Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

ملخص تقني: تنفيذ مؤثرات "جاسترو-غوتزويلر" على حاسوب كمي باستخدام خوارزمية المقيّم الكمي المتغير المتتالية

بيان المشكلة
تقدم الحواسيب الكمية إمكانية الوصول إلى فضاءات هيلبرت ضخمة أسياً لتحديد الحالات الأرضية للأنظمة الكمية، وهي مهمة غالباً ما تكون مستعصية على الحواسيب الكلاسيكية. وبينما تعد الخوارزميات المتغيرة مثل المقيّم الكمي المتغير (VQE) واعدة للأجهزة المتاحة حالياً نظراً لعمق دوائرها القصير، إلا أنها تعتمد بشكل كبير على اختيار "الأنزاتس" (ansatz). ويعد استخدام مؤثرات "جاسترو-غوتزويلر" نهجاً قوياً لتحسين الحالات المتغيرة، حيث تضيف هذه المؤثرات ارتباطات متعددة الأجسام (تحديداً ارتباطات كثافة-كثافة والقيود على المدارات مزدوجة الإشغال) إلى الحالة التجريبية. ومع ذلك، فإن مؤثر "جاسترو-غوتزويلر" غير وحدوي (non-unitary). ويمثل عدم الوحدوية هذا تحدياً كبيراً للتنفيذ المباشر على الحواسيب الكمية، التي تعمل بطبيعتها عبر التطور الوحدوي. وتتطلب الطرق الحالية غالباً كيوبتات مساعدة أو تقريبات للتعامل مع عدم الوحدوية هذه، مما قد يزيد من عمق الدائرة وتعقيدها بما يتجاوز قدرات الأجهزة الحالية.

المنهجية
يقترح المؤلفون تنفيذاً مبتكراً لمؤثر "جاسترو-غوتزويلر" باستخدام خوارزمية المقيّم الكمي المتغير المتتالية (CVQE). يكمن جوهر طريقتهم في "أنزاتس" من الشكل $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, حيث:

• $\hat{U}$ هو مؤثر "ثوليس" وحدوي يقوم بتغيير القاعدة في فضاء هيلبرت أحادي الجسم (على سبيل المثال، تحويل حالة "فوك" إلى بحر فيرمي).
• $\hat{G}(\theta)$ هو مؤثر "جاسترو-غوتزويلر" غير الوحدوي، والمعرف بـ $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, حيث $\hat{n}_q$ هي مؤثرات العدد و $\theta_{qq'}$ هي المعاملات المتغيرة.

يكمن الابتكار الرئيسي في كيفية حساب القيمة المتوقعة للطاقة، $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$. ونظراً لأن $\hat{G}(\theta)$ قطري في قاعدة عدد الإشغال، فقد أثبت المؤلفون أنه يمكن تقييم الحدود الأسية في حاصل ضرب المؤثر كلاسيكياً بناءً على نتائج القياس، بدلاً من الحاجة إلى توسيع الأس إلى مجموع من سلاسل "باولي" على الحاسوب الكمي.

تتضمن العملية ما يلي:

1. تحضير الحالة: تحضير حالة أولية $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ باستخدام دائرة كمية تتكون من بوابات أساسية أحادية وثنائية الكيوبت مشتقة من تفكيك المؤثر الوحدوي $\hat{f}$.
2. القياس: قياس النظام في القاعدة الحسابية (أو قاعدة مدورة للمصطلحات الحركية) للحصول على أعداد الإشغال.
3. المعالجة الكلاسيكية اللاحقة: استخدام أعداد الإشغال المقاسة لتقييم العوامل الأسية القطرية لـ $\hat{G}(\theta)$ و $\hat{G}^2(\theta)$ كلاسيكياً. وهذا يتجنب الحاجة إلى كيوبتات إضافية أو دوائر عميقة لمحاكاة المؤثر غير الوحدوي.
4. التحسين: تغيير المعاملات $\theta$ كلاسيكياً لتقليل القيمة المتوقعة للطاقة.

المساهمات الرئيسية

• تنفيذ مؤثر غير وحدوي: يقدم البحث طريقة لتنفيذ مؤثرات "جاسترو-غوتزويلر" غير الوحدوية على الأجهزة الكمية دون إضافة كيوبتات مساعدة أو تقريب المؤثر، وذلك بالاستفادة من إطار عمل CVQE.
• مخطط قياس فعال: من خلال صياغة المشكلة بحيث تظل مؤثرات العدد قطرية، أظهر المؤلفون أنه يمكن إدراج العوامل الأسية مباشرة في حساب الطاقة بناءً على نتائج القياس، مما يقلل بشكل كبير من عبء القياس مقارنة بتوسيع المؤثر إلى سلاسل "باولي".
• فك الارتباط بين الأنواع المغزلية: تسمح الطريقة بتقييم الدائرة لنوع واحد فقط من "السبين" (Spin) على الحاسوب الكمي، بينما يتم التعامل مع النوع الآخر كلاسيكياً. وهذا يقلل فعلياً عدد الكيوبتات المطلوبة في العرض التجريبي إلى النصف.
• العرض التجريبي: تم تطبيق الطريقة على المعالج الكمي IBM Q Lagos (جهاز بـ 7 كيوبت) لنموذج "هوبارد" رباعي المواقع على شبكتين مربعة ومثلثية مع شروط حدودية دورية عند نصف الامتلاء.

النتائج
طبق المؤلفون طريقتهم على نموذج "هوبارد" مع معامل الطاقة الحركية $k$ وقوة التفاعل $d$.

• تقليل الطاقة: نجحوا في تقليل القيمة المتوقعة للطاقة $E(\theta)$ بالنسبة لمعامل "غوتزويلر" $\theta$.
• المقارنة: تمت مقارنة النتائج مع التقطيع الدقيق (الطاقة الأرضية الدقيقة) والمحاكاة الكلاسيكية الخالية من الضجيج لطريقتهم.
• تحليل الضجيج:
  • عند تشغيل الحساب الكامل (كلا نوعي السبين من الإلكترونات) على الجهاز الكمي، تسبب الضجيج في أخطاء في قيم الطاقة المتوقعة.
  • عند تشغيل نوع واحد فقط من "السبين" على الجهاز الكمي (مع محاكاة النوع الآخر كلاسيكياً)، انخفض الخطأ بشكل ملحوظ.
  • ظل الخطأ في القيمة المتوقعة للطاقة ثابتاً نسبياً كدالة لقوة التفاعل $d$، وفي بعض الحالات انخفض قليلاً مع اقتراب $d$ من $k$.
• التحسين: تم إيجاد المعامل الأمثل $\theta^*$ عن طريق تحديد الحد الأدنى لمنحنى الطاقة، وتبعت الطاقات المحسنة الناتجة طاقة الحالة الأرضية الدقيقة عن كثب، خاصة في تكوين نوع "السبين" الواحد.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن هذا النهج يسمح بتنفيذ "أنزاتس جاسترو-غوتزويلر" على الأجهزة الكمية القريبة المدى دون العبء الموارد المرتبط بالكيوبتات المساعدة أو أخطاء التقريب المرتبطة بتنفيذات أخرى غير الوحدوية. ومن خلال نقل تقييم العوامل الأسية غير الوحدوية إلى الحاسوب الكلاسيكي، تفصل الطريقة بين تحسين المعاملات المتغيرة والحاجة إلى إعادة تشغيل الدوائر الكمية مع كل تحديث للمعامل. علاوة على ذلك، فإن القدرة على محاكاة نوع واحد فقط من "السبين" على الجهاز الكمي مع التعامل مع الآخر كلاسيكياً تقلل من متطلبات عدد الكيوبتات إلى النصف، مما يجعل النهج أكثر جدوى للأجهزة الحالية ذات الاتصال والتماسك المحدود. إن العرض التجريبي على جهاز IBM Q Lagos يؤكد جدوى هذا النهج "المتتالي" للأنظمة الفرميونية، وتحديداً نموذج "هوبارد"، مما يوفر مساراً لدمج تأثيرات الارتباط القوي في الخوارزميات الكمية المتغيرة.