A New Insight into Mathematical modeling for sand production prediction due to high-speed fluid flow in loosely Consolidated Sandstones

技術要約：砂生産予測のための数学的モデリングにおける新たな知見

問題提起
未固結の油ガス貯留層（一軸圧縮強度が1000 psi未満）における砂生産は、石油・ガス産業にとって重大な課題である。これは坑井の不安定化、機器の侵食、生産の中断、そして多大な環境的・経済的コストをもたらす。砂制御手法（機械的、化学的、および制限的な生産速度）は存在するものの、効果的な制御は正確な予測に大きく依存している。既存のモデリング手法は、一般に歪みベース、侵食ベース、または粒子ベースのカテゴリーに分類される。しかし、高流速の流体流動下における粒子の脱離、輸送、および再付着の物理学を統合し、体積的な砂生産とそれに伴う貯留層特性の変化を予測する包括的なモデルが必要とされている。

手法
本論文は、1次元（線形）および軸対称（径方向）の流動形状の両方において、砂生産を予測するための、侵食ベースと粒子ベースを組み合わせた数値モデルを提案している。手法の構成は以下の通りである：

1. 粒子の脱離の物理学： 本研究では、孔隙壁に付着した粒子に作用する力のモーメントバランスに基づく、新しい砂化基準を開発した。考慮される力には、ドラッグ（抗力）、リフト（揚力）、浮力、およびDLVO（Derjagin–Landau–Verwey–Overbeek）力が含まれる。解析の結果、典型的な砂のサイズにおいては、DLVO力は流体力と比較して無視できることが結論付けられた。臨界速度（$U_{cr}$）が導出され、流体速度がこの閾値を超えた場合にのみ、トルクのバランスが崩れて粒子が脱離し、砂生産が発生する。
2. 数学的定式化：
   • 線形流（1D）： 流動化粒子、付着粒子、および再付着粒子を含む質量バランスに関する支配方程式を確立した。モデルには、3つの主要なチューニングパラメータを導入している。すなわち、濾過係数（$\lambda_1$）、懸濁粒子フラックスによって駆動される第1侵食係数（$\lambda_2$）、および流体流速によって駆動される第2侵食係数（$\lambda_3$）である。孔隙率の変化は修正されたVardoulakisの式を用いて侵食に関連付けられ、浸透率はCarman-Kozenyの式を用いて更新される。
   • 径方向流（軸対称）： 線形方程式を径方向座標に適応させ、坑井からの距離に伴う流体速度の変化を考慮して、生産井をシミュレートする。
3. 数値解法： 粒子濃度と孔隙率の時間変化に関する支配方程式を解くために、陽的な差分法を採用している。モデルは、非圧縮性流動、均一な粒子径、および流体と懸濁粒子の等速運動を仮定している。
4. 較正と検証： モデルパラメータ（$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$）は、MATLABを用いた最小二乗法により、Papamichosら[40]の実験データに一致するように較正された。
5. 感度分析： 体積流量および3つの侵食/濾過係数を変化させ、累積砂生産量、粒子濃度、孔隙率、浸透率、および圧力降下に与える影響を観察することで、モデルの挙動を評価した。

主な貢献

• 新規の砂化基準： 流体力と粒子間力のトルクバランスから導出された臨界速度の公式を導入し、粒子の脱離に対する物理的な閾値を提供した。
• 統合数値モデル： 粒子の脱離、輸送、および再付着を考慮し、孔隙率と浸透率の動的な更新を結合させた統一モデルの開発。
• デュアルジオメトリ・アプローチ： 1次元線形および軸対称径方向の両方の解を提示することで、ラボ実験のデータをフィールドスケールの井戸予測へと翻訳することを可能にした。
• パラメータ特定： モデルの係数を実験データに適合させることに成功し、観測された砂生産のキネティクス（動力学）を再現するモデルの能力を実証した。

結果

• モデルの精度： 数値モデルは実験データと高い一致を示し、2つの異なるテストケースにおいて、$R^2$値として0.9735および0.9961を達成した。
• 流量の影響： 感度分析により、生産速度を上げると砂生産の開始と速度は加速されるものの、総累積砂生産量は地層の容量によって制限されることが明らかになった。侵食可能な材料が枯渇するか、あるいは孔隙率の変化によって流速が臨界レベルを下回ると、生産は安定する。
• 坑井近傍の効果： 径方向モデルにおいて、流体速度が最も高い坑井近傍で砂の侵食が最も激しいことが判明した。侵食領域は坑井から数メートルの範囲に限定されていた。
• 特性の変化： 砂の侵食により、坑井近傍領域において顕著な孔隙率および浸透率の上昇が観察された。
• 圧力降下： 本研究では、典型的なモデル係数において、砂生産が坑井近傍領域の圧力降下を約36%減少させることが判明した。この減少は、懸濁粒子による密度増加を上回る浸透率の上昇に起因する。
• 緩和策： 結果は、流体速度を臨界脱離閾値以下に保つように生産速度を抑制することで、砂生産を大幅に軽減できることを示している。

意義と主張
本論文の主な意義は、実験室での実験とフィールドへの適用との間の溝を埋める、砂生産を予測するための実用的な数学的ツールを提供することにあると主張している。実験データに適合させることで、モデルのチューニングパラメータを決定でき、その後、径方向システムにおけるフィールドスケールの砂生産を予測するために使用できる。著者らは、モデルが粒子の脱離のキネティクスと、それに伴う貯留層特性（孔隙率および浸透率）の進化を効果的に捉えていると断言している。

本研究は、ワームホール（虫食い孔）の発達といった複雑な物理現象を考慮していないことを記し、控えめな範囲を維持している。さらに、著者らは、現在の陽的な数値解は良好な一致を示しているものの、精度をさらに向上させるためには、将来的な研究として陰的または解析的な解の開発に焦点を当てる可能性があると示唆している。結論として、生産速度を減少させることは、流体速度と粒子脱離の関係をモデルが示した通り、砂生産を緩和するための実行可能な戦略であるとしている。