Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

तकनीकी सारांश: कैस्केडेड वेरिएशनल क्वांटम इवोल्यूशन (CVQE) का उपयोग करके क्वांटम कंप्यूटर पर जास्ट्रो-गुट्ज़विलर (Jastrow–Gutzwiller) ऑपरेटर्स का कार्यान्वयन

समस्या विवरण
क्वांटम कंप्यूटर क्वांटम प्रणालियों के ग्राउंड स्टेट्स (ground states) को निर्धारित करने के लिए घातीय रूप से बड़े हिल्बर्ट स्पेस (Hilbert spaces) तक पहुँचने की क्षमता रखते हैं, जो एक ऐसा कार्य है जो शास्त्रीय (classical) कंप्यूटरों के लिए अक्सर कठिन होता है। जबकि वेरिएशनल एल्गोरिदम जैसे कि वेरिएशनल क्वांटम आइजनसोलवर (VQE), अपने कम सर्किट डेप्थ के कारण निकट-अवधि (near-term) उपकरणों के लिए आशाजनक हैं, वे अपने एंसेट (ansatz) के चयन पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं। परीक्षण अवस्था (trial state) को बेहतर बनाने के लिए एक शक्तिशाली दृष्टिकोण जास्ट्रो-गुट्ज़विलर ऑपरेटर्स का उपयोग करना है, जो कई-निकाय सहसंबंधों (many-body correlations) (विशेष रूप से घनत्व-घनत्व सहसंबंधों और दोहरी रूप से भरी हुई कक्षिकाओं पर प्रतिबंधों) को एक परीक्षण अवस्था में जोड़ते हैं। हालाँकि, जास्ट्रो-गुट्ज़विलर ऑपरेटर गैर-यूनिटरी (non-unitary) है। यह गैर-यूनिटैरिटी सीधे क्वांटम कंप्यूटरों पर कार्यान्वयन के लिए एक महत्वपूर्ण चुनौती पेश करती है, क्योंकि क्वांटम कंप्यूटर स्वाभाविक रूप से यूनिटरी विकास (unitary evolution) के माध्यम से संचालित होते हैं। मौजूदा विधियों को इस गैर-यूनिटैरिटी को संभालने के लिए अक्सर सहायक क्विबिट्स (auxiliary qubits) या सन्निकटन (approximations) की आवश्यकता होती है, जिससे वर्तमान हार्डवेयर की क्षमताओं से परे सर्किट की गहराई और जटिलता बढ़ सकती है।

कार्यप्रणाली
लेखक कैस्केडेड वेरिएशनल क्वांटम आइजनसोलवर (CVQE) एल्गोरिदम का उपयोग करके जास्ट्रो-गुट्ज़विलर ऑपरेटर के एक नवीन कार्यान्वयन का प्रस्ताव करते हैं। उनकी विधि का मूल एक एंसेट $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$ के रूप में है, जहाँ:

• $\hat{U}$ एक यूनिटरी थौलेस ऑपरेटर (Thouless operator) है जो एक-निकाय हिल्बर्ट स्पेस में आधार परिवर्तन (change of basis) करता है (उदाहरण के लिए, एक फॉक अवस्था को फर्मी सी (Fermi sea) में बदलना)।
• $\hat{G}(\theta)$ एक गैर-यूनिटरी जास्ट्रो-गुट्ज़विलर ऑपरेटर है, जिसे $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $\hat{n}_q$ संख्या ऑपरेटर (number operators) हैं और $\theta_{qq'}$ वेरिएशनल पैरामीटर हैं।

मुख्य नवाचार इस बात में निहित है कि ऊर्जा के प्रत्याशा मान (expectation value) $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$ की गणना कैसे की जाती है। चूँकि $\hat{G}(\theta)$ ऑक्यूपेशन नंबर बेसिस (occupation number basis) में विकर्ण (diagonal) है, लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि ऑपरेटर उत्पाद में घातांकीय (exponential) पदों का मूल्यांकन क्वांटम कंप्यूटर पर पाउली स्ट्रिंग्स (Pauli strings) के योग में विस्तार करने के बजाय, मापन परिणामों के आधार पर शास्त्रीय रूप से किया जा सकता है।

प्रक्रिया में शामिल हैं:

1. अवस्था तैयारी (State Preparation): यूनिटरी ऑपरेटर $\hat{f}$ के अपघटन से प्राप्त मौलिक एकल- और द्वि-क्विबिट गेट्स से बने क्वांटम सर्किट का उपयोग करके एक प्रारंभिक अवस्था $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ तैयार करना।
2. मापन (Measurement): ऑक्यूपेशन नंबर प्राप्त करने के लिए सिस्टम को कम्प्यूटेशनल बेसिस (या गतिज पदों (kinetic terms) के लिए एक रोटेटेड बेसिस) में मापना।
3. शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग (Classical Post-Processing): मापे गए ऑक्यूपेशन नंबरों का उपयोग करके $\hat{G}(\theta)$ और $\hat{G}^2(\theta)$ के विक럴 घातांकीय कारकों का शास्त्रीय रूप से मूल्यांकन करना। यह अतिरिक्त क्विबिट्स या गहरे सर्किटों की आवश्यकता को समाप्त करता है जो गैर-यूनिटरी ऑपरेटर को सिम्युलेट करने के लिए आवश्यक होते हैं।
4. अनुकूलन (Optimization): ऊर्जा प्रत्याशा मान को न्यूनतम करने के लिए शास्त्रीय रूप से पैरामीटर $\theta$ को बदलना।

प्रमुख योगदान

• गैर-यूनिटरी ऑपरेटर कार्यान्वयन: यह शोधपत्र बिना किसी सहायक क्विबिट या ऑपरेटर के सन्निकटन के, CVQE फ्रेमवर्क का लाभ उठाते हुए, क्वांटम हार्डवेयर पर गैर-यूनिटरी जास्ट्रो-गुट्ज़विलर ऑपरेटरों को लागू करने की एक विधि प्रस्तुत करता है।
• कुशल मापन योजना: समस्या को इस तरह मैप करके कि संख्या ऑपरेटर (number operators) विक럴 बने रहें, लेखक दिखाते हैं कि घातांकीय पदों को मापन परिणामों के आधार पर ऊर्जा गणना में सीधे डाला जा सकता है, जो ऑपरेटर को पाउली स्ट्रिंग्स में विस्तारित करने की तुलना में मापन ओवरहेड को काफी कम कर देता है।
• स्पिन-प्रजाति डिकपलिंग (Spin-Species Decoupling): यह विधि क्वांटम कंप्यूटर पर केवल एक स्पिन प्रजाति के लिए सर्किट के मूल्यांकन की अनुमति देती है, जबकि दूसरी प्रजाति को शास्त्रीय रूप से संभाला जाता है। यह प्रदर्शन के लिए आवश्यक क्विबिट्स की संख्या को प्रभावी रूप से आधा कर देता है।
• प्रायोगिक प्रदर्शन: इस विधि का प्रदर्शन IBM Q Lagos क्वांटम प्रोसेसर (एक 7-क्विबिट डिवाइस) पर हाफ-फिलिंग (half-filling) पर आवधिक सीमा स्थितियों (periodic boundary conditions) के साथ वर्गाकार और त्रिकोणीय जाली (lattices) के लिए चार-साइट हबर्ड मॉडल पर किया गया है।

परिणाम
लेखकों ने गतिज ऊर्जा पैरामीटर $k$ और इंटरेक्शन स्ट्रेंथ (interaction strength) $d$ के साथ हबर्ड मॉडल को लागू किया।

• ऊर्जा न्यूनीकरण (Energy Minimization): उन्होंने सफलतापूर्वक गुट्ज़विलर पैरामीटर $\theta$ के सापेक्ष ऊर्जा प्रत्याशा मान $E(\theta)$ को न्यूनतम किया।
• तुलना: परिणामों की तुलना सटीक विकर्णकरण (exact diagonalization - सटीक ग्राउंड स्टेट एनर्जी) और उनकी विधि के शोर-मुक्त (noise-free) शास्त्रीय सिमुलेशन के विरुद्ध की गई।
• शोर विश्लेषण (Noise Analysis):
  • जब क्वांटम डिवाइस पर पूर्ण गणना (दोनों स्पिन-अप और स्पिन-डाउन इलेक्ट्रॉन) चलाई गई, तो शोर ने ऊर्जा प्रत्याशा मानों में त्रुटियां उत्पन्न कीं।
  • जब केवल एक स्पिन प्रजाति (जिसमें दूसरी को शास्त्रीय रूप से सिम्युलेट किया गया) चलाई गई, तो त्रुटि काफी कम हो गई।
  • ऊर्जा प्रत्याशा मान में त्रुटि इंटरेक्शन स्ट्रेंथ $d$ के फलन के रूप में अपेक्षाकृत स्थिर रही, और कुछ मामलों में $d$ के $k$ के करीब पहुँचने पर थोड़ी कम हो गई।
• अनुकूलन: अनुकूलतम पैरामीटर $\theta^*$ को ऊर्जा वक्र के न्यूनतम को खोजकर पाया गया, और परिणामी अनुकूलित ऊर्जाएं सटीक ग्राउंड स्टेट ऊर्जा का बारीकी से अनुसरण करती हैं, विशेष रूप से सिंगल-स्पिन-प्रजाति विन्यास में।

महत्व और दावे
यह शोधपत्र दावा करता है कि यह दृष्टिकोण सहायक क्विबिट्स के संसाधन ओवरहेड या अन्य गैर-यूनिटरी कार्यान्वयनों से जुड़े सन्निकटन त्रुटियों के बिना निकट-अवधि क्वांटम हार्डवेयर पर जास्ट्रो-गुट्ज़विलर एंसेट को लागू करने की अनुमति देता है। गैर-यूनिटरी घातांकीय कारकों के मूल्यांकन को शास्त्रीय कंप्यूटर पर स्थानांतरित करके, यह विधि वेरिएशनल पैरामीटर्स के अनुकूलन को प्रत्येक पैरामीटर अपडेट के लिए क्वांटम सर्किट को फिर से चलाने की आवश्यकता से अलग करती है। इसके अलावा, केवल एक स्पिन प्रजाति को क्वांटम डिवाइस पर सिम्युलेट करने और दूसरी को शास्त्रीय रूप से संभालने की क्षमता आवश्यक क्विबिट काउंट को आधा कर देती है, जिससे यह दृष्टिकोण सीमित कनेक्टिविटी और कोहेरेंस समय वाले वर्तमान उपकरणों के लिए अधिक व्यवहार्य हो जाता है। IBM Q Lagos डिवाइस पर प्रदर्शन इस "कैस्केडेड" दृष्टिकोण की व्यवहार्यता को मान्य करता है, जो हबर्ड मॉडल के लिए विशेष रूप से फर्मियोनिक सिस्टम के लिए है, और वेरिएशनल क्वांटम एल्गोरिदम में मजबूत सहसंबंध प्रभावों (strong correlation effects) को शामिल करने के लिए एक मार्ग प्रदान करता है।