Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

Sintesi Tecnica: Implementazione di Operatori Jastrow–Gutzwiller su un Computer Quantistico mediante l'Algoritmo Variational Quantum Eigensolver a Cascata

Enunciazione del Problema
I computer quantistici offrono la potenziale possibilità di accedere a spazi di Hilbert esponenzialmente grandi per determinare gli stati fondamentali di sistemi quantistici, un compito spesso intrattabile per i computer classici. Sebbene gli algoritmi variazionali come il Variational Quantum Eigensolver (VQE) siano promettenti per dispositivi a breve termine grazie alla loro bassa profondità di circuito, essi dipendono fortemente dalla scelta di un ansatz. Un approccio potente per migliorare gli stati variazionali è l'uso di operatori Jastrow–Gutzwiller, che aggiungono correlazioni a molti corpi (specificamente correlazioni densità-densità e restrizioni sugli orbitali doppiamente occupati) a uno stato di prova. Tuttavia, l'operatore Jastrow–Gutzwiller è non unitario. Questa non unitarietà presenta una sfida significativa per l'implementazione diretta su computer quantistici, che operano intrinsecamente tramite evoluzione unitaria. I metodi esistenti richiedono spesso qubit ausiliari o approssimazioni per gestire questa non unitarietà, il che può aumentare la profondità e la complessità del circuito oltre le capacità dell'hardware attuale.

Metodologia
Gli autori propongono un'implementazione innovativa dell'operatore Jastrow–Gutzwiller utilizzando l'algoritmo Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE). Il cuore del loro metodo è un ansatz della forma $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, dove:

• $\hat{U}$ è un operatore unitario di Thouless che esegue un cambio di base nello spazio di Hilbert a un corpo (ad esempio, trasformando uno stato di Fock in un mare di Fermi).
• $\hat{G}(\theta)$ è l'operatore non unitario Jastrow–Gutzwiller, definito come $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, dove $\hat{n}_q$ sono operatori numero e $\theta_{qq'}$ sono parametri variazionali.

L'innovazione chiave risiede nel modo in cui viene calcolato il valore di aspettazione dell'energia, $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$. Poiché $\hat{G}(\theta)$ è diagonale nella base del numero di occupazione, gli autori dimostrano che i termini esponenziali nel prodotto degli operatori possono essere valutati classicamente in base ai risultati delle misurazioni, piuttosto che richiedere l'espansione dell'esponenziale in una somma di stringhe di Pauli sul computer quantistico.

La procedura prevede:

1. Preparazione dello Stato: Preparazione di uno stato iniziale $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ utilizzando un circuito quantistico composto da porte elementari a singolo e doppio qubit derivate dalla decomposizione dell'operatore unitario $\hat{f}$.
2. Misurazione: Misurazione del sistema nella base computazionale (o in una base ruotata per i termini cinetici) per ottenere i numeri di occupazione.
3. Post-Elaborazione Classica: Utilizzo dei numeri di occupazione misurati per valutare classicamente i fattori esponenziali diagonali di $\hat{G}(\theta)$ e $\hat{G}^2(\theta)$. Questo evita la necessità di qubit aggiuntivi o circuiti profondi per simulare l'operatore non unitario.
4. Ottimizzazione: Variazione dei parametri $\theta$ classicamente per minimizzare il valore di aspettazione dell'energia.

Contributi Chiave

• Implementazione di Operatori Non Unitari: Il documento presenta un metodo per implementare operatori Jastrow–Gutzwiller non unitari su hardware quantistico senza aggiungere qubit ausiliari o approssimare l'operatore, sfruttando il framework CVQE.
• Schema di Misurazione Efficiente: Mappando il problema in modo che gli operatori numero rimangano diagonali, gli autori mostrano che i termini esponenziali possono essere inseriti direttamente nel calcolo dell'energia in base ai risultati delle misurazioni, riducendo significativamente il sovraccarico di misurazione rispetto all'espansione dell'operatore in stringhe di Pauli.
• Disaccoppiamento delle Specie di Spin: Il metodo consente la valutazione del circuito per una singola specie di spin sul computer quantistico, con l'altra specie gestita classicamente. Ciò riduce efficacemente della metà il numero di qubit richiesti per la dimostrazione.
• Dimostrazione Sperimentale: Il metodo è stato dimostrato sul processore quantistico IBM Q Lagos (un dispositivo a 7 qubit) per un modello di Hubbard a quattro siti su reticoli quadrati e triangolari con condizioni al contorno periodiche a metà riempimento.

Risultati
Gli autori hanno applicato il loro metodo al modello di Hubbard con parametro di energia cinetica $k$ e forza di interazione $d$.

• Minimizzazione dell'Energia: Hanno minimizzato con successo il valore di aspettazione dell'energia $E(\theta)$ rispetto al parametro di Gutzwiller $\theta$.
• Confronto: I risultati sono stati confrontati con la diagonalizzazione esatta (l'energia esatta dello stato fondamentale) e simulazioni classiche senza rumore del loro metodo.
• Analisi del Rumore:
  • Eseguendo il calcolo completo (sia elettroni spin-up che spin-down) sul dispositivo quantistico, il rumore ha introdotto errori nei valori di aspettazione dell'energia.
  • Eseguendo solo una singola specie di spin sul dispositivo quantistico (con l'altra simulata classicamente), l'errore è stato ridotto significativamente.
  • L'errore nel valore di aspettazione dell'energia è rimasto relativamente costante in funzione della forza di interazione $d$, e in alcuni casi è diminuito leggermente quando $d$ si avvicinava a $k$.
• Ottimizzazione: Il parametro ottimale $\theta^*$ è stato trovato localizzando il minimo della curva dell'energia, e le energie ottimizzate risultanti hanno seguito da vicino l'energia esatta dello stato fondamentale, in particolare nella configurazione a singola specie di spin.

Significato e Affermazioni
Il documento afferma che questo approccio consente l'implementazione dell'ansatz Jastrow–Gutzwiller su hardware quantistico a breve termine senza il sovraccarico di risorse dei qubit ausiliari o gli errori di approssimazione associati ad altre implementazioni non unitarie. Spostando la valutazione dei fattori esponenziali non unitari sul computer classico, il metodo disaccoppia l'ottimizzazione dei parametri variazionali dalla necessità di rieseguire i circuiti quantistici per ogni aggiornamento del parametro. Inoltre, la capacità di simulare solo una specie di spin sul dispositivo quantistico mentre si gestisce l'altra classicamente riduce della metà il requisito di conteggio dei qubit, rendendo l'approccio più fattibile per i dispositivi attuali con connettività e tempi di coerenza limitati. La dimostrazione sul dispositivo IBM Q Lagos convalida la fattibilità di questo approccio "a cascata" per sistemi fermionici, in particolare il modello di Hubbard, fornendo una via per incorporare effetti di forte correlazione negli algoritmi variazionali quantistici.