A New Insight into Mathematical modeling for sand production prediction due to high-speed fluid flow in loosely Consolidated Sandstones

기술 요약: 모래 생산 예측을 위한 수학적 모델링의 새로운 통찰

문제 정의
미고결 저류층(압축 강도 < 1000 psi)에서의 모래 생산은 석유 및 가스 산업에 중대한 과제를 안겨준다. 이는 유정 불안정성, 장비 침식, 생산 중단, 그리고 상당한 환경적 및 경제적 비용을 초0래한다. 모래 제어 방법(기계적, 화학적, 제한적 생산율 적용)이 존재하지만, 효과적인 제어는 정확한 예측에 크게 의존한다. 기존의 모델링 접근 방식은 일반적으로 변형 기반(strain-based), 침식 기반(erosion-based), 또는 입자 기반(particle-based) 범주로 나뉜다. 그러나 고속 유체 흐름 하에서 입자의 탈착, 운반 및 재부착의 물리학을 통합하여 체적 모래 생산과 그에 따른 저류층 특성 변화를 예측할 수 있는 종합적인 모델이 필요하다.

방법론
본 논문은 1차원(선형) 및 축대칭(방사형) 유동 기하학 구조 모두에서 모래 생산을 예측하기 위해 침식 기반 및 입자 기반 모델을 결의한 수치 모델을 제안한다. 방법론은 다음과 같이 구성된다:

1. 입자 탈착의 물리학: 본 연구는 기공 벽에 부착된 입자에 작용하는 힘의 모멘트 균형을 기반으로 한 새로운 샌딩 기준(sanding criterion)을 개발한다. 고려된 힘에는 항력(drag), 양력(lift), 부력(buoyancy) 및 DLVO(Derjagin–Landau–Verwey–Overbeek) 힘이 포함된다. 분석 결과, 전형적인 모래 크기에 대해 DLVO 힘은 유체역학적 힘에 비해 무시할 수 있는 수준인 것으로 나타났다. 임계 속도($U_{cr}$)가 도출되며, 유체 속도가 이 임계값을 초과하여 토크 균형을 깨뜨릴 때만 모래 생산이 발생하여 입자가 탈착된다.
2. 수학적 정식화:
   • 선형 유동 (1D): 유동화된 입자, 부착된 입자, 재부착된 입자를 포함하는 질량 균형에 대한 지배 방정식을 수립한다. 모델은 세 가지 주요 튜닝 파라미터를 도입한다: 부유 입자 플럭스에 의해 구동되는 여과 계수($\lambda_1$), 제1 침식 계수($\lambda_2$), 그리고 유체 유속에 의해 구동되는 제2 침식 계수($\lambda_3$)이다. 공극률 변화는 수정된 Vardoulakis 방정식을 통해 침식과 연결되며, 투과율은 Carman-Kozeny 방정식을 사용하여 업데이트된다.
   • 방사형 유동 (축대칭): 선형 방정식을 방사형 좌표계에 맞게 조정하여, 유정으로부터의 거리에 따른 유체 속도의 변화를 고려한 생산 유정을 시뮬레이션한다.
3. 수치 해법: 입자 농도와 공극률의 지배 방정식을 시간에 따라 풀기 위해 명시적 유한 차분법(explicit finite difference scheme)을 채택한다. 모델은 비압축성 유동, 균일한 입자 크기, 유체와 부유 입자의 동일한 속도를 가정한다.
4. 교정 및 검증: 모델 파라미터($\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$)는 MATLAB의 최소제곱법을 사용하여 Papamichos 등[40]의 실험 데이터와 수치 결과를 일치시킴으로써 교정되었다.
5. 민감도 분석: 누적 모래 생산, 입자 농도, 공극률, 투과율 및 압력 강하에 미치는 영향을 관찰하기 위해 체적 유량과 세 가지 침식/여과 계수를 변화시키며 모델의 거동을 평가하였다.

주요 기여

• 새로운 샌딩 기준: 유체역학적 힘과 입자 간 힘의 토크 균형으로부터 도출된 임계 속도 공식을 도입하여, 입자 탈착을 위한 물리적 임계치를 제공하였다.
• 통합 수치 모델: 입자의 탈착, 운반 및 재부착을 고려하고, 공극률 및 투과율의 동적 업데이트와 결합된 통합 모델을 개발하였다.
• 이중 기하 구조 접근법: 실험실 데이터를 현장 규모의 유정 예측으로 변환할 수 있도록 1D 선형 및 축대칭 방사형 솔루션을 모두 제시하였다.
• 파라미터 식별: 모델 계수를 실험 데이터와 성공적으로 일치시킴으로써, 실험적 관찰된 모래 생산 역학을 재현할 수 있는 모델의 능력을 입증하였다.

결과

• 모델 정확도: 수치 모델은 두 가지 서로 다른 테스트 케이스에 대해 $R^2$ 값 0.9735 및 0.9961을 달성하며 실험 데이터와 높은 일치도를 보였다.
• 유량의 영향: 민감도 분석 결과, 생산율을 높이면 모래 생산의 시작과 속도가 가속화되지만, 총 누적 모래 생산량은 형성층의 용량에 의해 제한된다. 침식 가능한 물질이 고갈되거나 공극률 변화로 인해 유속이 임계치 아래로 떨어지면 생산은 안정화된다.
• 유정 근처 효과: 방사형 모델에서 모래 침식은 유체 속도가 가장 높은 유정 근처에서 가장 심각한 것으로 나타났다. 침식 구역은 유정으로부터 몇 미터 이내로 제한되었다.
• 물성 변화: 모래 침식으로 인해 유정 근처 영역에서 공극률과 투과율이 유의미하게 증가하는 것이 관찰되었다.
• 압력 강하: 본 연구는 전형적인 모델 계수를 사용할 때 모래 생산이 유정 근처 영역의 압력 강하를 약 36% 감소시킬 수 있음을 발견했다. 이러한 감소는 부유 입자로 인한 밀도 증가보다 투과율 증가가 더 크기 때문이다.
• 완화: 결과는 유체 속도를 임계 탈착 임계값 아래로 유지하도록 생산율을 낮춤으로써 모래 생산을 효과적으로 완화할 수 있음을 시사한다.

의의 및 주장
본 논문은 자신의 주요 의의가 실험실 실험과 현장 적용 사이의 간극을 메우는 실용적인 수학적 도구를 제공하는 데 있다고 주장한다. 실험 데이터를 일치시킴으로써, 모델의 튜닝 파라미터를 결정할 수 있으며, 이후 이를 방사형 시스템에서의 현장 규모 모래 생산을 예측하는 데 사용할 수 있다. 저자들은 모델이 입자 탈착의 역학과 그에 따른 저류층 특성(공극률 및 투과율)의 진화를 효과적으로 포착한다고 단언한다.

본 연구는 웜홀(wormhole) 발달과 같은 복잡한 물리학을 고려하지 않는다는 점을 언급하며 신중한 범위를 유지한다. 또한, 저자들은 현재의 명시적 수치 해법이 좋은 일치도를 제공하지만, 정확도를 더욱 향러하기 위해 향착적(implicit) 또는 해석적(analytical) 해법을 개발하는 향후 연구가 필요할 수 있다고 제안한다. 결론적으로, 유체 속도와 입자 탈착 사이의 관계를 보여주는 모델의 입증을 통해, 생산율을 줄이는 것이 모래 생산을 완화하기 위한 실행 가능한 전략임을 확인하였다.