A New Insight into Mathematical modeling for sand production prediction due to high-speed fluid flow in loosely Consolidated Sandstones

Technische Zusammenfassung: Eine neue Erkenntnis zur mathematischen Modellierung der Sandproduktion

Problemstellung
Die Sandproduktion in schlecht konsolidierten Öl- und Gasreservoirs (unkonfessionelle Druckfestigkeit < 1000 psi) stellt eine kritische Herausforderung für die Erdölindustrie dar. Sie führt zu Instabilitäten der Bohrlochwand, Erosion von Ausrüstung, Produktionsausfällen sowie erheblichen ökologischen und wirtschaftlichen Kosten. Während Methoden zur Sandkontrolle existieren (mechanisch, chemisch und durch restriktive Produktionsraten), hängt eine effektive Kontrolle maßgeblich von einer genauen Vorhersage ab. Bestehende Modellierungsansätze lassen sich im Allgemeinen in die Kategorien dehnungsbasiert, erosionsbasiert oder partikelbasiert einteilen. Es besteht jedoch ein Bedarf an einem umfassenden Modell, das die Physik der Partikelablösung, des Transports und der Wiederanhaftung unter Hochgeschwindigkeits-Fluidströmungen integriert, um die volumetrische Sandproduktion und die daraus resultierenden Änderungen der Reservoir-Eigenschaften vorherzusagen.

Methodik
Die Arbeit schlägt ein kombiniertes erosionsbasiertes und partikelbasiertes numerisches Modell vor, um die Sandproduktion sowohl in eindimensionalen (linearen) als auch in achsensymmetrischen (radialen) Strömungsgeometrien vorherzusagen. Die Methodik ist wie folgt strukturiert:

1. Physik der Partikelablösung: Die Studie entwickelt ein neuartiges Kriterium für die Sandbildung basierend auf einer Momentenbilanz der Kräfte, die auf ein an einer Porewand haftendes Partikel wirken. Berücksichtigte Kräfte sind Drag (Schleppkraft), Auftrieb, Auftriebskraft (Buoyancy) und DLVO-Kräfte (Derjagin–Landau–Verwey–Overbeek). Die Analyse kommt zu dem Schluss, dass DLVO-Kräfte bei typischen Sandgrößen vernachlässigbar gegenüber den hydrodynamischen Kräften sind. Eine kritische Geschwindigkeit ($U_{cr}$) wird abgeleitet: Eine Sandproduktion tritt nur auf, wenn die Fluidgeschwindigkeit diesen Schwellenwert überschreitet, wodurch das Drehmomentgleichgewicht gestört und das Partikel abgelöst wird.
2. Mathematische Formulierung:
   • Linearer Fluss (1D): Es werden grundlegende Gleichungen für die Massenbilanz unter Einbeziehung von fluidisierten, haftenden und wiederangehafteten Partikeln aufgestellt. Das Modell führt drei zentrale Abstimmungsparameter ein: einen Filtrationskoeffizienten ($\lambda_1$), einen ersten Erosionskoeffizienten ($\lambda_2$), der durch den suspendierten Partikelfluss getrieben wird, und einen zweiten Erosionskoeffizienten ($\lambda_3$), der durch die Fluidströmungsgeschwindigkeit getrieben wird. Änderungen der Porosität werden über eine modifizierte Vardoulakis-Gleichung mit der Erosion verknüpft, und die Permeabilität wird mittels der Carman-Kozeny-Gleichung aktualisiert.
   • Radialer Fluss (Achsensymmetrisch): Die linearen Gleichungen werden für radiale Koordinaten angepasst, um ein Produktionswerk zu simulieren, wobei die Variation der Fluidgeschwindigkeit mit dem Abstand von der Bohrlochwand berücksichtigt wird.
3. Numerische Lösung: Ein explizites Finite-Differenzen-Schema wird verwendet, um die Grundgleichungen für die Partikelkonzentration und Porosität über die Zeit zu lösen. Das Modell nimmt eine inkompressible Strömung, eine einheitliche Partikelgröße und gleiche Geschwindigkeiten für das Fluid und die suspendierten Partikel an.
4. Kalibrierung und Validierung: Die Modellparameter ($\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$) wurden durch den Abgleich der numerischen Ergebnisse mit experimentellen Daten von Papamichos et al. [40] unter Verwendung einer Kleinste-Quadrate-Methode in MATLAB kalibriert.
5. Sensitivitätsanalyse: Das Verhalten des Modells wurde durch Variation der volumetrischen Durchflussrate und der drei Erosions-/Filtrationskoeffizienten untersucht, um deren Einfluss auf die kumulative Sandproduktion, die Partikelkonzentration, die Porosität, die Permeabilität und den Druckabfall zu beobachten.

Wesentliche Beiträge

• Neuartiges Sandbildungs-Kriterium: Einführung einer Formel für die kritische Geschwindigkeit, die aus einer Drehmomentbilanz von hydrodynamischen und interpartikulären Kräften abgeleitet wurde und somit einen physikalischen Schwellenwert für die Partikelablösung liefert.
• Integriertes numerisches Modell: Entwicklung eines vereinheitlichten Modells, das Partikelablösung, Transport und Wiederanhaftung berücksichtigt und mit dynamischen Aktualisierungen von Porosität und Permeabilität gekoppelt ist.
• Dual-Geometrie-Ansatz: Präsentation sowohl einer 1D-linearen als auch einer achsensymmetrischen radialen Lösung, was die Übertragung von Labordaten auf feldskalige Bohrlochvorhersagen ermöglicht.
• Parameteridentifikation: Erfolgreiche Abstimmung der Modellkoeffizienten zur Übereinstimmung mit experimentellen Daten, was die Fähigkeit des Modells demonstriert, die beobachtete Kinetik der Sandproduktion zu replizieren.

Ergebnisse

• Modellgenauigkeit: Das numerische Modell zeigte eine hohe Übereinstimmung mit den experimentellen Daten und erreichte $R^2$-Werte von 0,9735 und 0,9961 für zwei verschiedene Testfälle.
• Einfluss der Durchflussrate: Die Sensitivitätsanalyse ergab, dass eine Erhöhung der Produktionsrate zwar den Beginn und die Rate der Sandproduktion beschleunigt, die gesamte kumulative Sandproduktion jedoch durch die Kapazität des Formationsgesteins begrenzt ist. Sobald das erodierbare Material erschöpft ist oder die Geschwindigkeit aufgrund von Porositätsänderungen unter die kritischen Werte fällt, stabilisiert sich die Produktion.
• Effekte im Nahbereich des Bohrlochs: Im radialen Modell wurde festgestellt, dass die Sanderosion in der Nähe des Bohrlochs, wo die Fluidgeschwindigkeit am höchsten ist, am stärksten ausgeprägt ist. Die Erosionszone war auf wenige Meter um das Bohrloch begrenzt.
• Eigenschaftsänderungen: Es wurden signifikante Zunahmen der Porosität und Permeabilität im Nahbereich des Bohrlochs aufgrund der Sanderosion beobachtet.
• Druckabfall: Die Studie stellte fest, dass die Sandproduktion den Druckabfall im Nahbereich des Bohrlochs um etwa 36 % senken kann, sofern typische Modellkoeffizienten vorliegen. Diese Reduktion wird der Zunahme der Permeabilität zugeschrieben, welche die durch suspendierte Partikel verursachte Dichtezunahme überwiegt.
• Minderung: Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass die Sandproduktion signifikant gemindert werden kann, indem die Produktionsraten reduziert werden, um die Fluidgeschwindigkeiten unter dem kritischen Ablösungsschwellenwert zu halten.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit behauptet, dass ihre primäre Bedeutung darin liegt, ein praktisches mathematisches Werkzeug zur Vorhersage der Sandproduktion bereitzustellen, das die Lücke zwischen Laborexperimenten und Feldanwendungen schließt. Durch den Abgleich mit experimentellen Daten können die Abstimmungsparameter des Modells bestimmt und anschließend zur Vorhersage der feldskaligen Sandproduktion in radialen Systemen verwendet werden. Die Autoren behaupten, dass das Modell effektiv die Kinetik der Partikelablösung und die daraus resultierende Entwicklung der Reservoir-Eigenschaften (Porosität und Permeabilität) erfasst.

Die Studie hält einen moderaten Umfang ein und weist darauf hin, dass das Modell keine komplexen Physiken wie die Entwicklung von Wurmlöchern (Wormholes) berücksichtigt. Darüber hinaus schlagen die Autoren vor, dass zukünftige Arbeiten sich auf die Entwicklung impliziter oder analytischer Lösungen konzentrieren könnten, um die Genauigkeit weiter zu verbessern, während die aktuelle explizite numerische Lösung bereits eine gute Übereinstimmung bietet. Die Arbeit schließt mit der Feststellung, dass die Reduzierung der Produktionsraten eine praktikable Strategie zur Minderung der Sandproduktion ist, was durch die Demonstration des Zusammenhangs zwischen Fluidgeschwindigkeit und Partikelablösung im Modell gestützt wird.