évalué en faisant varier le débit volumétrique et les trois coefficients d'érosion/filtration pour observer leur impact sur la production cumulative de sable, la concentration de particules, la porosité, la perméabilité et la chute de pression.

Principales contributions

• Nouveau critère de sablage : Introduction d'une formule de vitesse critique dérivée d'un équilibre de couple des forces hydrodynamiques et interparticulaires, fournissant un seuil physique pour le détachement des particules.
• Modèle numérique intégré : Développement d'un modèle unifié qui prend en compte le détachement, le transport et la réadhérence des particules, couplé à des mises à jour dynamiques de la porosité et de la perméabilité.
• Approche à double géométrie : Présentation de solutions à la fois en écoulement linéaire 1D et en écoulement radial axisymétrique, permettant la transposition des données de laboratoire aux prédictions à l'échelle du champ.
• Identification des paramètres : Réglage réussi des coefficients du modèle pour correspondre aux données expérimentales, démontrant la capacité du modèle à reproduire la cinétique de la production de sable.

Résultats

• Précision du modèle : Le modèle numérique a montré une forte concordance avec les données expérimentales, atteignant des valeurs de $R^2$ de 0,9735 et 0,9961 pour deux cas de test différents.
• Impact du débit : L'analyse de sensibilité a révélé que si l'augmentation du taux de production accélère l'apparition et le rythme de la production de sable, la production totale de sable est limitée par la capacité de la formation. Une fois que le matériau érodable est épuisé ou que la vitesse descend en dessous des niveaux critiques en raison des changements de porosité, la production se stabilise.
• Effets de proximité du puits : Dans le modèle radial, l'érosion par le sable s'est avérée plus sévère près du puits là où la vitesse du fluide est la plus élevée. La zone érodée était limitée à quelques mètres du puits.
• Changements de propriétés : Des augmentations significatives de la porosité et de la perméabilité ont été observées dans la zone proche du puits en raison de l'érosion du sable.
• Chute de pression : L'étude a constaté que la production de sable peut réduire la chute de pression dans la zone proche du puits d'environ 36 % pour des coefficients de modèle typiques. Cette réduction est attribuée à l'augmentation de la perméabilité, qui l'emporte sur l'augmentation de la densité causée par les particules en suspension.
• Atténuation : Les résultats indiquent que la production de sable peut être considérablement atténuée en réduisant les taux de production afin de maintenir les vitesses de fluide en dessous du seuil de détachement critique.

Signification et affirmations
L'article affirme que sa principale importance réside dans la fourniture d'un outil mathématique pratique pour prédire la production de sable qui comble le fossé entre les expériences de laboratoire et les applications sur le terrain. En faisant correspondre les données expérimentales, les paramètres de réglage de ce modèle peuvent être déterminés et utilisés ultérieurement pour prédire la production de sable à l'échelle du champ dans des systèmes radiaux. Les auteurs soutiennent que le modèle capture efficacement la cinétique du détachement des particules et l'évolution consécutive des propriétés du réservoir (porosité et perméabilité).

L'étude maintient un champ d'application modeste, notant que le modèle ne prend pas en compte la physique complexe telle que le développement de vers de terre (wormholes). De plus, les auteurs suggèrent que bien que la solution numérique explicite actuelle offre une bonne concordance, les travaux futurs pourraient se concentrer sur le développement de solutions implicites ou analytiques pour améliorer davantage la précision. L'article conclut que la réduction des taux de production est une stratégie viable pour atténuer la production de sable, étayée par la démonstration par le modèle de la relation entre la vitesse du fluide et le détachement des particules.